Getal en Ruimte 12e ed - Hoofdstuk 8 - Inhoud en vergroten oefentoetsen & antwoorden

a) De hoogte en de oppervlakte van het grondvlak b) 3 keer (dat komt door die ⅓ in de formule van de inhoud van de piramide) c) Het is een cirkel, dus $\pi$ keer de straal in het kwadraat d) Voor de oppervlakte is het $k^2$, voor de inhoud is het $k^3$. e) $\sqrt{64} = 4$. (Toelichting: want $4^3=64$). f) De vergrotingsfactor is dan $2,5^2=6,25$. Dat komt overeen met een procentuele toename van $525\%$. (Let op: niet +625%, want je begon al met 100%!) De kaas is een cilinder. Gebruik dus: $Inhoud \, cilinder = opp. \, grondvlak \times hoogte = \pi \times straal ^2 \times hoogte$. De inhoud van heel de kaas is $\pi \cdot 22, 5^2 \cdot 15 = 23856,469… $ kubieke centimeter. Hier heb je maar 15/360 van, dus vermenigvuldigen met 15 en delen door 360. Eindantwoord: 994,02 kubieke centimeter.   Eerste manier De oppervlakte van het voorvlak (en het achtervlak) is $\tfrac{1}{2} \cdot basis \cdot hoogte = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{6^2-3^2} = 3\sqrt{27} = 9 \sqrt{3}$. (Gebruik de stelling van Pythagoras om de hoogte van het voorvlak te berekenen). De inhoud van heel de prisma is dus $16\cdot9\sqrt{3} = 144\sqrt{3}$. De inhoud van $ABEFD$ is $\tfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot 16 \cdot \sqrt{27}$, dus $32\sqrt{27}$ (of $96\sqrt{3}$). Dus de inhoud van $ABFC$ is $144\sqrt{3}-96\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$. Dus de inhoud van $ABEFD$ is precies twee keer zo groot als de inhoud van $ABFC$ De gevraagde verhouding is dus $ABEFD:ABFC = 2:1$.   Tweede manier Een piramidevormige figuur past altijd 3 keer in de prisma die eromheen zit. Dus $ABFC$ is een derde van heel de prisma. Dus $ABEFD$ moet twee derde deel zijn van heel de prisma, dus twee keer zo groot als $ABFC$. De verhouding is dan inderdaad 2:1. Tip: een verhouding van twee inhouden is hetzelfde als de twee inhouden gedeeld door elkaar. Het zand in de eerste kegel vormt een kegel die gelijkvormig is met de hele bovenste kegel. De vergrotingsfactor is $k=5/12$ (dit is eigenlijk een verkleiningsfactor). Voor de inhoud geldt dus een verkleiningsfactor $k^3 = 125/1728$. Het zand in de tweede tekening is dus $125/1728$ van de totale inhoud van de onderste kegel. De ruimte boven het zand is dus $1603/1728$ van de totale inhoud van de onderste kegel. De hoogte van de ‘lege’ kegel boven het zand is dus $12\cdot \sqrt{\tfrac{1603}{1728}} \approx 11, 7034$. De hoogte van het zand is dus $12-11, 7034 \approx 0, 2966$ centimeter, dus ongeveer 0,297 centimeter (zo is het afgerond op honderdsten van millimeters, oftewel duizendsten van centimeters)   Er zijn meerdere manieren om dit uit te rekenen. Je mag dus ook een andere berekening gebruiken. De diameter van de gele ring is 3 keer zo groot als die van de kleine zwarte cirkel, dus de oppervlakte is 9 keer zo groot (als de zwarte cirkel er niet vanaf gehaald wordt). De diameter van de zwarte ring is 5 keer zo groot als die van de kleine zwarte cirkel, dus de oppervlakte van heel de figuur is $5^2=25$ keer zo groot. De zwarte ring is dus de oppervlakte van heel de figuur min alles wat in de gele cirkel zit, dus $25-9 = 16$. De zwarte cirkel past dus 16 keer in de zwarte ring qua oppervlakte.   a)  De vergrotingsfactor is $30000/10 = 3000$.  16 vierkante centimeter komt overeen met $16/10000$ vierkante meter.  Dus bij de echte Eiffeltoren is de oppervlakte $\tfrac{16}{10000} \cdot 3000^2 = 14400$ vierkante meter.  Dat is 1,44 hectare. b)  Gewicht gaat evenredig met inhoud.  De originele Eiffeltoren weegt $7000\cdot 1000 \cdot 1000 = 7\cdot 10^{9}$ gram. Dit moet gedeeld worden door $3000^3$. Dan krijg je 0,259 gram. Er zijn meerdere manieren om dit uit te rekenen. Je mag dus ook een andere berekening gebruiken. Het kleinste poppetje past 8 keer in het grootste poppetje qua inhoud, dus de vergrotingsfactor van het kleinste poppetje naar het grootste poppetje is $\sqrt[3]{8}=2$. (Tip: zie ook het antwoord op 1d en 1e). De hoogte van het kleinste poppetje is dus 12 cm. Het middelste poppetje heeft 3 keer zoveel oppervlakte als het kleinste poppetje, dus de vergrotingsfactor is van klein naar middel is 3≈1,732\sqrt{3} \approx 1,7323​≈1,732. Dus de hoogte van het middelste poppetje is 12⋅3≈20,78512 \cdot \sqrt{3} \approx 20,78512⋅3​≈20,785.   In 19 uur is er nog $0\komma 7^3 = 0,343$, oftewel 34,3% over van het ijs. In 19 uur smelt er 65,7%, dus per uur smelt er 0,657/19 = 0,034578, oftewel 3,4578% van het ijs. Het duurt dus nog $34, 3/3, 4578… = 9, 919$ uur. Dit zijn 60 keer zoveel minuten, dus ongeveer 9 uur en $0, 919 \cdot 60 \approx 55$ minuten.