Moderne Wiskunde 12e ed deel A - Hoofdstuk 1 - Lineaire en exponentiële formules oefentoetsen & antwoorden

a) Gebruik de formule: $\rm Groeifactor = \frac{nieuwe \, hoeveelheid}{oude \, hoeveelheid}$. b) Dan moet je $x=4$ invullen in het functievoorschrift. De uitkomst noem je de functiewaarde. c) Bij een richtingscoëfficiënt groter dan 0 stijgt de grafiek; kleiner dan 0 betekent dat die daalt. d)  Eerst de vergelijkingen herleiden tot de vorm $y=ax+b$.  Vervolgens kun je de vergelijkingen gelijkstellen om de $x$ te vinden. De laatste stap is om de gevonden $x$ in te vullen bij één van de vergelijkingen om de $y$ uit te rekenen. e) $g^a \cdot g^b = g^{a+b}$ $(g^a)^b=g^{a\cdot b}$ $\frac{g^a}{g^b}=g^{a-b}$   a)  f: een kwadratische functie (want het is een parabool) g: lineaire functie (want het is een lijn) h: een exponentiële functie (je kunt dat aan het functievoorschrift zien, of eventueel kun je ook uit de grafiek opmaken dat je steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigt. Bij elke stap van x wordt namelijk de toename in y 2x zo groot) k: een constante functie (want het is een horizontale lijn, zonder toename).  b)  g is een lineaire functie, dus daarbij hoort het functievoorschrift van de vorm: $y=ax+b$, met a het hellingsgetal en b het startgetal. Hellingsgetal is -2, want bij elke stap gaat er 2 vanaf Startgetal is 5 (dat is het snijpunt met de y-as) Dus $g: y=-2x+5$ c) De functie die bij k hoort is $k: y=4$ (lees af uit de grafiek). Nu kunnen we $x=3$ bij beide invullen en checken dat er hetzelfde uitkomt. $k(3)=4$ (komt altijd 4 uit) $g(2) = 3^2-4 = 8-4 = 4$ Dus het klopt. Je had ook de vergelijking $x^2-4=4$ en laten zien dat de oplossing ligt bij $x=3$.   Hier geldt: het functievoorschrift opstellen betekent omschrijven tot de vorm $y=ax+b$. a)  Functievoorschrift: $4x-5y=12$ $-5y=12-4x$ $y=\frac{12-4x}{-5}=2\frac{2}{5}-\frac{4}{5}x$ Richtingscoëfficiënt is $-{4}{5}$ en startgetal $2\frac{2}{5}$ (dit zijn de $a$ en de $b$ uit de formule $y=ax+b$) b)  Functievoorschrift:  $7x+y=-8$ $y=-7x-8$ Richtingscoëfficiënt is $-7$ en startgetal $-8$ c) Functievoorschrift: $0,3y+12=x$ $0,3y=x-12$ Deel nu door $0,3$: $y=3,33x-40$ Richtingscoëfficiënt is $3,33$ en startgetal $-40$.   a) De groeifactor is 0,7. b) De groeifactor is kleiner dan 1, dus er is sprake van een afname. c) Er is een afname van 30% , want 100% - 30% = 70%, de vermenigvuldigingsfactor is dan 0,7.   a) Onjuist is $a^b \cdot a^c = a^b + a^c$.  Een tegenvoorbeeld wordt gegeven door $a=2$, $b=1$ en $c=3$, immers geldt $2^1 \cdot 2^3 = 2 \cdot 4 = 16 \neq 10 = 2^1 + 2^3.$ (Er zijn natuurlijk andere tegenvoorbeelden mogelijk). De juiste rekenregel is $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$, de exponenten mogen opgeteld worden. b) Onjuist is $1^a = a$.  Neem je bijvoorbeeld $a=2$, dan zou er staan $1^2=2$ en dat is onzin.  De juiste rekenregel is $1^a = 1$; elke macht van 1 is gelijk aan 1.   a)  Per 100 m 0,9 °C, dus per meter 0,009 °C eraf Dus in totaal 0,009 x 4808 = 43,27 °C verschil (want zeeniveau betekent 0 m hoogte) 33 °C - 43,72 °C = -10,27 °C. b) Lineaire functie, dus vorm is $T(h) = ah+b$ Richtingscoëfficiënt is -0,009 (per meter 0,009 °C afname) Startgetal is 33 Dus $T(h)=-0,009h+33$ c)  Richtingscoëfficiënt = $\rm \frac{toename \ temperatuur}{toename \ meters} = \frac{11-25}{3000-900} = -0,0067$ Dus functie is $T(h) = -0,0067h+b$. Startgetal b vinden we door een punt in de formule in te vullen. We kiezen $(900, 25)$: $25 = -0,0067 \cdot 900 +b$ $25 = -6 +b$ $b= 25 + 6= 31$ Dus $T(h) = -0,0067h+31$ d) We moeten het snijpunt vinden, dus we stellen de functies gelijk: $-0,009h+33 = -0,0067h+31$ $-0,0023h = -2$ $h =\frac{-2}{-0,0023}\approx 870$ Dus op 870 m hoogte is de temperatuur gelijk.   a)  Herleid eerst de vergelijkingen. $y-4=4x$ $y=4x+4$, en $y=2+x$ staat al in de goede vorm. Stel ze gelijk: $4x+4=2+x$ $3x=-2$ $x=-\frac{2}{3}$ Vul in om de $y$ te vinden (mag bij beide vergelijkingen): $y=2+x$ geeft $y=2-\frac{2}{3}=1\frac{1}{3}$ Dus oplossing: $x=-\frac{2}{3}, y=1\frac{1}{3}$. b)  Herleid eerst de vergelijkingen. $2y=x+2$ $y=\frac{1}{2}x+1$, en $2x-y=2$ $-y=2-2x$ $y=-2+2x$ Stel gelijk: $\frac{1}{2}x+1=-2+2x$ $-1\frac{1}{2}x=-3$ $x=2$ Vul de gevonden $x$ in bij een vergelijking om $y$ te vinden: $y=-2+2x = -2+2\times 2=2$ Dus oplossing is $x=2, y=2$. c) Bij het eerste stelsel had je voor substitueren kunnen kiezen, want de tweede vergelijking stond al in de juiste vorm, en die kon je dus direct in de eerste vergelijking invullen.    a)  Vul de tweede vergelijking bij de eerste in, en let op haakjes: $-4 {\color{red} (-1-\frac{3}{4}x)}-4=3x$ $4+3x-4=3x$ $0=0$ (alles valt tegen elkaar weg) (Dus wat je ook invult voor $x$ en $y$, er staat altijd iets dat klopt) b) Dit betekent dat elke $x$ en $y$ een oplossing zijn, oftewel: deze twee lijnen zijn precies hetzelfde. Dat kun je zien als je de eerste lijn herleidt: $-4y-4=3x$ $-4y=3x+4$ $y=-\frac{3}{4}x-1$, dus de eerste lijn heeft exact hetzelfde functievoorschrift als de tweede.   a) De tabel hoort bij exponentiële groei. De bijbehorende formule is van de vorm: $N=b\cdot g^{t}$ $60:50=1,2$ $72:60=1,2$ $86,4:72=1,2$ De groeifactor is 1,2 De beginwaarde bij t = 0 is 50 De formule : $N = 50\cdot 1,2^{t}$ b) De tabel hoort bij lineaire groei. De bijbehorende formule is van de vorm: $N=at+b$ De toename is telkens 13, dus a=13 De beginwaarde bij t=0 berekenen. 26-13=13, dus b=13 De formule : $N=13t+13$  c)  Bij tabel A hoort de formule : $N = 50\cdot 1,2^{t}$ Vul in: t=6 $N = 50\cdot 1,2^{6}  \approx 149.30$ Bij tabel B hoort de formule : $N=at+b$ Vul in: t=6 $6\times 13+13=91$   a) De formule is $N=b\cdot\,g^t$. Het begingetal is bij tijd=0. t=0 hoort bij b=55. De groeifactor berekenen:  100% + 5,6% = 105,6%. 105,6 /100=1,056. De formule: $N=55\cdot 1,056^{t}$. b) 1 augustus 2022, dus 4 jaar is 48 maanden. t=48 invullen in de formule. $n=55\cdot1,056^{48}\approx 752$. Ongeveer 752 miljoen gebruikers. c) Los de vergelijking $N=55\cdot 1,056^{t}=110$ op. Neem de beginwaarde 55 en vermenigvuldig herhaald met 1,056. Na 13 keer heb je $55\cdot1,065^{13}\approx111$. Na 13 maanden. In september 2019 is het aantal gebruikers verdubbeld. Gebruik steeds de rekenregels voor exponenten uit opgave 1e. a) $(2^5)^2 \cdot 2^{x+3}$ $2^{10} \cdot 2^{x+3}$ $2^{x+13}$ b) $3^6 \cdot \frac{3^x}{3^2}$ $3^6 \cdot 3^{x-2}$ $3^{x+4}$ c)  $\frac{2^{2x} \cdot 2^5}{2^{3x+1}} \cdot 2$ Eerst de bovenkant van de breuk: $\frac{2^{2x+5}}{2^{3x+1}} \cdot 2$ Nu de breuk zelf. Let op haakjes in de exponent:  $2^{2x+5 - (3x+1)} \cdot 2$ $2^{-x+4} \cdot 2$ Gebruik dat $2 = 2^1$: $2^{-x+4} \cdot 2^1$ $2^{-x+5}$ d)  Schrijf $25$ als macht van $5$: $5^x \cdot 5^2 \cdot \frac{1}{5}$ De breuk is een bijzonder geval van de regel $\frac{g^a}{g^b}=g^{a-b}$, want $1=5^0$, dus $\frac{1}{5}=\frac{5^0}{5^1}=5^{-1}$: $5^x \cdot 5^2 \cdot 5^{-1}$ $5^{x+1}$ e)  $3^5 \cdot \frac{3^3}{3^9\cdot 3^x}\cdot (3^2)^x$ Vereenvoudig eerst de onderkant van de breuk: $3^5 \cdot \frac{3^3}{3^{9+x}}\cdot 3^{2x}$ $3^5 \cdot 3^{x-6} \cdot 3^{2x}$ $3^{3x-1}$