Moderne Wiskunde 12e ed deel A - Hoofdstuk 2 - Parabolen oefentoetsen & antwoorden

a)  Als het getal voor de $x^2$ negatief is, is het een bergparabool. Als het getal voor de $x^2$ positief is, is het een dalparabool. b) De top van een parabool ligt op de symmetrie-as. Dat is midden tussen de snijpunten van de grafiek met de x-as in. c) Bij de vorm $y=ax^2+c$ ligt de top van de parabool op de y-as, en heeft deze coördinaten $(0, c)$. d) De parabool gaat dan door de oorsprong.    a) Werk eerst de haakjes weg bij $(x+1)(x-3)$: $\times$ $x$ $1$ $x$ $+x^2$ $+x$ $-3$ $-3x$ $-3$ Dit geeft $f(x)=-5(x^2+x-3x-3)=-5x^2-5x+15x+15=-5x^2+10x+15$. (Deze stap mag opnieuw met een tabel). De grafiek is dus een bergparabool (want het getal voor de $x^2$ is negatief). b) Werk eerst de haakjes weg bij $(2-x)^2$: $\times$ $2$ $-x$ $2$ $+4$ $-2x$ $-x$ $-2x$ $+x^2$ Dit geeft: $g(x)=4(4-2x-2x+x^2)=16-8x-8x+4x^2=4x^2-16x+16$. De grafiek is dus een dalparabool. c) Werk eerst de haakjes weg en schrijf het functievoorschrift zo eenvoudig mogelijk: $h(x)=-2x(3-x)-7x^2=-6x+2x^2-7x^2=-5x^2-6x$. De grafiek is dus een bergparabool.   a) Op $x=0$.  b) Doordat $x^2$ dezelfde uitkomst heeft als $(-x)^2$: bijvoorbeeld $f(2) = f(-2)$, want $(2)^2=(-2)^2=4$. Het kwadraat zorgt ervoor dat de uitkomst bij negatieve waarden voor x precies hetzelfde is als die bij positieve waarden. c) Hier maak je gebruik van het feit dat elke parabool symmetrisch is. Een voorbeeld staat hieronder. Als je tussen de snijpunten van de horizontale groene lijnen en de parabool in het midden kijkt, kom je steeds uit bij de symmetrie-as (de rode stippellijn). De onderste groene lijn is getekend bij het snijpunt van de y-as en de parabool (en dit is de standaard methode in het boek om de top te vinden). De middelste groene lijn ligt op de x-as. Deze kun je ook vaak gebruiken om de x-coördinaat van de top te vinden. Ook midden tussen de snijpunten van de bovenste groene lijn met de parabool ligt de top. a) Bergparabool, want het getal voor de $x^2$ is negatief. b) Ja, want $-3(5^2)+100=-75+100=25$. c)  In feite heb je de coördinaten van een punt gekregen: $(a,a^2)$, dus die kun je invullen in de formule. Dat geeft $a^2=-3a^2+100$, dus $4a^2=100$, dus $a^2=25$, dus $a=5$ of $a=-5$.  De eerste oplossing hoort bij punt $P$, dus moet het $a=-5$ zijn. d) $y=0$ geeft $3x^2=100$, dus $x^2=33\tfrac{1}{3}$. De gevraagde lengte is dus $2\sqrt{\tfrac{100}{3}} \approx 11 \komma 547$.   a) Zie schets: $x$ kan maximaal 15 centimeter zijn (de helft van de breedte). Verder moet $x$ natuurlijk groter dan 0 zijn, want het is een lengtemaat. b)  De afmetingen van de foto zelf zijn: $30-2x$ en $40-2x$.  Die foto heeft dus oppervlakte $O=(30-2x)(40-2x)$ Haakjes uitwerken geeft: $O=4x^2-140x+1200$. c) De formule hoort bij een dalparabool (want het getal voor de $x^2$ is groter dan 0). Een dalparabool heeft een laagste punt. d)  De totale oppervlakte van de lijst is $30 \cdot 40 = 1200$, dus je krijgt de vergelijking $O=600$: $1200-60x-80x+4x^2 = 600$ $4x^2-140x+600=0$.  Alles delen door 4: $x^2-35x+150 = 0$.  $(x-5)(x-30) = 0$ $x=5$ of $x=30$.  Die laatste oplossing, $x=30$, ikan niet omdat de oplossing sowieso kleiner dan 15 (de helft van de breedte) moet zijn. Dus $x=5$ is de correcte oplossing.   We gebruiken hier steeds het werkschema zoals in het lesboek. a)  1. $f(0)=0$, dus de parabool snijdt de y-as op $x=0$. 2. Los op: $f(x)=0$ $1,5x^2+6x=0$ $x(1,5x+6)+0$ $x=0 \vee 1,5x +6=0$ $x=0 \vee x=-4$ 3. De top ligt in het midden tussen $x=0$ en $x=-4$, dus op $x=-2$. 4. Invullen in de functie geeft: $y=1,5\times (-2)^2+6 \times -2 = -6$. 5. Top: $(-2,-6)$. b) 1. $f(0)=-0,5$. 2. Los op: $-2x^2+2x-0,5=-0,5$ Herleid eerst op 0: $-2x^2+2x=0$ $x(-2x+2)=0$ $x=0 \vee -2x+2=0$ $x=0 \vee x=1$ 3. De top ligt dus op $x=0,5$. 4. Vul in: $f(0,5)=0$. 5. Top: $(0,5;0)$. c) In dit geval kunnen we meteen aflezen waar de snijpunten met de x-as liggen. (Dat kan door de vorm van de functie). De top ligt namelijk op de symmetrie-as van de grafiek, en dat is midden tussen de snijpunten met de x-as in. Voor de snijpunten met de x-as lossen we op: $f(X)=0$ $x(2x-4)=0$ $x=0 \vee 2x-4=0$ $x=0 \vee x=2$ De top ligt dus op $x=1$. Vul in: $f(1)=-2$. Top is dus $(1,-2)$.   Bereken de x-coördinaat van de top: 1. $f(0)=3$, dus de y-coördinaat van het snijpunt met de parabool is $3$. 2. Los op:  $-0,5x^2+2x+3=3$ $-0,5x^2+2x=0$ $x(-0,5x+2)=0$ $x = 0 \vee -0,5x+2=0$ $x=0 \vee x=4$ 3. De top ligt in het midden, dus op $x=2$. 4. Invullen in $f(x)$ geeft: $y=-0,5 \times (2)^2 +2 \times 2 +3 = 5$. 5. Top: $(2,5)$ Maak de tabel, van minstens $x = 0$ t/m $x = 4$ :   $x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $y$ $3$ $4,5$ $5$ $4,5$ $3$ Teken de parabool (en let op dat het een vloeiende kromme moet zijn):   We leggen het antwoord per functie uit. Voor jezelf is het handigste om bij zo’n opgave de simpelste parabool het eerste te doen, zodat de moeilijkste als laatste overblijft. Zo is bijvoorbeeld de functie van f(x) lastiger in te delen dan die van h(x) of n(x), want die laatste twee horen bij de vorm $y=ax^2+bx$, en gaan dus door de oorsprong. Dan kun je dus al meteen zien dat ze bij parabool 4 of 5 horen. a)  Deze functie heeft de vorm $y=ax^2+bx+c$.  Het is een dalparabool, want $a >0$. De top ligt niet op de y-as, want $b \neq 0$. Dus $f(x)$ hoort bij parabool 2. b)  Deze functie heeft de vorm $y=ax^2+c$ en dus ligt de top op de y-as. Dan kan het parabool 1 of 3 zijn; en de andere functie van deze vorm is functie $p(x)$. Als we die vergelijken dan zien we: $g(x)=3x^2+4$ is smaller dan $p(x)=x^2+1$, want de $a$ is groter; $g(x)$ ligt hoger, want de $c$ is groter Dus $g(x)$ hoort bij parabool 3. c)  Deze functie heeft de vorm $y=ax^2+bx$ en gaat dus door de oorsprong. Dan kan het parabool 4 of 5 zijn; en de andere functie van deze vorm is $n(x)$. De $a$ van deze functie is $-1$ en dat ligt dichter bij 0 dan $a= -3$ van $n(x)$, dus de parabool van functie $h(x)$ is breder dan die van $n(x)$.  Dus $h(x)$ hoort bij parabool 4. d)  Deze functie heeft de vorm $y=ax^2+bx+c$.  Het is een bergparabool, want $a <0$. De top ligt niet op de y-as, want $b \neq 0$. Daarom hoort $m(x)$ bij parabool 6. e) Uit de redenering bij c) volgt dat $n(x)$ bij parabool 5 hoort. f) En ten slotte volgt uit de redenering bij b) dat $p(x)$ bij parabool 1 hoort.   a) Deze formule heeft de vorm: $y=ax^2+bx$. Zulke formules gaan altijd door de oorsprong (want als je $x=0$ invult komt er ook $y=0$ uit). b)  Vul in: $h=-0,48 \times 5^2 + 2,4 \times 5$. Dat geeft $h=0$, dus bij een breedte van 5 meter is de hoogte weer 0 meter: dus de hut is 5 meter breed c)  Dan moeten we de top hebben. Die zit in het midden tussen $h=0$ en $h=5$, dus op $h=2,5$. Vul in: $h(2,5) = -0,48 \times 2,5^2 +2,4 \times 2,5 = 3$. Dus 3 meter hoog. d)  We maken eerst een schets van de situatie. Rood gestippeld is het kastje, op 1 meter (horizontaal) van de oorsprong. In het groen geeft de lijn dan aan hoe hoog het kastje maximaal mag zijn om te passen. De hoogte bij 1 meter is $h(1) = -0,48 \times 1^2 +2,4 \times 1 = 1,92$ m.  Daar past dus makkelijk het kastje van 1,5 meter onder.