Getal en Ruimte wisB 11e ed - Hoofdstuk 15 - oefentoetsen & antwoorden

a) Werkschema buigpunten: Bereken $f’(x)$ en $f’’(x)$. Los exact op $f’’(x) = 0$. Kijk in een schets van de grafiek van $f(x)$ of de gevonden oplossingen buigpunten opleveren. Noteer de coördinaten van de buigpunten. b)    Soort Teken $f’(x)$ Teken $f’’(x)$ 1. Toenemend stijgend $f’(x) > 0$ $f’’(x) > 0$ 2. Afnemend stijgend $f’(x) > 0$ $f’’(x) < 0$ 3. Toenemend dalend $f’(x) < 0$ $f’’(x) < 0$ 4. Afnemend dalend $f’(x) < 0$ $f’’(x) > 0$ Geheugensteuntje: bij “toe”nemend hebben beide (“two”) afgeleiden hetzelfde teken. c)  Raken: $f(x) = g(x)$ en $f’(x) = g’(x)$. Loodrecht snijden: $f(x) = g(x)$ en $f’(x) \cdot g’(x) = -1$. a)  1) $f(x) = \sqrt{3x +1} \Rightarrow F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1\frac{1}{2}} \cdot (3x +1)^{1\frac{1}{2}} = \frac{2}{9} \cdot (3x +1) \cdot \sqrt{3x +1}$ ($\frac{1}{3}$ is een correctie van $3x +1$) 2) $g(x)$ kun je niet primitiveren vanwege de schakel $x^2 +1$ (niet lineair). b) 1) Wentelen om $l: x=a$:  De grafiek en de lijn $l$ eerst transleren over de vector $(-a,0)$ en dan wentelen om de $y-as$. $y = f(x) \,\,\, \overrightarrow{(-a,0)} \,\,\, y = f(x+a)$ 2) Wentelen om de lijn $m: y=b$: De grafiek en de lijn $m$ eerst transleren over de vector $(0,-b)$ en dan wentelen om de $x-as$. $y = f(x) \,\,\, \overrightarrow{(0,-b)} \,\,\, y = f(x) -b$ a) $f(x) = \frac{2e^x - 3}{e^{2x}-2}$ Toppen, dus: $f’(x) = \frac{ 2e^x \cdot (e^{2x}-2) - 2 \cdot e^{2x} \cdot (2e^x - 3)}{(e^{2x} -2)^2} = \frac{ 2e^{3x} - 4e^x - 4e^{3x} + 6 \cdot e^{2x}}{(e^{2x} -2)^2} = \frac{-2e^{3x} + 6e^{2x} - 4e^x}{(e^{2x} -2)^2}$ $f’(x) = 0 \Rightarrow$ $-2e^x \cdot (e^{2x} - 3e^x + 2) = 0$ $e^x = 0 \vee (e^x -1) \cdot (e^x-2) = 0$ $e^x = 0$ kan niet $(e^x -1) \cdot (e^x-2) = 0$ geeft: $e^x = 1 \vee e^x = 2$ (eventueel eerst $e^x = u$ stellen) $x=0 \vee x = ln(2)$ $f(0) = \frac {2-3}{1-2} = 1 \Rightarrow$ top $=(0,1)$ $f(ln(2)) = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2^2 -2} = \frac{1}{2} \Rightarrow$ top $=(ln(2), \frac{1}{2})$ b) Nulpunt noemer: $e^{2x} = 2 \rightarrow x = \frac{1}{2}ln(2)$ (VA). Horizontale asymptoot: $\lim_{x \to \infty} \, f(x) = \lim_{x \to \infty} \, \frac{\frac{2}{e^x} - \frac{3}{e^{2x}}}{1-\frac{2}{e^{2x}}} = \frac{0}{1} = 0$ $\lim_{x \to -\infty} \, f(x) = \frac{2 \cdot 0 - 3}{0-2} = 1\frac{1}{2}$ c) Uit de grafiek van $f(x)$ is af te lezen dat er sprake is van 2 buigpunten waarbij de grafiek van toenemend dalend naar afnemend dalend gaat. Teken de grafiek van $f’(x)$ op de GR. ($y_1 = f’(x)$, en kies geschikte window). Berekend met de GR de minima (2x). 2nd calc (Ti) optie 3 geeft: $x_A \approx -0.5348$ en $y = -0.125$ $x_B \approx 1.2279$ en $y = -0.125$ Conclusie: 2 buigraaklijnen met richtingscoefficient $-0.125$.   a) $f_{-1}(x) = (-2x + 1) \cdot e^{-x}$ Gevraagd: het buigpunt? $f_{-1}’(x) = -2e^{-x} + -e^{-x}(-2x +1) = (2x -3) \cdot e^{-x}$ $f_{-1}’’(x) = 2 \cdot e^{-x} + - e^{-x} \cdot (2x - 3) = (-2x + 5) \cdot e^{-x}$ Nulpunten: $f_{-1}’’(x) =0 \Rightarrow e^{-x} = 0 \vee x = 2\frac{1}{2}$ $e^{-x} = 0$ kan niet. Schets → buigpunt $= (2\frac{1}{2}, f_{-1}(2\frac{1}{2})) = (2\frac{1}{2}, \frac{-4}{e^2\sqrt{e}})$ b) Als $F_a’(x) = f_a(x)$ dan is $F_a(x)$ een primitieve. Dus: $F_a$ differentiëren en controleren! $F_a’(x) = 2 \cdot e^{ax} + a \cdot e^{ax} \cdot (2x - \frac{1}{a})$ $= e^{ax}\cdot (2+2ax -1)$ $= (2ax +1)e^{ax} = f_a(x)$ Conclusie: $F_a(x)$ is een primitieve.    a) Bepaal $f’(x)$ en $g’(x)$ 1. $f’(x) = \frac{\frac{2}{x} - 1 \cdot (2 \ln{x} -1}{x^2}) = \frac{3 - 2\ln{x}}{x^2}$ 2. $g’(x) = -\frac{1}{x}$ In $S$ geldt $f’(1) = 3 = r.c._{raaklijn \, k} = \tan{\alpha}$ In $S$ geldt $g’(1) = -1 = r.c._{raaklijn \, l} = \tan{\beta}$ Hoek in $S = \angle (k,l)$ $\alpha - \beta \approx 116.6 \degree$ dus $\angle (k,l) \approx 63.4 \degree$. Alternatief: $\cos{\angle (k,l)} = \frac{|\overrightarrow{r}_k \cdot \overrightarrow{r}_l|}{|\overrightarrow{r}_k| \cdot |\overrightarrow{r}_l|} = \frac{|-2|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{20}}$ $\overrightarrow{r}_k = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \angle (k,l) = \cos{^{-1}(\frac{2}{\sqrt{20}})} \approx 63.4 \degree$ $\overrightarrow{r}_l = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ b) $\left. \begin{array}{ll} P(p, g(p)) = (p, -\ln{p-1}) \\ A(0,-2) \end{array} \right \} \,\,\, r.c._{AP} = \frac{-\ln p-1 -(-2)}{p-0} = \frac{-\ln p+1}{p}$ $r.c._{raaklijn \, in \, P} = g’(P) = -\frac{1}{p}$ Lengte lijnstuk $AP = \sqrt{(p-0)^2 + (-\ln p -1+2)^2} = \sqrt{p^2 + (-\ln p + 1)^2} = L$ $L$ is maximaal als $L^1= 0$ $\frac{2p + -\frac{1}{p} \cdot 2 \cdot (-\ln p +1)} {2 \cdot \sqrt{p^2 + (-\ln p + 1)^2}} = 0 \Rightarrow$ $2p + \frac{2\ln p}{p} - \frac{2}{p} = 0$ $p = \frac{1}{p} - \frac{\ln p}{p} \Rightarrow p^2 = 1 - \ln p$ (1) Loodrecht snijden in P betekent $r.c._{AP} \times g’(p) = -1$. $\frac{-\ln p +1}{p} \times \frac{-1}{p} = -1$ $\frac{\ln p -1}{p^2} = -1 \Rightarrow p^2 = 1- \ln p$ (2) $vgl(1) = vgl(2)$ dus lengte lijnstuk $AP$ is maximaal als lijn $AP$ en grafiek van $g(x)$ loodrecht snijden.   a) Grafieken raken als $\begin{cases} f(x) = g_p(x) \\ f’(x) = g_p’(x) \end{cases}$  Dat betekent hier $\begin{cases} -4 + \sqrt{3x+4} = p \cdot (x-4) \\ \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} = p \end{cases}$ Vul $ \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} = p$ in in $-4 + \sqrt{3x+4} = p\cdot (x-4)$. $-4 + \sqrt{3x + 4} = \frac{3}{2\sqrt{3x+4}}\cdot(x-4)$ $-8\sqrt{3x+4} + 2\cdot (3x+4) = 3(x-4)$ $(3x+20)^2 = (8\sqrt{3x+4})^2$ $9x^2 + 120x + 400 = 64 \cdot(3x+4)$ $9x^2 - 72x + 144 = 0$ $x^2 - 8x + 16 = 0$ $(x-4)^2 = 0$ $x= 4$ voldoet, $\Rightarrow p = \frac{3}{2\cdot \sqrt{16}}=\frac{3}{8}$ b) Snijpunt op $x-as = (4,0)$ immers $f(4) = g_p(4) = 0$ $O_v = \int^4_0(f(x) - g_p(x)) \cdot dx = 5 \frac{1}{3}$ (je doet bovenste grafiek - onderste grafiek) Bekijk eerst $h(x) = f(x) - g_p(x) = -4 + \sqrt{3x + 4} - p \cdot (x-4)$ Primitieve $H(x) = -4x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1\frac{1}{2}} \cdot (3x+4)^{1\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}p(x-4)^2 = -4x + \frac{2}{9} \cdot (3x +4) \cdot \sqrt{3x+4} - \frac{1}{2}p(x-4)^2$ Er geldt nu $O_v = H(4) - H(0) = 5\frac{1}{3}$ $H(4) = -16 + \frac{2}{9} \cdot 16 \cdot \sqrt{16} - \frac{1}{2}p \cdot 0 = -\frac{16}{9}$ $H(0) = \frac{16}{9} - \frac{1}{2}p \cdot 16 = \frac{16}{9} - 8p$ Dus  $-\frac{16}{9} - (\frac{16}{9} - 8p) = 5\frac{1}{3}$ $\frac{-32}{9} + 8p = \frac{16}{3}$ $p = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} = \frac{10}{9}$