Kern Wiskunde - Hoofdstuk 2 - Ruimtemeetkunde oefentoetsen & antwoorden

a) De lengte van de  diameter is twee keer de straal. b) De hoogte en de oppervlakte van het grondvlak: $I = G \cdot h$. c) 3 keer (dat komt door die ⅓ in de formule van de inhoud van de piramide). d) Het is een cirkel, dus $\pi$ keer de straal in het kwadraat. e) Lijnen kunnen ook evenwijdig lopen of elkaar kruisen (als ze niet in hetzelfde vlak liggen).  f) Een aanzicht kun je in een 3D-assenstelsel tekenen: dan krijg je een projectie. Zo is bijvoorbeeld een bovenaanzicht in een 3D-assenstelsel te tekenen als de z-projectie (op het onderste vlak van het assenstelsel).  g) Je kunt de oppervlakte van een ruimtefiguur berekenen door alle oppervlaktes van de grensvlakken bij elkaar op te tellen.   a) Teken eerst het voorvlak van 4 cm bij 5 cm. Om schuin naar achter te gaan moet je de helft van de ribben naar rechts en één stap omhoog. In dit geval is dat 1,5 naar rechts 1 omhoog. Vanuit punt K, L, P en O gaan we 1,5 naar rechts 1 omhoog. Teken vervolgens het achtervlak. Zet nu nog de letters erbij. Denk aan de stippellijntjes! b)  KL is een ribbe. KM is een grensvlakdiagonaal (behorende bij grensvlak KLMN). KQ is een lichaamsdiagonaal. c) Ja, je kunt de balk ook als prisma zien. Een prisma is immers een ruimtefiguur waarvan het grondvlak en bovenvlak evenwijdige gelijke veelhoeken zijn: in het geval van een balk zijn dat rechthoeken. (In dit geval: vlakken KLMN en OPQR).   De diameter van de rode bol is drie keer zo groot, dus ook de straal is drie keer zo groot De inhoud van een bol bereken je met de formule: $I = \frac{4}{3} \pi r^3$. Als de straal dus drie keer zo groot wordt, wordt de inhoud $r^3 = 3^3 = 27$ keer zo groot. De blauwe bol past dus 27 keer in de rode bol.   a) b) c) d) Tel de hoogtes van antwoord c bij elkaar op: 1+2+3+1+2=9.   a) Deze uitslag hoort bij een kubus. (Je herkent aan de zes vierkanten dat het geen balk is, want daarbij hoeven niet alle vlakken hetzelfde te zijn).  b) Let bij je antwoord op dat om een regelmatige piramide werd gevraagd: dus zorg dat de driehoeken gelijke hoogtes hebben.   a)  Bij het bepalen van de inhoud van een prisma hoort de formule: Inhoud = oppervlakte grondvlak x hoogte. Het grondvlak hier is vlak ABCDE en de hoogte is  onder andere af te lezen via lijnstuk AF = 55 cm. Het bepalen van de oppervlakte van vlak ABCDE doen we met behulp van het plaatje hieronder. Een manier is vierkant A(B)F(C)DE te maken, daarvan de oppervlakte te bepalen om vervolgens de oppervlakte van driehoek BFC er weer af te halen. Dat geeft: oppervlakte AFDE = 90 x 90 cm = 8100 cm$^2$ oppervlakte BFC = $\frac{1}{2}$ x zijde x bijbehorende hoogte = $\frac{1}{2}$ x 65 x 65 =  $\frac{1}{2}$ x 4225 =  2112,5 $cm^2$ oppervlakte grondvlak ABCDE = 8100 - 2112,5 = 5987,5 cm$^2$ Inhoud prisma = 55 cm x 5987,5 cm$^2$ = 29937,5 cm$^3$ (niet afronden!) Tip: Een andere aanpak bij het bepalen van het grondvlak ABCDE had ook gekund door het vlak op te delen in meerdere stukken van bekende platte figuren, zoals rechthoeken en driehoeken. Deze manier van werken is omslachtiger en verdient in dit geval omwille van de tijd niet de voorkeur. Hou het zo eenvoudig en simpel mogelijk! b) Aan het grondvlak van het bad verandert er niets. Het feit dat het water tot 10 cm onder de rand van het bad komt, zorgt ervoor dat de hoogte van het prisma nu 55 - 10 = 45 cm wordt. Inhoud = opp. grondvlak ABCDE x hoogte =  5987,5 $cm^2$ x 45 cm =  269437,5 $cm^3$ =  269,4375 L ( 1 $dm^3$ = 1 Liter, dus daarom de berekening 269437,5 : 1000) ≈ 270 L (Rond in dit geval logisch af op hele liters naar boven want ronden we af naar beneden dan is het water lager dan die 10 cm onder de rand) c) Neem nu 270 liter en er komt 15 liter per minuut uit de kraan: dan is het aantal minuten = 270 : 15 = 18 minuten.   De kaas is een cilinder. De inhoud van heel de kaas is $\pi \cdot 22,5^2 \cdot 15 = 23856,469… $ kubieke centimeter. Hier heb je maar 15/360 deel van, dus vermenigvuldigen met 15 en delen door 360 Eindantwoord: 994,02 kubieke centimeter.   a)  Omdat de kegel precies in de balk past, passen beide grondvlakken ook precies in elkaar. Te zien is dat het grondvlak van de balk een vierkant is met zijde $6$, en dit betekent dat de diameter $LK$ van het cirkelvormige grondvlak van de kegel ook 6 lang is. De straal is daarvan de helft, dus 3. b)  De formule voor de inhoud van de kegel is: $I = \frac{1}{3} G \cdot h = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. De straal is 3 en de hoogte 8. Invullen geeft: $I = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 24 \pi$. c) Inhoud balk = $\rm 6 \cdot 6 \cdot 8 = 288 \, cm^3$. De kegel heeft (in cm$^3$) inhoud $\rm 24 \pi = 75,389… cm^3$. Behalve de kegel is er dus nog $\rm 288 - 75,389... \approx 213 \, cm^3$ lege ruimte over in de balk. d) Tip: maak eerst een schetsje van het piramidegrondvlak in het grondvlak van de balk: Inhoud piramide = $\frac{1}{3} G \cdot h$. Noem het piramidegrondvlak $IQKP$ (zie schetsje). Oppervlakte $IQKP$ is gelijk aan de oppervlakte van $\triangle KPI$ plus de oppervlakte van $\triangle IQK$. Beide driehoeken hebben een zijde van $6 \, cm$ en een hoogte van $3 \, cm$, en beide driehoeken hebben daarom een oppervlakte van $\frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 \, cm^2$. (Het is voorkennis dat oppervlakte driehoek = $\frac{1}{2}$ x basis x hoogte.)  Dus: piramidegrondvlak $IQKP = 2 \times 9 = 18 \, cm^2$. Dus inhoud piramide = $\frac{1}{3} G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 8 = 48 \, cm^3$.   Alternatieve werkwijze voor de oppervlakte van het grondvlak: Oppervlakte $IQKP$ is gelijk aan de oppervlakte van $ABCD$ min de oppervlaktes van de vier rechthoekige driehoeken $IAQ$ en $QBK$ en en $PDI$ en $KCP$. Oppervlakte $ABCD = 6 \cdot 6 = 36 \, cm^2$ Oppervlakte van de driehoeken $IAQ$ en $QBK$ en en $PDI$ en $KCP$: omdat $AB = 6 \, cm$ en $Q$ in het midden van $AB$ ligt, zijn $AQ$ en $QB$ ieder $3 \, cm$ lang; zo ook $DP$ en $PC$  omdat $BC = 6 \, cm$ en $K$ in het midden van $BC$ ligt, zijn $BK$ en $KC$ ieder $3 \, cm$ lang; zo ook $AI$ en $ID$ ieder van deze vier driehoeken is rechthoekig met dus zijde $3$ en hoogte $3$ en daarom heeft ieder van deze driehoeken oppervlakte $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5 \, cm^2$ Dus is oppervlakte $IQKP = 36 - 4 \cdot 4,5 = 18 \, cm^2$.   Voor het gemak herhalen we de tekening van opgave 2. De x-as loopt langs lijn KN, de y-as langs NM en dus loopt de z-as langs zijde NR.  a)  K(3, 0, 0): want zijde KN = LM = 3 cm, en verder ligt het punt op de x-as, dus y=z=0. M(0, 4, 0): want zijde NM = KL = 4 cm, en M ligt op de y-as dus x en z zijn 0. b) P(3, 4, 5): het heeft de x-coördinaat van punt K, de y-coördinaat van punt M en ligt op hoogte 5 (want zijde KO = 5 cm, zoals gegeven was).  c)  NO en MP lopen evenwijdig. Ze liggen namelijk in hetzelfde vlak (doorsnede NMOP) en snijden elkaar niet. KQ en LP kruisen elkaar, want ze liggen niet in hetzelfde vlak.    a)  De inhoud van een prisma bereken je met: $I = G \cdot h$. De inhoud van een piramide met:$I = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$.  Daaruit kun je zien dat een piramidevormige figuur altijd 3 keer in de prisma die eromheen zit past (want de inhoud van de prisma is 3 keer zo groot). Dus $ABFC$ is een derde van heel de prisma. Dus $ABEFD$ moet twee derde deel zijn van heel de prisma, dus twee keer zo groot als $ABFC$. De verhouding is dan 2:1. b) Vooraanzicht en zijaanzicht: c) Zie afbeelding. De drie lijnstukken $AB$, $AF$, $BF$ zijn rood aangegeven. Wanneer je een schaar zet in het kartonnetje van de wc-rol en je knipt over de rode lijn van 10 cm in het plaatje en maakt het vervolgens plat, dan ontstaat er een rechthoek als figuur. De breedte is dan 10 cm en de lengte van dat figuur is dan gelijk aan de omtrek van cirkelvormige grondvlak van de wc-rol (zie de blauw gestippelde cirkel). De lengte van de stippellijn bereken je met de formule: Lengte (omtrek van cirkel) = diameter x $\pi$ (voorkennis), dus 4 x $\pi$ = 12,56 … cm. De rechthoek krijgt de afmeting van 12,56… bij 10 cm (zie het plaatje hierna) De oppervlakte van het karton van de wc-rol = lengte x breedte = 12,56 ... x 10 = 125,6 … ≈ 125,6 cm$^2$.