Getal & Ruimte 12e ed deel 1 - Hoofdstuk 1 - Lineaire problemen oefentoetsen & antwoorden

a) Als je aan de linkerkant van de vergelijking iets optelt, moet je aan de rechterkant van de vergelijking hetzelfde doen. (Dus altijd aan beide kanten hetzelfde doen. Bijvoorbeeld als je de term $-3x$ overbrengt van rechts naar links, doe je aan beide kanten $+3x$). b) Een lineaire grafiek is een rechte lijn. De formule van een lineair verband is $y=ax+b$, met: $a$ is de richtingscoëfficiënt. Dit is de vaste toename die hoort bij een horizontale stap van 1. $b$ is het startgetal. Dit vind je in de tabel onder de waarde 0 of door het snijpunt van het grafiek met de y-as af te lezen. $x, y$ zijn de variabelen.  c) De uitvoer is altijd de waarde die uit de functie komt als je een getal invoert. In dit geval is de uitvoer dus $f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. d)  Schrijf de vergelijking op die je krijgt als je de twee formules gelijkstelt, dus $f(x)=g(x)$. Bereken vervolgens de $x$-coördinaat door de vergelijking op te lossen. Vul de gevonden $x$ in bij één van de vergelijkingen om de $y$ uit te rekenen. e) De grafiek die hierbij hoort is een lijn, en die kun je tekenen door (als altijd bij een lijn) de coördinaten van twee punten te berekenen. (Het handigste is om te berekenen wat $x$ is bij $y=0$ en omgekeerd ook wat $y$ is bij $x=0$.)   a)  De oranje grafiek heeft richtingscoëfficiënt 0 (of: geen richtingscoëfficiënt), omdat de grafiek een horizontale lijn is. Dat wil zeggen dat er geen x-waarde is in de formule. De grafiek stijgt of daalt daardoor niet: het is een constant verband. Het is een lijn, dus vergelijking: $y=ax+b$.  De $a$ is in dit geval dus 0.  De $b$ lezen we af met het snijpunt met de y-as: die is $7$. Dus vergelijking: $y=7$. b) Bij de blauwe grafiek. Dit is een dalende grafiek, dus de richtingscoëfficiënt is negatief. Er is sprake van een afname.   a) Gebruik de algemene formule voor een lijn: $y =ax+b$. Lijn $k: k(x) =ax+b$ $\rm Richtingscoëfficiënt = \frac{toename \, tweede \, coördinaat}{toename \, eerste \, coördinaat}$. Gebruik bijvoorbeeld punten $(0,-1)$ en $(2,2)$ (zorg dat je roosterpunten gebruikt zodat je ze goed kunt aflezen). Dan is $a = \frac{3}{2}=1,5$. Startgetal $b= -1$ (lees af bij de $y$-as) Dus $k(x)=1,5x-1$. Lijn $l: l(x)=ax+b$ Richtingscoëfficiënt $-2$ (gebruik bv. punten $(0,3)$ en $(1,1)$) $b=3$ Dus $l(x)=-2x+3$ b)  Evenwijdig betekent: dezelfde richtingscoëfficiënt, dus we weten alvast dat $m(x)=-2x+b$. Zoek de $b$ door het gegeven punt $(-1; 1,5)$ in te vullen: $1,5 = -2 \times -1 +b$ $1,5 = 2 +b$ $b=-0,5$ Dus $m(x)=-2x-0,5$. c)  Stel ze gelijk. Je krijgt vergelijking: $1,5x-1= -2x+3$ Los op: $1,5x-1= -2x+3$ $3,5x=4$ Deel beide kanten door $3,5$: $x=1,14...$. Vul in bij $k$ om de y-coördinaat te vinden: $y=1,5 \times 1,14... -1 = 0,71$. Controle: bij $l$ komt er hetzelfde uit: $y=-2 \times 1,14... +3 = 0,71$ (het kan een klein beetje afwijken als je de $x$ tussendoor hebt afgerond) Conclusie: snijpunt $(1,14; 0,71)$.   We schrijven steeds om naar de vorm $y=ax+b$, waarbij a en b de richtingscoëfficiënt en het startgetal zijn. a)  Zorg dat $y$ vooraan komt te staan: $4x-5y=12$ $-5y=12-4x$ $y=\frac{12-4x}{-5}=2\frac{2}{5}-\frac{4}{5}x$ Richtingscoëfficiënt is $-\frac{4}{5}$ en startgetal $2\frac{2}{5}$ (dit zijn de $a$ en de $b$ uit de formule $y=ax+b$) b)  Zorg dat $y$ vooraan komt te staan: $7x+y=-8$ $y=-7x-8$ Richtingscoëfficiënt is $-7$ en startgetal $-8$ c) Zorg dat $y$ vooraan komt te staan: $0,3y+12=x$ $0,3y=x-12$ Deel nu door $0,3$: $y=3,33x-40$ Richtingscoëfficiënt is $3,33$ en startgetal $-40$. a) $3(4-x)+7x=16x-2(3x-5)-6$ Werk eerst de haakjes weg: $12-3x+7x=16-6x+10-6$ (let op de plus die je krijgt van $-2 \cdot -5 = +10$) Alle $x$ naar links en alle getallen naar rechts: $-3x+7x+6x = 10 -6 -12$ $10x = -8$ Deel nu nog door het getal dat voor de $x$ staat: $x=-\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$ b)  $x+2=3-1\frac{1}{3}x$ Werk de breuk weg. Ook bij $1\frac{1}{3}$ kun je daarvoor gewoon $\times 3$ doen, dan krijg je $4$: $3x+6=9-4x$ Alle $x$ naar links, getallen naar rechts, en herleiden: $3x+4x = 9 -6$ $7x=3$ Deel door het getal voor $x$: $x=\frac{3}{7}$ c)  $35-2(5x+5)=7(4x+3)+15$ Werk de haakjes weg: $35-10x-10 = 28x + 21 + 15$ Herleid en breng alle $x$ naar links: $-10x - 28x = 21 + 15 -35 + 10$ $-38x = 11$ Deel door het getal voor $x$: $x=-\frac{11}{38}$ (die breuk kan niet simpeler) d) $\frac{1}{2}(x-2)-\frac{1}{4}x= \frac{1}{3}(x-2)$ Werk de haakjes weg (overigens mag je ook eerst de breuken wegwerken): $\frac{1}{2}x-1-\frac{1}{4}x=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$ Werk de breuken weg. $\rm kgv(2,3,4)=12$, dus vermenigvuldig alles met $12$: $6x-12-3x=4x-8$ $3x-12 = 4x-8$ Alles met $x$ weer naar links en getallen naar rechts: $3x-4x = -8 + 12$ $-x=4$ Doe alles $\times -1$, oftewel vervang alle minnen door plussen en omgekeerd: $x=-4$ (+) e)  $6\frac{1}{2}-\frac{5-x}{2}=\frac{3}{2}x$ Breuken wegwerken: alles $\times 2$: $13-(5-x)=3x$ (let op: er moeten nog haakjes staan, omdat de - voor de hele breuk stond!) $13-5+x=3x$ $8+x=3x$ Alle $x$ naar links en getallen naar rechts: $-2x=-8$ Deel door $-2$: $x=4$ (+) f) $\frac{x-1}{3} - \frac{x}{6} = x+5$ Breuken wegwerken door met het kleinste gemeenschappelijke veelvoud te vermenigvuldigen. $\rm kgv(3,6)=6$ dus we doen $\times 6$: $2(x-1) - x = 6x + 30$ (let op de haakjes) Herleid en breng alle $x$ naar links: $2x-2 -x = 6x +30$ $x-2 = 6x +30$ $x-6x = 30 +2$ $-5x = 32$ Deel door $-5$: $x= \frac{32}{5} = -6\frac{2}{5}$ a)  Per 100 m 0,9 °C, dus per meter 0,009 °C eraf Dus in totaal 0,009 x 4808 = 43,27 °C verschil (want zeeniveau betekent 0 m hoogte) 33 °C - 43,72 °C = -10,27 °C. b) Lineaire functie, dus vorm is $T(h) = ah+b$ Richtingscoëfficiënt is -0,009 (per meter 0,009 °C afname) Beginwaarde is 33 Dus $T(h)=-0,009h+33$ c)  Richtingscoëfficiënt = $\rm \frac{toename \ temperatuur}{toename \ meters} = \frac{11-25}{3000-900} = -0,0067$ Dus functie is $T(h) = -0,0067h+b$. Beginwaarde b vinden we door een punt in de formule in te vullen. We kiezen $(900, 25)$: $25 = -0,0067 \cdot 900 +b$ $25 = -6 +b$ $b= 25 + 6= 31$ Dus $T(h) = -0,0067h+31$ d) We moeten het snijpunt vinden, dus we stellen de functies gelijk: $-0,009h+33 = -0,0067h+31$ $-0,0023h = -2$ $h =\frac{-2}{-0,0023}\approx 870$ Dus op 870 m hoogte is de temperatuur gelijk.   Stel ze eerst gelijk: $f(x)=g(x)$ $\tfrac{1}{3}(5x-2) = 3\tfrac{1}{4}x+10$ Nu kun je op twee manieren te werk gaan om de vergelijking op te lossen: 1. Eerst haakjes uitwerken en breuken uitschrijven. Dan krijg je: $\tfrac{5}{3}x-\tfrac{2}{3} = \tfrac{13}{4}x+10$.  Nu moet je bedenken dat $\tfrac{5}{3}-\tfrac{13}{4} = \tfrac{20}{12}-\tfrac{39}{12}=-\tfrac{19}{12}$. Dus de vergelijking wordt: $-\tfrac{19}{12}x = 10+\tfrac{2}{3}$ $-\tfrac{19}{12}x = \tfrac{32}{3}$.  Als laatste deel je dan door $\tfrac{19}{12}$, dus vermenigvuldig je met $-\tfrac{12}{19}$. (Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde). Dan krijg je $x=-\tfrac{32}{3}\cdot\tfrac{12}{19} = -\tfrac{128}{19} = -6\tfrac{14}{19}$. 2. Direct alles vermenigvuldigen met $12$ (want $\rm kgv(3,4) =12$). Dan krijg je: $4(5x-2)=39x+120$.  Hieruit volgt $-19x = 128$, en dan ben je veel sneller bij het antwoord hierboven.   Nu weten we de $x$-coördinaat van het snijpunt. Om ook de $y$-coördinaat te achterhalen moeten we de oplossing invullen bij één van de twee lijnen.  Dit is het makkelijkst bij de tweede lijn. Je krijgt dan  $y=\tfrac{13}{4} \cdot -\tfrac{128}{19} +10 = -\tfrac{13\cdot 32}{19}+10 = -\tfrac{416}{19}+10 = -21\tfrac{17}{19}+10=-11\tfrac{17}{19}$. Het snijpunt is dus $S(-6\tfrac{14}{19}, -11\tfrac{17}{19})$.   a)  Bij het snijpunt met de y-as is $x=0$. Dat vullen we in de vergelijking van de lijn in om y te vinden: $0 - 2y = 8$ $-2y = 8$ $y = \frac{8}{-2} = -4$. Coördinaten van het snijpunt zijn dus $(0, -4)$. b)  We weten al de y-coördinaat van het punt, dus die kunnen we invullen in de vergelijking van de lijn om $p$ te vinden: $k: x-2y = 8$ $x-2 \cdot 10 = 8$ $x - 20 = 8$ $x=28$ Dus $p=28$. c)  We hebben per lijn twee punten nodig waar we de lijn doorheen kunnen trekken. Zorg eerst voor tabellen. De waardes bij $x=0$ en $y=0$ zijn het eenvoudigst te vinden, dus zorg altijd voor een tabel met deze vorm: $x$ $0$ $y$ $0$ In dit geval krijgen we bij $k$ de volgende tabel: $x$ $0$ $8$ $y$ $-4$ $0$ En bij $l$: $x$ $0$ $2$ $y$ $1$ $0$ Nu kun je de grafiek tekenen, met de gevonden punten. Zie hieronder. (Het maakt niet zo veel uit van waar tot waar je assen lopen, maar zorg uiteraard dat de oorsprong en de snijpunten met de assen in je grafiek staan).  De eenvoudigste werkwijze is om eerst de vergelijking van de lijn op te stellen in de vorm: $y=ax+b$. Deze kunnen we dan omschrijven naar de vorm $px+qy=r$. In de vorm $y=ax+b$ werken we als volgt: Stap 1: $a$ vinden.  Gebruik de formule: $\rm Richtingscoëfficiënt = \frac{toename \, tweede \, coördinaat}{toename \, eerste \, coördinaat}$. Dus $a= \frac{2\frac{1}{2}- - 1}{0-2} = \frac{3\frac{1}{2}}{-2}=-1\frac{3}{4}$. Stap 2: $b$ berekenen. Dus de lijn wordt $y=-1\frac{3}{4}x+b$.  Vind $b$ door een punt in te vullen (wij kiezen $(2, -1)$: $-1 = -1 \frac{3}{4} \cdot 2 +b$ $-1=-3\frac{1}{2}+b$ $b=-1+3\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$ Conclusie: dus $y=-1\frac{3}{4}x+2\frac{1}{2}$. Nu moeten we deze omschrijven naar de vorm $px+qy=r$. Zorg eerst dat $x$ en $y$ aan één kant staan en bedenk vervolgens dat $p, q, r$ hele getallen moeten zijn (de breuken moeten weg).  Haal dus eerst $x$ naar links: $1\frac{3}{4}x+y=2\frac{1}{2}$ Laatste stap: breuken weg door alles $\rm \times kgv(4, 2) = 4$ te doen. Dus de vergelijking is $7x+4y=10$.   a)  Bij de tweede lijn is de $y$ al vrijgemaakt, dus we kunnen gelijk deze lijn bij de eerste invullen op de plek van $y$: $y-4=4x $, en vul in  $y=2+x$: $(2+x) - 4 = 4x$ $-2 + x = 4x$ $3x=-2$ $x=-\frac{2}{3}$ Vul in om de $y$ te vinden (mag bij beide vergelijkingen): $y=2+x$ geeft $y=2-\frac{2}{3}=1\frac{1}{3}$ Dus oplossing: $(-\frac{2}{3},1\frac{1}{3})$. b)  Maak eerst $x$ of $y$ vrij. We kiezen ervoor $x$ vrij te maken bij de eerste vergelijking (dat is makkelijk omdat die $x$ al los staat, zonder getal ervoor. Je mag ook een andere keuze maken). $2y=x+2$ $x = 2y-2$ Vul deze gevonden $x$ in bij de tweede vergelijking. Denk aan de haakjes bij het invullen! $2(2y-2) -y = 2$ Los op: $4y-4 - y = 2$ $3y-4=2$ $3y=6$ $y=2$ Gebruik de gevonden $y$ om de $x$ te vinden. We vullen het in bij de formule voor $x$ die we al bij de eerste stap vonden: $x = 2y-2 = 2\cdot 2 - 2 = 2$ Dus snijpunt is $(2,2)$. a)  Het eerste gegeven is dat de mix bestaat uit rood en groen. 1 zakje krijg je door $x$ zakjes rood en $y$ zakjes groen bij elkaar te doen, oftewel: $x+y=1$. Het tweede gegeven zijn de prijzen. De prijs voor $x$ zakjes rood is $2,50 x$, en zo ook kosten $y$ zakjes groen $1,70y$; en samen kost een zakje rood-groen €2,20, dus we krijgen: $2,50x+1,70y=2,20$. Dus stelsel: $\begin{cases} x+y = 1 \\ 2,50x + 1,70y = 2,20 \end{cases}$ b)  We maken eerst $x$ vrij in de eerste vergelijking (een andere keuze mag ook): $x=1-y$ Deze vullen we in bij de tweede vergelijking: $2,50 (1-y) + 1,70y = 2,20$ Nu oplossen: $2,50 - 2,50y +1,70y = 2,20$ $-0,8y = -0,3$ $y=\frac{3}{8}$ Vind $x$ door in te vullen. Het makkelijkste is om bij de vergelijking in te vullen die we bij de eerste stap kregen: $x=1-y = 1-\frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ Dus de verhouding rood:groen is $\frac{5}{8} : \frac{3}{8}$, of $5:3$. (Je mocht het ook in kommagetallen omrekenen).