Getal en Ruimte 12e ed deel 1 - Hoofdstuk 3 - Assenstelsels en grafieken oefentoetsen & antwoorden

a)  De rekenvolgorde is overal op de wereld hetzelfde. Dat is zo afgesproken. Doe je het anders, dan krijg je foute antwoorden. De rekenvolgorde is zo: -  Eerst alles tussen haakjes (totdat je 1 getal binnen de haakjes overhoudt, en dan kunnen de haakjes weg) -  Daarna vermenigvuldigen en delen van links naar rechts -  Dan optellen en aftrekken van links naar rechts b) positief ∙ positief  = positief (voorbeeld: 2 ∙ 3 = 6) positief ∙ negatief = negatief (voorbeeld: 2 ∙ -3 = -6) negatief ∙ positief = negatief (voorbeeld: -2 ∙ 3 = -6) negatief ∙ negatief = positief (voorbeeld: -2 ∙ -3 = 6) Je ziet al wel, dat we die positieve tekens in het antwoord weglaten. Dus als er geen teken voor een getal staat is het altijd positief.   c)  Tussen de haakjes staat altijd eerst de x-coördinaat. De y-coördinaat van punt A is dus -3 De x-coördinaat van punt A is 5. d)  De assen van het assenstelsel in de tekening zijn mooi recht, dat is netjes. Maar de horizontale as is de x-as, en daar staat y-as bij, en bij de verticale as staat x-as. Die zijn dus omgedraaid. En de indeling op de verticale as klopt niet. Het eerste hokje is een stap van 10, de volgende hokjes zijn stappen van 5. Dat mag niet, elk stapje moet evenveel zijn. Het assenstelsel hiernaast is zoals het wel hoort. a)  −4 ∙ 3 = −12 want negatief keer positief is negatief b)  −6 ∙ −8 = 48 want negatief keer negatief is positief c)  5 – 9 − −4 = bij optellen en aftrekken zijn 2 minnen naast elkaar weer plus 5 – 9 + 4 = dan optellen en aftrekken van links naar rechts −4 + 4 = 0 d)  −2 ∙ 7 + 3 ∙ −2 = eerst doen we de beide vermenigvuldigingen, mag in één keer  −14 + −6 = bij optellen en aftrekken is plus en min naast elkaar min  −14 − 6 = −20 e)  −2 ∙ −2 ∙ −2  = −8 als het aantal minnen in een vermenigvuldiging oneven is, dan is het antwoord negatief f)  −2 ∙ 2 ∙ 2 = −8 dit is een vermenigvuldiging met één min erin, dat is ook een oneven aantal, en dus is dit antwoord ook negatief g)  (19 - 4) – 5 : –5 = eerst tussen de haakjes uitrekenen, haakjes kunnen dan weg 15 – 5 : –5 = dan eerst de deling 15 + 1 = 16 daarna optellen Tip bij deze som: soms kun je het antwoord in één keer opschrijven, want er zijn geen tussenstappen bij de berekening van:  −4 ∙ 3 = −12. Maar in som c) bijvoorbeeld zijn er wel meer tussenstappen, en die moet je netjes stap voor stap volgens de rekenvolgorde onder elkaar opschrijven steeds met een = erachter, totdat je het eindantwoord hebt. Nog een hele belangrijke Tip: Hier zie je som d) zoals het niet mag: −2 ∙ 7 + 3 ∙ −2 = −2 ∙ 7 = −14 3 ∙ −2 = −6 −14 + −6 = −20 −14 − 6 = −20 Het antwoord is wel goed, maar de manier waarop het is opgeschreven niet. Als je geluk hebt krijg je één punt voor het goede antwoord, maar je krijgt geen punten voor de berekening helaas. Let dus goed op het verschil, want als je het zo doet krijg je heel moeilijk een voldoende! a)  15 – 27 : 3 = eerst delen 15 – 9 = 6 dan aftrekken b)  3 + 7 ∙ 4 = eerst vermenigvuldigen 3 + 28 = 31 dan optellen c)  –3 ∙ 2 : (–2 ∙ 4 + 8) = eerst de haakjes –3 ∙ 2 : (–8 + 8) = –3 ∙ 2 : 0 = k.n. antwoord: delen door 0 kan niet d)  –2 ∙ (–9 + 10) – 2 = eerst de haakjes –2 ∙  1 – 2 = dan vermenigvuldigen –2  – 2 = – 4 en dan aftrekken e)  –7 ∙ (11 – 9) – (–3 – 4) = eerst de haakjes, mag allebei in één keer –7 ∙ 2 – – 7 = dan eerst vermenigvuldigen –14 – – 7 = twee minnen naast elkaar wordt plus –14 + 7 = –7 en dan nog optellen, en klaar! f)  8 – (–24 : –3) + (–5 ∙ 4) + 20 = eerst weer de haakjes 8 – 8 + – 20 + 20 = plus en min naast elkaar wordt min 8 – 8 – 20 + 20 = 0 dan optellen en aftrekken van links naar rechts g)  –3 ∙ 3 ∙ – 3 : -9 ∙ –2 : (–18 : –3) = eerst weer de haakjes –3 ∙ 3 ∙ –3 : –9 ∙ –2 : 6 = vermenigvuldigen en delen van links naar rechts –9 ∙ –3 : –9 ∙ –2 : 6 = hier even stap voor stap 27 : –9 ∙ –2 : 6 = –3 ∙ –2 : 6 = 6 : 6 = 1 h)  24 ∙ 312 ∙ (–19 + 19) = eerst weer de haakjes 24 ∙ 312 ∙ 0 = 0 en dan de vermenigvuldiging Er komt 0 uit, want alles wat je met 0 vermenigvuldigt heeft als antwoord: 0. Tip: dus doe je berekeningen stap voor stap, volgens de rekenvolgorde en schrijf elke stap op. Eerst haakjes, dan vermenigvuldigen en delen van links naar rechts en dan optellen en aftrekken van links naar rechts. In elke volgende regel heb je weer een klein stukje uitgerekend totdat je één antwoord hebt.   a)  $\frac{-2}{-2} = 1$ Als je een getal door hetzelfde getal deelt komt er altijd 1 uit (behalve als het getal 0 is, maar dat hoef je nu nog niet te weten) b)  $\frac{-20}{5}= -4$ min gedeeld door plus is min c)  $\frac{-56}{-8} = 7$ min gedeeld door min is plus d)  $\frac{15 - 23}{-2 \cdot 4} =$ berekening boven de streep en er onder $\frac{-8}{-8} = 1$ tot je boven en onder 1 getal hebt, dan delen e)  $\frac{16 + 4 : 2}{-6 + 8} =$ doe net als hiervoor $\frac{16 + 2}{2} =$ $\frac{18}{2} = 9$ f)  $10 + 4 \cdot \frac{19 - 7}{-6} =$ eerst de deling netjes maken $10 + 4 \cdot \frac{12}{-6} =$ dan de deling uitrekenen $10 + 4 \cdot -2 =$ dan de vermenigvuldiging $10 + -8 =$ plus en min naast elkaar wordt min $10 – 8 = 2$ en aftrekken als laatste stap Je ziet hier, dat we eerst de deling met de deelstreep uitrekenen. Dat lijkt misschien verkeerd, want je zou denken dat je eerst moet vermenigvuldigen, maar dat is toch goed, omdat er eigenlijk haakjes om de deling horen te staan die we in de wiskunde weglaten omdat er een deelstreep staat. g)  $7 \cdot \frac{6 – 15}{-3} - (\frac{18}{6} + 5) =$ eerst de deling binnen de haakjes $7 \cdot \frac{6 – 15}{-3} - (3 + 5) =$ dan de optellen binnen de haakjes $7 \cdot \frac{6 – 15}{-3} - 8 =$ de andere deling netjes maken $7 \cdot \frac{-9}{-3} - 8 =$ dan de deling uitvoeren $7 \cdot 3 - 8 =$ nu nog vermenigvuldigen $21- 8 = 13$ en het antwoord geven   a)  Je hebt 32, en als je er 2 keer hetzelfde bij optelt, dan krijg je 38. Er komt dus 2a bij, en 2 keer a is 6. Dus a is 6 : 2 = 3. Controleer maar, vul voor a maar 3 in:  $32 + 2 \cdot 3 =$ $32 + 6 = 38$ Je wist natuurlijk al, dat 2a eigenlijk $2 \cdot a$ betekent. Een cijfer en een letter naast elkaar betekent altijd cijfer keer letter! b)  Deze is iets lastiger. Je hebt 24, en als je er 2 keer iets van af doet, dan krijg je 32, en dat is 8 erbij. Dat lijkt raar, maar dat kan wel met negatieve getallen. Kijk maar: $-2 \cdot b$ is 8. Dan is b dus 8 : -2 = -4. Even controleren:  $24 – 2 \cdot -4 =$ $24 - - 8 =$ $24 + 8 = 32$ En dat klopt!   a)  $15+5k=$ 5k betekent 5 ∙k $15 + 5 \cdot -3 =$ in plaats van k schrijven we -3 op in de som $15 + -15 =$ na het vermenigvuldigen krijg je dit $15 – 15 = 0$ en het antwoord b)  $-5 + 3k = $ $-5 + 3 \cdot -3 =$ in plaats van k vullen we weer -3 in $-5 + -9  =$ en rekenen het verder uit $-5 - 9  = -14$ c)  $(-9k+3) : -6 = $ nu kun je het vast wel verder zelf. $(-9 \cdot -3 + 3) : -6 =$ $(27+ 3) : -6 =$ $30 : -6 = -5$ d) $\frac{2k}{-6} + k=$ $\frac{2 \cdot -3}{-6} + -3 =$ $\frac{-6}{-6} - 3 =$ $1  - 3 = -2$   a)  Alleen breuken met dezelfde noemer (het getal onder de streep) mag je direct bij elkaar optellen (dus $\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=\frac{6}{7}$). Zijn de noemers niet gelijk, dan moet je ze eerst gelijk maken. Dat noemen we: de breuken gelijknamig maken. $\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=$ $\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}$ Je ziet hier nog een keertje hoe dat gaat, en ook een voorbeeld met een negatieve breuk. b)  $-\frac{3}{4}+\frac{2}{3}=$ $-\frac{9}{12}+\frac{8}{12}=-\frac{1}{12}$ Bedenk: -9 + 8 = -1 Let op!  $\frac{-3}{4}=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$ Deze breuken zijn dus alle drie hetzelfde. Maakt het dan uit waar de min in een breuk staat? Eigenlijk niet, maar als er een min staat in de teller, of in de noemer, dan zetten we de min voor de breuk. Dat is gewoon een afspraak. c)  $3\frac{2}{3}-1\frac{3}{4}=$ $\frac{11}{3}-\frac{7}{4}=$ $\frac{44}{12}-\frac{21}{12}=\frac{23}{12}=1\frac{11}{12}$ Als er helen in de breuk staan, dan moet je die helen eerst binnen de breuk halen. Hierna zie je hoe dat gaat: Na de berekeningen moet je de helen weer uit de breuk $\frac{23}{12}$ halen. 12 Gaat 1 keer in 23, je hebt dus 1 hele en je houdt $\frac{11}{12}$ over. d) $-3\frac{5}{8}+4\frac{1}{2}=$ $-\frac{29}{8}+\frac{9}{2}=$ $-\frac{29}{8}+\frac{36}{8}=\frac{7}{8}$ e) $-2\frac{2}{5}-\frac{2}{7}=$ $-\frac{12}{5}-\frac{2}{7}=$ $-\frac{84}{35}-\frac{10}{35}=-\frac{94}{35}=-2\frac{24}{35}$ f) $\frac{3}{5}-7=$ $\frac{3}{5}-\frac{35}{5}=-\frac{32}{5}=-6\frac{2}{5}$ g) $1\frac{1}{6}-1\frac{1}{5}=$ $\frac{7}{6}-\frac{6}{5}=$ $\frac{35}{30}-\frac{36}{30}=-\frac{1}{30}$ h) $-2\frac{5}{8}+\frac{5}{6}=$ $-\frac{21}{8}+\frac{5}{6}=$ $-\frac{126}{48}+\frac{40}{48}=-\frac{86}{48}=-1\frac{38}{48}=-1\frac{19}{24}$ Je had hier als teller in plaats van 48 ook 24 mogen gebruiken want ze zijn allebei deelbaar door 8 en door 6. Maar het maakt voor het antwoord niet uit. i) $-1-2\frac{1}{6}=-3\frac{1}{6}$ Waarom zou je hier eerst van de -1 een breuk gaan maken? Dat is hier niet nodig. Hele getallen kun je in één keer er bij optellen of van af doen. j) $\frac{3}{10}-\frac{5}{8}=$ $\frac{24}{80}-\frac{50}{80}=-\frac{26}{80}=-\frac{13}{40}$ k) $1\frac{1}{4}-1\frac{5}{8}=$ $\frac{5}{4}-\frac{13}{8}=$ $\frac{40}{32}-\frac{52}{32}=-\frac{12}{32}=-\frac{3}{8}$ l) $1\frac{3}{4}-3\frac{5}{6}=$ $\frac{7}{4}-\frac{23}{6}=$ $\frac{42}{24}-\frac{92}{24}=-\frac{50}{24}=-2\frac{2}{24}=-2\frac{1}{12}$ Hier had je als teller ook best 12 kunnen gebruiken, dat is ook deelbaar door 4 en door 6. a)  25⋅37=(2⋅35⋅7)=635\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{7}=(\frac{2\cdot3}{5\cdot7})=\frac{6}{35}52​⋅73​=(5⋅72⋅3​)=356​ Bij het vermenigvuldigen van breuken doe je teller x teller en noemer x noemer. Dat is wat je tussen de haakjes ook ziet staan. Dat staat hier nu voor de duidelijkheid, maar dat hoef je niet op te schrijven, dat mag in één keer. b)  134⋅−25=1\frac{3}{4}\cdot-\frac{2}{5}=143​⋅−52​= 74⋅−25=−1420=−710\frac{7}{4}\cdot-\frac{2}{5}=-\frac{14}{20}=-\frac{7}{10}47​⋅−52​=−2014​=−107​ Vergeet niet om je antwoord zoveel mogelijk te vereenvoudigen! c)  −3113⋅−115=-3\frac{1}{13}\cdot-1\frac{1}{5}=−3131​⋅−151​= −4013⋅−65=−24065=−34565=−3913-\frac{40}{13}\cdot-\frac{6}{5}=-\frac{240}{65}=-3\frac{45}{65}=-3\frac{9}{13}−1340​⋅−56​=+65240​=36545​=3139​ d) −347⋅−137=-3\frac{4}{7}\cdot-1\frac{3}{7}=−374​⋅−173​= −257⋅−107=25049=5549-\frac{25}{7}\cdot-\frac{10}{7}=\frac{250}{49}=5\frac{5}{49}−725​⋅−710​=49250​=5495​ e)  14:13= \frac{1}{4} : \frac{1}{3}=41​:31​= 14⋅31=34 \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{1}=\frac{3}{4}41​⋅13​=43​ Let op: delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde. Het omgekeerde van 13=31\frac{1}{3}=\frac{3}{1}31​=13​. Je wisselt de teller en de noemer dus gewoon om. f)  234:−127= 2\frac{3}{4} : -1\frac{2}{7}=243​:−172​= 114:−97= \frac{11}{4} : -\frac{9}{7}=411​:−79​= 114⋅−79=−7736=−2536 \frac{11}{4}\cdot-\frac{7}{9}=-\frac{77}{36}=-2\frac{5}{36}411​⋅−97​=−3677​=−2365​   a) Zie tekening. Vergeet niet om bij de assen x-as en y-as te schrijven. b) Als er staat dat de x-coördinaat tussen -3 en 3 moet liggen, dan horen -3 en 3 er dus niet bij! En dat geldt ook voor -2 en 2. c)  A en C zijn hoekpunten van het vierkant. Maar hoekpunt B zit er nog tussen. Bij alle vierkanten zijn de diagonalen even lang, ze staan loodrecht op elkaar, en ze delen elkaar doormidden. Zo kun je makkelijk de hoekpunten B en D vinden. Maak dan het vierkant af. (O ja, de letters gaan altijd van links tegen de klok in!) d)  Teken diagonaal BD als je dat nog niet gedaan had, en zet de letter S bij het snijpunt. e)  S (5,3) f)  Punt B ligt in kwadrant I. g)  het punt met de coördinaten (2 , -2) ligt in kwadrant IV. a)  De grafiek is gemaakt op 20 augustus 2021. De periode waar het in de grafiek om gaat begint op 14 augustus 2011 en loopt tot 20 augustus 2021. Dat staat linksonder. b)  De hoogste prijs per ounce was net iets meer dan $ \$ $ 2 000. c)  Dat was ongeveer $ \$ $  1 300 per ounce. c)  De laagste prijs eind 2015 was ongeveer $ \$ $ 1 080 (maar $ \$ $ 1 070 is ook goed). Het verschil is dus: 2 000 – 1 080 = $ \$ $ 920. Tip: in tussentijdse berekeningen hoef je geen eenheden op te schrijven. Eenheden zet je alleen in het eindantwoord. Nog een Tip: In grote getallen wordt vaak een punt gebruikt zodat je beter kunt zien wat het getal is. Bijvoorbeeld 2.000. Maar het is beter om een spatie te gebruiken, dus 2 000. Je maakt dan minder snel rekenfouten omdat je soms zou kunnen denken dat er met de punt een komma wordt bedoeld. d)  1 ounce = 28,35 gram. 56,70 gram is dus 56,70 : 28,35 = 2 ounce. Als je voor 2 ounce $ \$ $ 3 800 hebt betaald, dan kostte 1 ounce dus $ \$ $ 3 800 : 2 = $ \$ $ 1 900. In de jaren 2020 en 2021 is de prijs precies $ \$ $ 1 900 geweest. a)  Hij heeft in totaal 75 km gereden. b)  Hij is 5 uur onderweg geweest. c)  De gemiddelde snelheid is de afstand : tijd. Dus zijn gemiddelde snelheid was 75 : 5 = 15 km/u d)  Hij heeft twee keer stilgestaan, de eerste keer 3 kwartier, en de tweede keer een half uur. Dat is samen 1 uur en een kwartier. (75 Minuten is ook goed.) e)  Na 2 ½ uur ging hij opeens een half uur lang heel hard fietsen. In die tijd heeft hij 60 – 40 = 20 km gefietst. Dus in één uur zou hij 2 x 20 = 40 km hebben gefietst. Zijn snelheid was dus 40 km/uur.   a)  Elke minuut komt er 400 m bij. De tabel wordt dus: b)  Stap voor stap: In de grafiek komt de t die boven in de tabel staat juist onderaan bij de horizontale as te staan, je hebt 8 hokjes nodig De Afstand die onder in de tabel staat komt bij de verticale as. Dat moeten we handig kiezen, want we hebben geen ruimte voor 3200 hokjes (grapje…). Als je per hokje 200 meter zou nemen, dan heb je 3200 : 200 = 16 hokjes nodig. Dat is meer dan 10 en we willen juist niet meer dan 10 hokjes gebruiken. Misschien zie je al, dat je beter 400 meter per hokje kunt doen, want dan heb je 3200 : 400 = 8 hokjes nodig, en dat zit mooi tussen de 5 en de 10 hokjes in. Dus dat is perfect. Teken nu de assen, en zet er bij wat het is, Afstand en tijd (of de letter t in plaats van tijd). Neem de punten uit de tabel over in het assenstelsel en teken de grafiek. Als je het echt perfect wilt doen, zet er dan nog een titel boven, bijvoorbeeld: “Rondjes lopen”. a)  In de formule van Emilio kun je zien, dat hij begon met € 20 euro, en elke maand € 10 spaart. Carlijn begon met € 40 en ze spaart elke maand € 5, dus haar formule is:  Geld in € = 40 + 5t b)   c)  Wat boven in de tabel staat komt dus bij de horizontale as te staan. Dus de tijd staat bij de horizontale as. Geld dus bij de verticale as. Je mag tussen haakjes erachter zetten dat het in maanden en in euro’s is. Op de verticale as kun je mooi 10 euro per hokje nemen. Teken de assen, zet de getallen erbij en zet er ook bij wat het is. Teken dan de punten uit de tabel in het assenstelsel, eerst voor Emilio, en dan voor Carlijn. Trek met de geodriehoek of een liniaal een mooie rechte lijn door de punten en zet er Emilio en Carlijn bij. Dan nog de titel erboven en je bent klaar. d)  Waar de lijnen elkaar snijden kun je aflezen na hoeveel tijd ze evenveel gespaard hebben, en hoeveel dat dan is. Als je de lijnen goed hebt getekend, dan is dat na 4 maanden, en ze hebben dan allebei precies € 60 gespaard. Kijk maar naar de hulplijntjes die je zelf ook mag tekenen. (Je kunt dat trouwens ook nog eens controleren in de tabellen.) e)  Bij de 1 op de horizontale as, hebben ze 1 maand gespaard. Ze zijn begonnen op 1 januari, en dan is het dus 31 januari. Emilio had na 7 maanden, dus op 31 juli al € 90 bij elkaar, maar Carlijn pas na 10 maanden, dus op 31 oktober. Als het concert op 15 september is, dan heeft Carlijn dus nog niet genoeg gespaard. Jammer, ze kan niet mee. Tip: Tot slot nog even het algemene recept voor het tekenen van een grafiek: Om mooie grafieken te krijgen, die netjes op het papier passen maak je de x-as en de y-as niet langer dan 10 hokjes, en liefst tussen de 5 en de 10 hokjes kijk in de tabel naar de bovenste rij, kies een handige indeling en teken de horizontale as. kijk dan naar de onderste rij en doe hetzelfde met de vertikale as zet de getallen bij de assen en ook waar het over gaat, (dat staat in de tabel) zet dan de punten uit de tabel in de grafiek, de bovenste getallen horen bij de horizontale as, en de onderste getallen bij de verticale as en teken de lijn Bedenk een mooie korte titel voor je grafiek, en zet die erboven. O ja, en tekenen doen we met een …….