Getal & Ruimte 12e ed deel 1 - Hoofdstuk 3 - Kwadratische problemen oefentoetsen & antwoorden

a)  Voor $c=0$ heeft de vergelijking één oplossing Voor $c<0$ heeft de vergelijking geen oplossingen (want een kwadraat kan niet kleiner zijn dan 0) b) $a > 0$ c) $x_{top} = \frac{-b}{2a}$ d) Ze geven de snijpunten met de x-as: $(d, 0)$ en $(e, 0)$. e) Je moet weten of het een dal- of bergparabool is, en weten waar de top ligt. Dat is voor een schets voldoende. (Als je de grafiek echt moet tekenen heb je de coördinaten van 7 punten nodig).  f)  Voor $f$: lees uit de formule af: Dalparabool, want $a$ is 2. Top ligt op (-4, -5). Voor $g$: Dalparabool, want $a$ is 1. Top ligt op (0, 2). Schets: ($g$ is een iets bredere grafiek, maar dat hoeft niet in je schets zichtbaar te zijn):   a) Zorg eerst voor … = 0: $x^2-12x+35=0$ Oplossen met ontbinden in factoren (de product-som methode) geeft: $(x-7)(x-5)=0$ $x-7=0$ $\vee$ $x-5=0$ $x=7$ $\vee$ $x=5$ b) Zorg voor de vorm $(x+p)^2=c$: $(x+7)^2=3$ $x+7 = \sqrt{3} \vee x+7 = -\sqrt{3}$ $x= -7+\sqrt{3} \vee x = -7 -\sqrt{3}$ (of eventueel afgerond met je rekenmachine: er stond niet in de opgave dat het exact moest) c) $(x+3)(x+5)=3$ Werk eerst de haakjes uit: want je kunt deze niet direct oplossen, omdat er nog niet … = 0 staat. $x^2+3x+5x+15=3$ $x^2+8x+15=3$ $x^2+8x+12=0$ Oplossen met ontbinden geeft: $(x+6)(x+2)=0$ $x=-6$ $\vee$ $x=-2$ d) Eerst herleiden tot … =0: $p(p+3)-10p=18$ $p^2+3p-10p=18$ $p^2-7p-18=0$ Oplossen met ontbinden geeft: $(p+2)(p-9)=0$ $p=-2$ $\vee$ $p=9$ e) $\frac{1}{3}x^2+1\frac{1}{3}x-4=0$ Vermenigvuldig alle termen met 3 om de breuken weg te halen: $x^2+4x-12=0$ Oplossen met ontbinden in factoren geeft: $(x+6)(x-2)=0$ $x+6=0$ $\vee$ $x-2=0$ $x=-6 \vee x=2$   a) $(x+5)^2-25$ Tip: vind je dit lastig?  Bedenk dat $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Deze rekenregel gebruiken we bij kwadraatafsplitsen, maar dan juist om de termen binnen haakjes te zetten.  Bij deze opgave kies je voor $(x+5)^2$, want als je dat uitwerkt krijg je: $x^2+10x+25$.  Nu heb je 25 te veel, en die moet je er weer afhalen. Daarom is $x^2+10x = (x+5)^2-25$. b)  $(x+\frac{1}{2})^2- \frac{1}{4}-4$ $(x+\frac{1}{2})^2 - 4\frac{1}{4}$ c)  $(x-2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}-7$ (Let op: omdat $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$,  doe je $(x \, min \, 2\frac{1}{2})^2$, en vervolgens ook $min \,  6\frac{1}{4}$. $(x-2\frac{1}{2})^2-13\frac{1}{4}$. d)  $(x+6)^2-36+3\frac{1}{2}$  $(x+6)^2-32\frac{1}{2}$ a) De punten A en B zijn de snijpunten op de $x$-as. Daar geldt $y=0$, dus los de vergelijking $f(x)=x^2-3x-18=0$ op. $(x+3)(x-6)=0$ $x+3=0$ $\vee$ $x-6=0$ $x=-3$ $\vee$ $x=6$ De coördinaten zijn $A(-3,0)$ en $B(6,0)$. b) Het punt C is het snijpunt met de $y$-as. Daar geldt dat $x=0$, dus dat kunnen we invullen: $f(0)= -18$ Dus $C(0, -18)$.     Dit kan op 2 manieren. Manier 1 met de formule voor de  $x_{top}$:  $x_{top}=4$ (want daar ligt de symmetrieas) $x_{top}=\frac{--p}{2\cdot 1}=4$ $x_{top}=\frac{p}{2}=4$ Dus $p=8$. Manier 2 met behulp van de snijpunten met de x-as, want de top van de grafiek ligt tussen de coördinaten van de snijpunten met de x-as.: Los op: $x^2-px=0$ $x(x-p)=0$ $x=0$ $\vee$ $x=p$ Coördinaten van de snijpunten met de x-as zijn: $(0,0) \vee (p,0)$. De top ligt hier midden tussenin, dus los op: $\frac{0+p}{2}=4$ Dus $p=8$. a) Vul de verschuivingen in bij de formule van $g$:  3 omhoog, dus $y=5(x-2)^2+7-3$ 4 naar links, dus $y=5(x)=5(x-2-4)^2+4$ Dus $f(x)=5(x-6)^2+4$. Tip: Je kunt je antwoord controleren. $f(x)=5(x-6)^2+4$ verschuiven. 3 omhoog geeft $g(x)=5(x-6)^2+4+3$ en 4 naar links geeft $g(x)=5(x-6+4)^2+4+3=5(x-2)^2+7$. b) Werk de haakjes uit: $f(x)=5(x^2-12x+36)+4$ $f(x)=5x^2-60x+180+4$ $f(x)=5x^2-60x+184$. a) Deze vergelijking schrijven we eerst om naar de vorm $(x+p)^2=c$. Daarna kunnen we worteltrekken om hem op te lossen. $2(x+4)^2=16$ $(x+4)^2 = 8$ Nu worteltrekken: $x +4= - \sqrt{8} \vee x+4= \sqrt{8}$ $x = -4 - 2\sqrt{2} \vee x = -4 +2\sqrt{2}$ (Vereenvoudig ook altijd de wortels in je eindantwoord!) b) Deze vergelijking kunnen we niet ontbinden in factoren, dus moeten we eerst kwadraatafspliten. Dan kunnen we hem vervolgens oplossen. $(x-2)^2-4-14=0$ $(x-2)^2=18$ Nu worteltrekken en oplossen: $x-2 = \sqrt{18} \vee x-2 = -\sqrt{18}$ $x=2+3\sqrt{2} \vee x=2-3\sqrt{2}$ c) Deze vergelijking schrijven we eerst om naar de vorm $(x+p)^2=c$. Daarna kunnen we worteltrekken om hem op te lossen. $x^2 =-\frac{1}{4}$ Geen oplossing (want $x^2$ kan niet kleiner dan 0 zijn) d) Zorg altijd eerst voor ...=0: $x^2 - x = 0$ Nu kun je op twee manieren verder. Manier 1: buiten haakjes halen geeft: $x(x - 1) = 0$  $x = 0 v x = 1$ Manier 2: kwadraatafsplitsen: $(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}=0$ $(x-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ $x-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}} \vee x-\frac{1}{2}=-\sqrt{\frac{1}{4}}$ $x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \vee x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$ $x=1 \vee x=0$   a)  De totale lengte van het hek is 60 meter. Beide zijkanten zijn x meter. Dus de lengte van het hek is $60 - 2 \times x$ De oppervlakte = lengte x breedte = $x (60 - 2x) = 60x - 2x^2 = -2x^2 + 60 x$ Dus $O(x) =  -2x^2 + 60x$ b) De functie voor de oppervlakte is een parabolische functie. Het maximum van de functie is de top. Gebruik de formule $x_{top} = - \frac{b}{2a}$. Dat geeft $x_{top} = - \frac{60}{2 \times -2} = 15$. Dus de maximale oppervlakte is als $x=15$. De breedte van het land is dan 15 meter en de lengte is $60 - 2x = 60 - 2 \times 15 = 30$ meter. De oppervlakte is dan: Oppervlakte = lengte x breedte = $\rm 30 \times 15 = 450 \, m^2$. c) De functie voor de oppervlakte is gegeven door: $O(x) =  -2x^2 + 60x$. Van de gemeente Gouda mag de oppervlakte $\rm 112 \, m^2$ zijn. Hiervoor moeten we de volgende vergelijking oplossen: $ -2x^2 + 60x = 112$. Dat geeft: $-2x^{2} + 60x - 112 = 0$ $x^{2} - 30x - 56 = 0$ (alle termen delen door -2) $(x - 28)(x - 2) = 0$ $x = 28 \vee x = 2$ De mogelijke afmetingen zijn dus: Bij $x=2$: 2 meter breed en $60 - 2x = 60 - 2 \times 2 = 56$ meter lang. Bij $x=28$: 28 meter breed en $60 - 2x = 60 - 2 \times 28 = 4$ meter lang.   a) a = 0 invullen in de formule. $h=0.25 \cdot 0^2 - 1.2 \cdot 0 + 1.94=1.94$ De hangmat is op 1.94 m aan de bomen vastgeknoopt. Tip: De hoogte van is bij de linker boom hetzelfde als bij de rechter boom. Voor de linker boom geldt a = 0. b) Bereken de coördinaten van de top. $x_{top}=\frac{--1.2}{2 \cdot 0.25}=2.4$ $a=2.4$ invullen in de formule geeft $h=0.5$. Het laagste punt van de hangmat is op een hoogte van 50 centimeter boven de grond. c)  De hangmat hangt op de punten waar de hoogte 1.94 m is (zoals blijkt uit opgave a). Los daarom de volgende vergelijking op: $h=0.25a^2 - 1.2a + 1.94=1.94$ $0.25a^2 - 1.2a + 1.94=1.94$ $0.25a^2 - 1.2a = 0$ $a(0.25a-1.2)=0$ $a=0 \vee 0.25a = 1.2$ $a=0 \vee a=4.8$ De rechter boom is op 4.8 meter afstand van de linker boom, dus de afstand tussen de bomen is 4.80 meter (in cm nauwkeurig!).   a)  Formule 1:  Deze formule heeft de vorm $y=a(x-p)^2+q$.  In deze vorm zijn de coördinaten van de top $(p, q)$. Hier zijn $a=3, p=-2$ (let op de min!) en $q=10$. Dus coördinaten: $(-2, 10)$. Formule 2: Deze formule heeft de vorm $y=a(x-d)(x-e)$.  Hier zijn $a\frac{1}{4}, d= 1, e=-5$ (let opnieuw op het min-teken!). We kunnen uit deze vorm de snijpunten met de x-as aflezen: dat zijn $(d, 0)$ en $(e, 0)$, dus in dit geval: $(1, 0)$ en $(-5, 0)$. De top ligt op de symmetrie-as, en die ligt midden tussen de snijpunten met de x-as, dus op $x=\frac{1 +-5}{2}=-2$. $y_{top}$ vinden we door $x_{top}$ in de formule in te vullen: $y_{top} = \frac{1}{4}{-2-1}{-2+5}=\frac{1}{4}\cdot -3 \cdot 3 = -2 \frac{1}{4}$. Coördinaten zijn dus: $(-2, -2\frac{1}{4})$. Formule 3: Deze formule heeft de vorm $y=a(x-p)^2+q$. (Want $(2-x)^2 = (x-2)^2$. Dat komt doordat het kwadraat van een negatief getal hetzelfde is als het kwadraat van hetzelfde positieve getal, zoals $(-2)^2 = 2^2 = 4$. We kunnen deze formule dus ook schrijven als: $y=-(x-2)^2$. Werk vooral de haakjes uit om te zien dat je hetzelfde krijgt!) In deze vorm zijn de coördinaten van de top $(p, q)$. Hier zijn $a=-1, p=-2, q=0$. Dus coördinaten: $(-2, 0)$. Formule 4:  Bij de vorm $y=ax^2+bx+c$ ligt de top op $x_{top}=-\frac{b}{2a}$, dus: $x_{top} = -\frac{2}{2\cdot -2}=-\frac{2}{-4}=\frac{1}{2}$ $x_{top}=\frac{1}{2}$ invullen geeft $y_{top}=0$. Dus coördinaten $(\frac{1}{2}, 0)$. Formule 5: Manier 1: Schrijf eerst om tot de vorm $y=ax^2+bx+c$. Haakjes uitwerken geeft $yy=2x^2-4x$. $x_{top} = -\frac{-4}{2\cdot 2}=-\frac{-4}{4}=1$ Dat invullen in de formule geeft geeft $y_{top}=-2$. Dus coördinaten $(1, -2)$. Manier 2: De top ligt namelijk op de symmetrie-as van de grafiek, en dat is midden tussen de snijpunten met de x-as in. Bij een functie van deze vorm zijn de snijpunten eenvoudig te vinden. Voor de snijpunten met de x-as lossen we op: $f(x)=0$ $x(2x-4)=0$ $x=0 \vee 2x-4=0$ $x=0 \vee x=2$ De top ligt dus op $x=1$. Dat geeft $y=-2$. Top is dus $(1,-2)$. b) We werken steeds de haakjes uit om toe te werken naar de algemene vorm $y=ax^2 + bx + c$: Formule 1: $y=3(x+2)^2+10$ $y=3(x+2)(x+2)+10$ (of sla deze stap over en gebruik meteen dat $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$) $y=3(x^2+4x+4)+10$ (let op: de haakjes moeten blijven staan!) $y=3x^2+12x+12+10$ $y=3x^2+12x+22$ Formule 2: $y=\frac{1}{4}(x-1)(x+5)$ $y=\frac{1}{4}(x^2-x+5x-5)$ (laat de haakjes nog staan, want alles moet nog keer $\frac{1}{4}$) $y=\frac{1}{4}(x^2+4x-5)$ $y=\frac{1}{4}x^2+x-1\frac{1}{4}$ Formule 3: $y=-(2-x)^2$ $y=-(2-x)(2-x)$ $y=-(4-4x+x^2)$ $y=-x^2+4x-4$ Formule 4: deze staat reeds in de goede vorm. Formule 5:  $y=x(2x-4)$ $y=2x^2-4x$.   a)  Merk op dat in alle vormen de $a$ hetzelfde is, en in dit geval gelijk aan $1$.  We moeten nu ontbinden in factoren. Voor het product geldt $-2 \cdot -4 = 8$, en voor de som is $-2 -4 = -8$, dus de $d, e$ zijn $-2$ en $-4$: $y=(x-2)(x-4)$. b)  Voor deze vorm moeten we kwadraatafsplitsen, zodat uit het kwadraat $(x-p)^2$ de juiste termen met $x^2$ en $x$ komen. Via de waarde van het getal $q$ kunnen we het losse getal daarna juist zetten.  $p=-3$ zorgt daarvoor, want $(x-3)^2 = x^2-6x+9$. Het losse getal klopt nog niet. We moeten uitkomen op $+8$, dus er moet $1$ af: $y=(x-3)^2-1$.