Moderne Wiskunde 12e ed deel A - Hoofdstuk 3 - Vlakke figuren oefentoetsen & antwoorden

a) Als twee evenwijdige lijnen snijden met een andere lijn, ontstaan gelijke hoeken. In onze schets hieronder zijn dus de hoek bij D en bij A gelijk. Omgekeerd geldt ook dat als $\angle A = \angle D$, dat de twee lijnen (in onze schets de rode lijnen) evenwijdig zijn. b)  Een trapezium is een vierhoek waarvan de twee zijden evenwijdig lopen.  Een gelijkbenig trapezium is lijnsymmetrisch. (Net zoals een gelijkbenige driehoek lijnsymmetrisch is, doordat de hoeken gelijk zijn). c)  De overeenkomstige hoeken zijn gelijk.  Ook zijn de verhoudingen van de overeenkomstige zijden gelijk (en kun je er dus een verhoudingstabel mee maken). d) Ja, want de hoekensom van een driehoek is altijd hetzelfde, namelijk 180 graden. Daarom moet de derde hoek, als de eerste twee hoeken gelijk zijn, ook altijd gelijk zijn. Kijk bijvoorbeeld naar onderstaande twee driehoeken. Als $\angle A = \angle D = 30 \degree$, en $\angle B = \angle E = 90 \degree$, dan moet ook $\angle C = \angle F = 180 - 90 - 30 = 60 \degree$ zijn. a)  Stap 1: We spiegelen eerst punt $S$ in lijn $l$. Let wel: Het beeld van $S$ moet even ver van de spiegellijn liggen als $S$. Verder moet je de loodrechte afstand nemen. Leg de ingebouwde rechte hoek van de geodriehoek op lijn $l$.  Stap 2: Doe hetzelfde met de hoekpunten $T$ en $U$. Stap 3: Teken driehoek $S’T’U’$. b) Ja, de twee driehoeken zijn gelijkvormig, want bij het spiegelen zijn alle zijdes van de nieuwe driehoek precies even lang geworden als die van driehoek STU. (Ook zijn alle hoeken gelijk).  a) Leg uit dat de hoeken gelijk zijn: $\angle D = \angle A$ (Z-hoeken) $\angle E = \angle B$ (Z-hoeken) $\angle C_1 = \angle C_2$ (overstaande hoeken). b)  DE EC DC AB BC AC   Omdat je dan de derde zijde zo kunt kiezen dat die een andere lengte heeft.  Een goede schets laat twee driehoeken zien met twee zijdes met dezelfde verhouding, en een derde zijde die afwijkt. De twee driehoeken hebben dan ook een duidelijk andere vorm. Hieronder geven we een voorbeeld. De verhouding van zijdes AB:DE en BC:EF is 1:1, maar zijdes AC en DF hebben een heel andere lengte.   a) $\rm \angle B = \angle B$ (want dit is dezelfde hoek). $\angle D_{2} = \angle A$ (want dat zijn allebei rechte hoeken) $\} \triangle BDA$ is gelijkvormig met $ \triangle BAC$ (die volgorde!). $\rm \angle C = \angle C$ (want dit is dezelfde hoek). $\angle D_{1} = \angle A$ (want dit zijn allebei rechte hoeken) $\} \triangle DCA$ is gelijkvormig met $\triangle ACB$ (die volgorde!).   b)  $AC$ is te berekenen met de stelling van Pythagoras, namelijk: $AD^{2} + CD^{2} = AC^{2}$ $6^{2} + 8^{2} = 100$ $AC^{2} = 100$ $AC = \sqrt{100} = 10$   Bij opgave a) hebben we gezien dat $\triangle DCA$ gelijkvormig is met $\triangle ACB$. Dit kunnen we opschrijven in een verhoudingstabel: $DC$ $DA$ $AC$ $AB$ Invullen geeft: $8$ $6$ $10$ $AB$ Dat geeft: $AB = \frac{10 \times 6}{8} = 7,5$.   a) $\angle$H₃  en $\angle$E₂  ( Z hoeken) $\angle$H₃ en $\angle$E₄ (F hoeken), $\angle$I₁ en$\angle$F ( F hoeken) b) $\angle$H₁=180⁰  - 90⁰  - 43⁰  = 47⁰  (hoekensom driehoek) $\angle$E₁= 180⁰  - 43⁰  - 62⁰ = 75⁰  (hoekensom driehoek) $\angle$E₃ = $\angle$E₁ = 75⁰  ( overstaande hoeken) $\angle$E₂ = 180⁰  - $\angle$E₁= 180⁰  - 75 ⁰ = 105⁰  ( gestrekte hoek) $\angle$E₄ = $\angle$E₂ = 105⁰  (overstaande hoek) $\angle$H₃ = $\angle$E₂ = 105⁰  ( Z-hoeken) $\angle$H₂ = 180⁰  -$\angle$H₁ - $\angle$H₃ = 180⁰  - 47⁰  - 105⁰  = 28⁰  ( gestrekte hoek Tip: Meerdere oplossingsstrategieën zijn mogelijk. Bijvoorbeeld ook: hoekensom in de vierhoek H₃I₂ FE₁.   a)  Gegeven is dat $\angle E_1 = 46 \degree$.   $\angle E_1 = \angle E_3$ (overstaande hoeken), dus $\angle E_3 = 46 \degree$. $\angle E_1 + \angle E_2 = 180 \degree$ (gestrekte hoek), dus $\angle E_2 = 180 \degree - 46 \degree = 134 \degree$. Evenzo is $\angle E_4 = 134 \degree$. b) Een parallellogram. c)  Ja, dat kan. Je kunt spiegelen in punt E.  Begin bijvoorbeeld met lijnstuk BE. Als je dat spiegelt in punt E, dan krijg je lijnstuk ED en kom je dus in punt D. Zie tekening. Op dezelfde manier kun je ook lijn AB en lijn AD spiegelen om het hele parallellogram te krijgen. (Je mag het ook uitleggen met andere lijnen, maar de spiegeling moet in punt E zijn).  d)  Nee, deze figuur is namelijk niet lijnsymmetrisch. Kijk maar wat er gebeurt als je driehoek BCD zou proberen te spiegelen in lijn BD: Punt C komt uit in punt C’ en niet in punt A Je krijgt driehoek BDC’ en niet driehoek BDA.  In je eigen tekening moet een vergelijkbare loodrechte spiegeling zichtbaar zijn in lijn BD (zoals hieronder) of in lijn AC.    Werkwijze: nummer eerst de hoeken A, P, X, Q en C. We weten vrijwel geen enkele lengte, dus we gaan de gelijkvormigheid aantonen door naar gelijke hoeken te zoeken. Hierbij tonen we steeds twee van de drie hoeken aan. Want als je twee hoeken weet, gebruik je dat de hoekensom van een driehoek altijd 180 graden is. Dan moet de derde hoek dus ook altijd gelijk zijn. $\rm \angle A_{2} = \angle A_{2}$, want het is dezelfde hoek. $\angle P_{1} = \angle B$ want het zijn allebei rechte hoeken. Dus $\triangle APX \sim \triangle ABC$. $\angle P_{1} = \angle Q_{2}$, want het zijn allebei rechte hoeken. $\angle X_{2} = \angle X_{4}$, want het zijn overstaande hoeken. $\rm Dus \, \triangle APX \sim \triangle CQX$. $\angle A_{2} = \angle C_{1}$ want het zijn z-hoeken. $\angle P_{1} = \angle D$ want het zijn allebei rechte hoeken. Dus $\triangle APX \sim \triangle CDA$. Dus $\triangle APX$ is gelijkvormig met $\triangle ABC$, $\triangle CQX$ en $\triangle CDA$.   Omdat $SEFD$ een parallellogram is, is $AD$ evenwijdig aan $EF$.  Omdat $ABCD$ een vierkant is, geldt verder ook dat $AD$ evenwijdig is aan $BC$.  Dus is $EF$ evenwijdig aan $BC$.  Nu geldt dat: $\angle EGF = \angle CGB$ (overstaande hoeken), en  $\angle EFG = \angle CBG$ en $\angle FEG = \angle BCG$ (want Z-hoeken).  Dus is $\triangle EFG$ gelijkvormig aan $\triangle CBG$. Tip: Gebruik in een bewijs alle gegevens. Bedenk bijvoorbeeld: wat weet ik als SEFD een parallellogram is? Wat zijn de kenmerken van een parallellogram? En bedenk ook waar je heen moet in de opgave. Je moet hier aantonen dat $\triangle EFG \sim \triangle CBG$, dus dan moet je laten zien dat de hoeken van de driehoeken gelijk zijn. (Over afstanden weet je in deze opgave te weinig). Welke hoeken moeten dan aan elkaar gelijk zijn, en wat weet je over die hoeken?   Om de hoogte van de boom te berekenen, moeten we de lengte weten van het lijnstuk $AE$. $AE$ is onderdeel van $\triangle ACE$. $\triangle ACE$ is gelijkvormig met $\triangle BCD$, want $\angle A = \angle B$ (allebei rechte hoeken) en $\angle C = \angle C$ (dezelfde hoek). De verhoudingen van deze driehoeken kunnen we in een verhoudingstabel opschrijven: AC AE BC BD Hierbij is AC = 24 + 1,8 = 25,8 (volgt uit de figuur). Ook is BC = 1,8 en BD = 1,5. Invullen geeft: 25,8 AE 1,8 1,5 Kruislings vermenigvuldigen geeft: $AE \times 1,8 = 25,8 \times 1,5$ $AE = \frac{25,8 \times 1,5}{1,8} = 21,5$. Dus de lengte van de boom is 21,5 meter.   $\triangle ADB$ is gelijkvormig met $\triangle ABC$, want:  $\angle A = \angle A$, want het is dezelfde hoek, en  $\angle D_1 = \angle B$, want het zijn allebei rechte hoeken. Dit kunnen we opschrijven in een verhoudingstabel: $AD$ $AB$ $AB$ $AC$ Invullen geeft: $AD$ $8$ $8$ $17$ Kruislings vermenigvuldigen geeft: $AD = \frac{8 \times 8}{17} \approx 3,8$.