Moderne Wiskunde 12e ed deel A - Hoofdstuk 4 - De abc-formule oefentoetsen & antwoorden

a) Dan moet $a=1$ zijn. (Anders kun je bijvoorbeeld de abc-formule gebruiken.) b) Deze vorm noemen we een merkwaardig product. Deze gebruiken we bij vergelijkingen van de vorm $x^2-p^2=0$ (want de uitkomst van het merkwaardige product is precies $(x-p)(x+p)=x^2-p^2$). c) De waarde van $p$ is de helft van $b$, dus bijvoorbeeld: $x^2+6x+9=(x+3)^2$. d) $D=b^2-4ac$, bij een kwadratische vergelijking van de vorm $ax^2+bx+c=0$. e) Dan heeft de vergelijking geen oplossingen. f) Dan is $x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \vee x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. a) Zorg eerst voor … = 0: $x^2-12x+35=0$ Oplossen met ontbinden in factoren (de product-som methode) geeft: $(x-7)(x-5)=0$ $x-7=0 \vee x-5=0$ $x=7 \vee x=5$ b) Eerst herleiden tot … =0: $p(p+3)-10p=18$ Werk ook de haakjes uit, want pas dan kun je de vergelijking gaan oplossen: $p^2+3p-10p=18$ $p^2-7p-18=0$ Oplossen met ontbinden geeft: $(p+2)(p-9)=0$ $p=-2 \vee p=9$ c) $\frac{1}{3}x^2+1\frac{1}{3}x-4=0$ Deze kun je pas oplossen met ontbinden als je zorgt voor $a=0$. Vermenigvuldig dus alle termen met 3 om de breuken weg te halen: $x^2+4x-12=0$ Oplossen met ontbinden in factoren geeft: $(x+6)(x-2)=0$ $x+6=0 \vee x-2=0$ $x=-6 \vee x=2$  We moeten eerst de vergelijking schrijven in de vorm  $(x-p)(x+p)$: dat is het merkwaardige product. Daarna lossen we de vergelijkingen op. a)  Merkwaardig product: $(x-4)(x+4)$  Oplossen geeft: $(x-4)(x+4)=0$ $x=4 \vee x=-4$ b)  Schrijf eerst als …=0: $-2x^2+18=0$ Nu zorgen dat er geen getal meer voor de $x^2$ staat, anders kun je er geenen merkwaardig product van maken. Deel dus door -2: $x^2+9=0$ Merkwaardig product: $(x+3)(x-3)=0$ $x+3 = 0 \vee x-3 = 0$ $x=-3 \vee x=3$   a)  $(x+5)^2-25=0$ $(x+5)^2=25$ $x+5 = 5 \vee x+5 = -5$ $x=0 \vee x=-10$ Tip: vind je kwadraat afsplitsen lastig?  Bedenk dat $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Deze rekenregel gebruiken we bij kwadraatafsplitsen, maar dan juist om de termen binnen haakjes te zetten.  Bij deze opgave kies je voor $(x+5)^2$, want als je dat uitwerkt krijg je: $x^2+10x+25$.  Nu heb je 25 te veel, en die moet je er weer afhalen. Daarom is  $x^2+10x = (x+5)^2-25$. b)  Zorg eerst voor …=0: $x^2+x-4=0$ $(x+\frac{1}{2})^2-1-4=0$ $(x+\frac{1}{2})^2 =5$ $x+\frac{1}{2} =\sqrt{5} \vee x+\frac{1}{2} =- \sqrt{5}$ $x=-\frac{1}{2}+\sqrt{5} \vee x=-\frac{1}{2} - \sqrt{5}$ c)  $(x+1)^2-1+9=0$  $(x+1)^2=-8$ Kan niet, dus deze vergelijking heeft geen oplossingen. (Het kwadraat kan immers nooit $<0$ zijn).  d)  d) $x^2-5x+2\frac{1}{4}=0$ $(x-2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+2\frac{1}{4}=0$ (Let op: omdat $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$,  doe je $(x \, min 2\frac{1}{2})^2$, en vervolgens ook $min \,  6\frac{1}{4}$. $(x-2\frac{1}{2})^2-4=0$ $x-2\frac{1}{2}=\sqrt{4} \vee x-2\frac{1}{2}=-\sqrt{4}$ $x=4\frac{1}{2} \vee x= \frac{1}{2}$   a)  Zorg altijd eerst voor ...0=: $2x^2+x-14=0$ $a=2, b=1, c=-14$ invullen in de abc-formule:  $D=b^2-4ac=1^2-4\times 2 \times -14 = 113$ $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \vee x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ $x=\frac{-1=\sqrt{113}}{4} \vee x=\frac{-1-\sqrt{113}}{4}$ Benadering: $x \approx -2,91 \vee x \approx 2,41$ b)  $3x^2-8x-1=0$ $a=3, b=-8, c=-1$ invullen in de abc-formule:  $D=b^2-4ac=(-8)^2-4\times 3 \times -1 = 76$ $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \vee x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ $x=\frac{-8+\sqrt{76}}{6} \vee x=\frac{-8-\sqrt{76}}{6}$ Benadering: $x \approx -0,12 \vee x \approx 2,79$.   Als je met een andere manier dan hieronder wel op het juiste antwoord uitkomt is jouw manier waarschijnlijk ook juist.  a) $2(x+4)^2 - 6 = 10$ Zorg eerst voor …=0: $2(x+4)^2 - 16 = 0$ Deze vergelijking staat nu bijna in de  vorm $(x+p)^2-q=0$, die hoort bij kwadraat afsplitsen. We kunnen eerst door 2 delen en dan het getal naar de andere kant halen om op te lossen met worteltrekken. $(x+4)^2- 8=0$ $(x+4)^2 =8$ Nu worteltrekken: $x +4= - \sqrt{8} \vee x+4= \sqrt{8}$ $x = -4 - 2\sqrt{2} \vee x = -4 +2\sqrt{2}$ (Vereenvoudig ook altijd de wortels in je eindantwoord!) b)  $x^2 - 4x - 14 = 0$ Deze vergelijking kunnen we niet ontbinden in factoren, dus moeten we eerst kwadraat afsplitsen. Dan kunnen we hem vervolgens oplossen. $(x-2)^2-4-14=0$ $(x-2)^2=18$ Nu worteltrekken en oplossen: $x-2 = \sqrt{18} \vee x-2 = -\sqrt{18}$ $x=2+3\sqrt{2} \vee x=2-3\sqrt{2}$ c) Deze vergelijking kan met een merkwaardig product (of anders met kwadraatafsplitsen of de abc-formule): $(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})=0$ $x=\frac{1}{2} \vee x= - \frac{1}{2}$ d)  Zorg altijd eerst voor ...=0: $x^2 - x = 0$ Nu kun je op meerdere manieren verder, zoals buiten haakjes halen. Dat geeft $x(x - 1) = 0$  $x = 0 v x = 1$ Of met kwadraatafsplitsen: $(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}=0$ $(x-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ $x-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}} \vee x-\frac{1}{2}=-\sqrt{\frac{1}{4}}$ $x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \vee x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$ $x=1 \vee x=0$ e)  $3x^2+12x=-11$ Zorg eerst voor …=0: $3x^2+12x+11=0$ De $a$ is niet gelijk aan 1, en als je zou delen door 3 krijg je breuken. Dus je kunt niet ontbinden. Hier dus de abc-formule gebruiken.  $a=3, b=12, c=11$ geeft: $D=b^2-4ac=12^2-4\times 3 \times 11 = 12$ $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \vee x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ $x=\frac{-12+\sqrt{11}}{6} \vee x=\frac{-12-\sqrt{11}}{6}$ Eventueel vereenvoudigen tot: $x=-2-\frac{1}{3}\sqrt{3} \vee x=-2+\frac{1}{3}\sqrt{3}$ f) $(x+3)(x+5)=3$ Werk eerst de haakjes uit: want je kunt deze niet direct oplossen, omdat er nog niet … = 0 staat. $x^2+3x+5x+15=3$ $x^2+8x+15=3$ $x^2+8x+12=0$ Oplossen met ontbinden geeft: $(x+6)(x+2)=0$ $x=-6 \vee x=-2$ g)  $-x^2+4x-4=0$ Doe alles $\times -1$ om te kunnen ontbinden: $x^2-4x+4=0$ $(x-2)(x-2)=0$ $x=2$ (geen tweede oplossing!) h)  Je kunt hier de haakjes uitwerken tot $\frac{1}{4}x^2+x-1\frac{1}{4}=0$ en dan de abc-formule gebruiken, maar makkelijker is om $\times 4$ te doen en dan is het al ontbonden, zodat je gelijk kunt oplossen: $(x-1)(x+5)=0$ $x-1=0 \vee x+5=0$ $x=1 \vee x=-5$   a)  Merk op dat in alle vormen de $a$ hetzelfde is, en in dit geval gelijk aan $1$.  We moeten nu ontbinden in factoren. Voor het product geldt $-2 \cdot -4 = 8$, en voor de som is $-2 -4 = -8$, dus de $d, e$ zijn $-2$ en $-4$: $y=(x-2)(x-4)$. b)  Werkwijze: Voor deze vorm moeten we kwadraatafsplitsen, zodat uit het kwadraat $(x-p)^2$ de juiste termen met $x^2$ en $x$ komen. Via de waarde van het getal $q$ kunnen we het losse getal daarna juist zetten.  $p=-3$ zorgt voor de juiste vorm, want $(x-3)^2 = x^2-6x+9$. Het losse getal klopt nog niet. We moeten uitkomen op $+8$, dus er moet $1$ af: $y=(x-3)^2-1$.   a) De punten A en B zijn de snijpunten op de $x$-as. Daar geldt $y$=0, dus los de vergelijking $f(x)=x^2-3x-18=0$ op. $(x+3)(x-6)=0$ $x+3=0 \vee x-6=0$ $x=-3 \vee x=6$ De coördinaten zijn $A(-3,0)$ en $B(6,0)$. b) Het punt C is het snijpunt met de $y$-as. Daar geldt dat $x=0$, dus dat kunnen we invullen: $f(0)= -18$ Dus $C(0, -18)$.   a)  De totale lengte van het hek is 60 meter. Beide zijkanten zijn x meter. Dus de lengte van het hek is $60 - 2 \times x$ De oppervlakte = lengte x breedte = $x (60 - 2x) = 60x - 2x^2 = -2x^2 + 60 x$ Dus $O(x) =  -2x^2 + 60x$ b) Manier 1: $x=15$ in de formule invullen geeft: $O =  -2(15)^2 + 60\times 15=450$. Dus 450 m$^2$. Manier 2: De breedte van het land is dan 15 meter en de lengte is $60 - 2x = 60 - 2 \cdot 15 = 30$ meter. De oppervlakte is dan: Oppervlakte = lengte x breedte = $\rm 30 \times 15 = 450 \, m^2$. c) De functie voor de oppervlakte is gegeven door: $O(x) =  -2x^2 + 60x$. Van de gemeente Gouda mag de oppervlakte $\rm 112 \, m^2$ zijn. Hiervoor moeten we de volgende vergelijking oplossen: $ -2x^2 + 60x = 112$. Dat geeft: $-2x^{2} + 60x - 112 = 0$ $x^{2} - 30x - 56 = 0$ (alle termen delen door -2, zodat je kunt onbinden in factoren. Alternatief mag je ook de abc-formule gebruiken) $(x - 28)(x - 2) = 0$ $x = 28 \vee x = 2$ De mogelijke afmetingen zijn dus: Bij $x=2$: 2 meter breed en $60 - 2x = 60 - 2 \times 2 = 56$ meter lang. Bij $x=28$: 28 meter breed en $60 - 2x = 60 - 2 \times 28 = 4$ meter lang.   Een snijpunt met de x-as ligt op de plek waar $y=0$, dus kijk naar de vergelijking $f(x)=0$. Eén gemeenschappelijk punt betekent dat de discriminant gelijk is aan 0. $D=b^2-4ac=p^2-4\times -2 \times -8 = p^2-64$ $D=0$ geeft: $p^2-64=0$ $p^2=64$ $p=8 \vee p=-8$ Dus voor $p=8 \vee p=-8$ is er één gemeenschappelijk punt met de x-as. Hieronder een schets van de situatie. Als je p zo kiest dat D>0 zouden de parabolen naar boven verschuiven en zijn er 2 snijpunten met de x-as; als je p zo kiest dat D<0 verschuiven ze juist naar onderen en zijn er geen snijpunten met de x-as.   a) $a = 0$ invullen in de formule. $h=0,25\cdot0^2 - 1,2\cdot0 + 1,94=1,94$ De hangmat is op 1,94 m aan de bomen vastgeknoopt. Tip: De hoogte van is bij de linker boom hetzelfde als bij de rechter boom. Voor de linker boom geldt a = 0. b) De hangmat hangt op de punten waar de hoogte 1,94 m is (zoals blijkt uit opgave a). Los daarom de volgende vergelijking op: $h=0,25a^2 - 1,2a + 1,94=1,94$. Dat geeft: $0,25a^2 - 1,2a + 1,94=1,94$ $0,25a^2 - 1,2a = 0$ $a(0,25a-1,2)=0$ $a=0 \vee 0,25a = 1,2$ $a=0 \vee a=4,8$ De rechter boom is op 4,8 meter afstand van de linker boom, dus de afstand tussen de bomen is 4,80 meter (in cm nauwkeurig!). c)  Het laagste punt zit midden tussen de twee bomen in. Uit opgave b weten we dat de rechter boom op 4,8 m van de linker boom staat. Het laagste punt zit dus op 2,4 m. $a=2,4$ invullen in de formule geeft $h=0,5$. Het laagste punt van de hangmat is op een hoogte van 50 centimeter boven de grond.