Getal & Ruimte 12e ed deel 1 - Hoofdstuk 5 - Vergelijkingen en ongelijkheden oefentoetsen & antwoorden

a) $D=b^2-4ac$, bij een kwadratische vergelijking van de vorm $ax^2+bx+c=0$. b) Dan heeft de vergelijking geen oplossingen. c) Dan is $x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \vee x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. d) Je mag bij het oplossen van een ongelijkheid aan beide kanten met hetzelfde getal vermenigvuldigen of door hetzelfde getal delen. Als dat getal negatief is, dan klapt het ongelijkheidsteken om.  Bijvoorbeeld: $-2x > 4$ geeft (na beide kanten delen door -2): $x < -2$. e) Dat $x$ kleiner mag zijn dan 2, of groter dan of gelijk aan 3.  f)  De x-as ligt op de lijn $y=0$. Dus bij de ongelijkheid $f(x)<0$ kijk je waar de grafiek onder de x-as ligt.   a)  Zorg altijd eerst voor ...0=: 2x2+2x−5=02x^2+2x-5=02x2+2x−5=0 a=2,b=2,c=−5a=2, b=2, c=-5a=2,b=2,c=−5 invullen in de abc-formule:  D=b2−4ac=22−4×2×−5=44D=b^2-4ac=2^2-4\times 2 \times -5 = 44D=b2−4ac=22−4×2×−5=44 x=−b+D2a∨x=−b−D2ax=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \vee x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}x=2a−b+D​​∨x=2a−b−D​​ x=−2=444∨x=−2−444x=\frac{-2=\sqrt{44}}{4} \vee x=\frac{-2-\sqrt{44}}{4}x=4−2+44​​∨x=4−2−44​​ Eventueel vereenvoudigen tot: x=−12−1211∨x=−12+1211x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{11} \vee x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{11}x=−21​−21​11​∨x=−21​+21​11​. Benadering: x≈−2,16∨x≈1,16x \approx -2,16 \vee x \approx 1,16x≈−2,16∨x≈1,16 b)  3x2−8x−1=03x^2-8x-1=03x2−8x−1=0 a=3,b=−8,c=−1a=3, b=-8, c=-1a=3,b=−8,c=−1 invullen in de abc-formule:  D=b2−4ac=(−8)2−4×3×−1=76D=b^2-4ac=(-8)^2-4\times 3 \times -1 = 76D=b2−4ac=(−8)2−4×3×−1=76 x=−b+D2a∨x=−b−D2ax=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \vee x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}x=2a−b+D​​∨x=2a−b−D​​ x=−8+766∨x=−8−766x=\frac{-8+\sqrt{76}}{6} \vee x=\frac{-8-\sqrt{76}}{6}x=6+8+76​​∨x=6+8−76​​ Benadering: x≈−2,78∨x≈−0,12x \approx -2,78 \vee x \approx -0,12x≈2,79 ∨x≈−0,12 a)  Lees eerst uit de grafiek de snijpunten af tussen de parabool en de lijn: x=−2∨x=1x=-2 \vee x=1x=−2∨x=1. De parabool ligt hiertussen onder de lijn, dus de oplossing is: −2≤x≤1-2 \leq x \leq 1−2≤x≤1 b)  In de grafiek kun je zien dat de parabool op de horizontale lijn y=2y=2y=2 ligt voor x=−2∨x=2x=-2 \vee x=2x=−2∨x=2. Daarvoor of daarna ligt de parabool boven de lijn, dus: x<−2x<-2x<−2 of x>2x >2x>2. c)  De lijn kkk ligt bij x=1x=1x=1 op de lijn y=−1y=-1y=−1.  Ervoor ligt kkk daarboven, dus de oplossing is: x≤1x \leq 1x≤1 d) Deze lijkt op vraag a, alleen willen we nu juist weten waar de parabool boven de lijn ligt (en er niet aan gelijk is!) Dus x<−2x <-2x<−2 of x>2x>2x>1. Eén oplossing betekent: D=0, dus bereken eerst de discriminant: $D= b^2-4ac=6^2-4\cdot 2 \cdot p = 36-8p$ Stel gelijk aan 0: $36 - 8p=0$ $-8p=-36$ $p=4\frac{1}{2}$ Conclusie: voor $p=4\frac{1}{2}$. Werkwijze: bereken eerst de discriminant.  D > 0: 2 snijpunten met de x-as D = 0: 1 snijpunt (een raakpunt) D < 0: geen snijpunten. Bedenk vervolgens of het een dal- of een bergparabool is: a > 0: dalparabool a < 0: bergparabool  a)  $D=b^2-4ac = (-2)^2-4 \cdot \frac{1}{3} \cdot7=-5\frac{1}{3}$, dus $D < 0$. Geen snijpunten met de x-as. $a = \frac{1}{3} > 0$ dus het is een dalparabool. Zie schets: b)  $D=b^2-4ac = (-2)^2-4 \cdot-2 \cdot -1=0$, dus $D =0$. Eén snijpunt met de x-as. $a =-1 <0$ dus het is een bergparabool. Zie schets: c)  $D=b^2-4ac = (5)^2-4 \cdot 3 \cdot -9=133$, dus $D >0$. Twee snijpunten met de x-as. $a =3 >0$ dus het is een dalparabool. Zie schets:   Als je met een andere manier dan hieronder wel op het juiste antwoord uitkomt is jouw manier waarschijnlijk ook juist.  a) $2(x+4)^2 - 6 = 10$ Zorg eerst voor …=0: $2(x+4)^2 - 16 = 0$ Deze vergelijking staat nu bijna in de  vorm $(x+p)^2=c$. We kunnen eerst door 2 delen en dan het getal naar de andere kant halen om op te lossen met worteltrekken. $(x+4)^2- 8=0$ $(x+4)^2 =8$ Nu worteltrekken: $x +4= - \sqrt{8} \vee x+4= \sqrt{8}$ $x = -4 - 2\sqrt{2} \vee x = -4 +2\sqrt{2}$ (Vereenvoudig ook altijd de wortels in je eindantwoord!) b)  $x^2 - 4x - 14 = 0$ Deze vergelijking kunnen we niet ontbinden in factoren, dus moeten we eerst kwadraat afsplitsen. Dan kunnen we hem vervolgens oplossen. (Je kunt ook de abc-formule gebruiken). $(x-2)^2-4-14=0$ $(x-2)^2=18$ Nu worteltrekken en oplossen: $x-2 = \sqrt{18} \vee x-2 = -\sqrt{18}$ $x=2+3\sqrt{2} \vee x=2-3\sqrt{2}$ c) Manier 1: breng het getal naar de andere kant en neem de wortel. $x^2 = \frac{1}{4}$ $x=\frac{1}{2} \vee x= - \frac{1}{2}$ Manier 2: met de abc-formule. Dan is $a=1, b=0, c= -\frac{1}{4}$. Dat geeft $D=b^2-4ac=0^2-4\times 1 \times -\frac{1}{4} = 1$ $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \vee x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ $x=\frac{0+\sqrt{1}}{2} \vee x=\frac{0-\sqrt{1}}{2}$ $x=\frac{1}{2} \vee x= - \frac{1}{2}$ d)  Zorg altijd eerst voor ...=0. (Let op: delen door x werkt niet. Dan mis je altijd een oplossing. In dit geval zou je dan de oplossing x=0 missen). $x^2 - x = 0$ Nu kun je op meerdere manieren verder, zoals buiten haakjes halen. Dat geeft $x(x - 1) = 0$  $x = 0 v x = 1$ Of met kwadraatafsplitsen: $(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}=0$ $(x-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ $x-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}} \vee x-\frac{1}{2}=-\sqrt{\frac{1}{4}}$ $x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \vee x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$ $x=1 \vee x=0$ e)  $3x^2+12x=-11$ Zorg eerst voor …=0: $3x^2+12x+11=0$ De $a$ is niet gelijk aan 1, en als je zou delen door 3 krijg je breuken. Dus je kunt niet ontbinden. Hier dus de abc-formule gebruiken.  $a=3, b=12, c=11$ geeft: $D=b^2-4ac=12^2-4\times 3 \times 11 = 12$ $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \vee x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ $x=\frac{-12+\sqrt{12}}{6} \vee x=\frac{-12-\sqrt{12}}{6}$ Eventueel vereenvoudigen tot: $x=-2-\frac{1}{3}\sqrt{3} \vee x=-2+\frac{1}{3}\sqrt{3}$ f) $(x+3)(x+5)=3$ Werk eerst de haakjes uit: want je kunt deze niet direct oplossen, omdat er nog niet … = 0 staat. $x^2+3x+5x+15=3$ $x^2+8x+15=3$ $x^2+8x+12=0$ Oplossen met ontbinden geeft: $(x+6)(x+2)=0$ $x=-6$ $\vee$ $x=-2$ g)  $-x^2+4x-4=0$ Doe alles $\times -1$ om te kunnen ontbinden: $x^2-4x+4=0$ $(x-2)(x-2)=0$ $x=2$ (geen tweede oplossing!) h)  Je kunt hier de haakjes uitwerken tot $\frac{1}{4}x^2+x-1\frac{1}{4}=0$ en dan de abc-formule gebruiken, maar makkelijker is om $\times 4$ te doen en dan is het al ontbonden, zodat je gelijk kunt oplossen: $(x-1)(x+5)=0$ $x-1=0 \vee x+5=0$ $x=1 \vee x=-5$   Neem breedte lijst xxx. Totale oppervlakte = lengte x breedte. Maak een schets en zet de maten erin: zie figuur hieronder. Lengte = 40+2x40 + 2x40+2x en de breedte is 25+2x25 + 2x25+2x.   Lengte x breedte = 1056. Invullen geeft de vergelijking: (2x+40)(2x+25)=1056(2x+40)(2x+25) = 1056(2x+40)(2x+25)=1056 4x2+120x+800=10564x^2+120x+800=10564x2+130x+1000=1056 4x2+120x−256=04x^2+120x-256=04x2+130x−56=0 x2+30x−64= Ontbind in factoren om op te lossen (of gebruik de abc-formule):D=b2−4ac=1302−4×4×−56=17796�=−�+�2�∨�=−�−�2�x=2a−b+D​​∨x=2a−b−D​​�=−2=444∨�=−2−444x=8−130+17796​​∨x=8−130−17796​​(x+32)(x−2)=0(x+32)(x-2)=0 x=−32∨x=2x=-32 \vee x=2x= 0.425∨  x=−32x=-32x=−33 voldoet niet (de breedte kan niet negatief zijn). Conclusie: de breedte van de lijst is 0.43 cm. a)  $-16+3x > 19-2x$ Alle $x$ naar links en getallen naar rechts, en herleiden: $-16+3x +2x > 19$ $5x > 19 + 16$ $5x > 35$  Deel door het getal voor $x$: $x > 7$ b)  $-13 < 2x-4(1-4x)$ Haakjes uitwerken: $-13 < 2x+16x-4$  Herleid en zorg dat alle $x$ links staan: $-13 <  18x -4$ $-18x < 9$ Deel door het getal voor de $x$. Het teken klapt om: $x > -\frac{1}{2}$. c) $5 - (3+x) < 3(2x+1) - 6x$ Haakjes uitwerken: $5 - 3 - x < 6x + 3 - 6x$ Herleiden en $x$ naar links, getallen naar rechts: $2-x < 3$ $-x < 1$ Deel  door het getal voor de $x$ en klap teken om: $x >- 1$. d)  $12(x-2) > x - 3(4+x)$ Haakjes uitwerken en herleiden: $12x-24 > x - 12 -3x$ $12x-24 > -2x - 12$ Alle $x$ naar links en getallen naar rechts: $12x + 2x > -12 + 24$ $14x > 12$ Nu nog delen door het getal voor de $x$: $x > \frac{12}{14}$, dus $x>\frac{6}{7}$.   a)  Stel eerst de twee functies gelijk: $(2x+3)(4+6x)=0$ Gebruik de regel $A\cdot B=0$: $(2x+3) = 0 \vee (4+6x) = 0$ $2x = -3 \vee 6x = -4$ $x =-1 \frac{1}{2} \vee x = -\frac{2}{3}$ Via de figuur lezen we de oplossing van de ongelijkheid af: $x<-1 \frac{1}{2} \vee x > -\frac{2}{3}$. b)  Stel eerst de functies gelijk: $2x^2=-10x$ $2x^2+10x=0$ Ontbind in factoren: $2x(x+5)=0$ $2x = 0 \vee x+5=0$ $x=0 \vee x=-5$ Ongelijkheid oplossen met figuur: $-5 \leq x \leq 0$. c) Stel eerst de functies gelijk: $2x^2+x=14$ $2x^2+x-14=0$ Ontbinden in factoren kan niet, dus gebruik de abc-formule: $x=\frac{-1-\sqrt{113}}{4} \vee x=\frac{-1+\sqrt{113}}{4}$ $x \approx -2,91 \vee x \approx 2,41$ Los de ongelijkheid af met de figuur: $ -2,91 < x < 2,41$. a) De grafiek begint eigenlijk pas vanaf H=0: anders zou het zijn alsof je de raket onder de grond schiet. b)  Daartoe moeten we weten wanneer de raket weer op de grond landt, dus de snijpunten met de x-as: waar H=0 Stel de vergelijking op: $-2,5x^2+17,5x=0$ Los op (mag ook met de abc-formule): $x(-2,5x+17,5)=0$ $x=0 \vee -2,5x+17,5=0$ $x=0 \vee -2,5x=-17,5$ $x=0 \vee x=7$ Conclusie: de raket legt 7 meter af. c)  Hiervoor moet je eerst weten waar de raket 15 m hoogte bereikt. (Zie de onderstaande schets van de situatie). We weten dan hoe lang hij boven de 15 meter is en dus of dat genoeg is (> 6,5 m) om over de school heen te komen. Daarbij hoort de ongelijkheid: $H(x)>15$.  Los op:  $-2,5x^2+17,5x=15$ $-2,5x^2+17,5x-15=0$ Deel alles door $-2,5$ om eenvoudiger op te lossen (of gebruik direct de abc-formule): $x^2-7x+6=0$ $(x-6)(x-1)=0$ $x=1 \vee x=6$ Dus op een afstand van 1 meter bereikt de raket 15 m hoogte (en stijgt hij verder), en op 6 meter afstand is hij weer terug op 15 m hoogte.  Daar zit maar 5 meter tussen en dus kan hij niet helemaal over de school heen (dan zou er minstens 6,5 meter tussen moeten zitten). a)  Stel de vergelijking op:  $2x^2+20 = 14x$  Los op:  $2x^2-14x+20 = 0$ Deel beide kanten door 2 (of gebruik direct de ABC-formule): $x^2-7x+10=0$ Dubbele haakjes: $(x-2)(x-5)=0$ Dus $x=2 \vee x=5$ Coördinaten (vind je het makkelijkst door in te vullen bij de rechter functie, $7x$): (2,14) en (5,35) Schets: een dalparabool en een stijgende lijn: Oplossing: $2 < x < 5$ b)  Stel de vergelijking op: $(x-2)^2 =9$ Los op: $x-2 = -3 \vee x-2 = 3$ (Let op de negatieve oplossing!) $x=-1 \vee x=5$ Schets: een dalparabool en een rechte lijn: Oplossing: $x \leq -1$ of $x \geq 5$ c)  Stel de vergelijking op: $-x^2 = 2x+1$ Los op: $-x^2-2x-1=0$ $x^2+2x+1=0$ $(x+1)(x+1)=0$ (of gebruik de ABC-formule) $x=-1$ (dus er is maar één oplossing) Schets: een bergparabool en een stijgende lijn: Oplossing: $x<-1$ of $x>-1$ (Let op: hier telt het raakpunt op $x=-1$ niet mee in het interval, want daar is de parabool niet kleiner dan de lijn maar eraan gelijk). a) We moeten een ongelijkheid oplossen: $f_5 < k$, oftewel $x^2+5x+7 < 3$ Hierbij hoort de vergelijking: $x^2+5x+7 = 3$ Oplossen geeft:  $x^2+5x+4 = 0$ $(x+1)(x+4)=0$ (of via de ABC-formule) $x=-1 \vee x=-4$ Snijpunten zijn (-1,3) en (-4,3) Vanuit de schets zien we dat $f_5$ onder $k$ ligt tussen $x=-1$ en $x=-4$. Conclusie: $-4 < x < -1$. b) Raken betekent: de discriminant $D=0$. Stel $f_p$ en $k$ gelijk: $x^2+px+7=3$ Herleid tot =0: $x^2+px+4=0$ Discriminant is: $D = b^2-4ac = p^2-4\cdot 1 \cdot 4 = p^2-16$ Discriminant gelijk stellen aan 0: $p^2-16=0$ $p^2=16$ $p=4 \vee p=-4$ Conclusie: de grafiek en de lijn raken elkaar voor $p=4 \vee p=-4$. Zie eventueel de onderstaande grafiek van deze situatie. c)  Dan moet dus de grafiek boven de lijn liggen (zodat er geen snijpunten zijn).  Je ziet aan de schets bij de opgave dat de grafiek van $f_1$ boven die van $f_5$ ligt, dus het geldt sowieso voor waarden van $p<4$.  Als we p steeds kleiner maken komen we echter uit bij $p=-4$; voor $p \leq -4$ komt de grafiek op of onder de lijn te liggen en zijn er snijpunten. Conclusie: voor $-4 < p < 4$.