Moderne Wiskunde 12e ed deel A - Hoofdstuk 5 - Nieuwe grafieken oefentoetsen & antwoorden

a) De amplitude is de grootste afwijking ten opzichte van de evenwichtsstand. Die vind je door het verschil te berekenen tussen de evenwichtsstand en het hoogste punt van de grafiek (of tussen de evenwichtsstand en het laagste punt).  b) Dan doe je het functievoorschrift -2, en wordt het functievoorschrift dus $f(x)-2$. c)  Bij een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as vermenigvuldig je alle waarden met hetzelfde getal (hier dus: met 2). (De snijpunten van de grafiek met de x-as blijven op hun plaats). Het functievoorschrift vermenigvuldig je dan ook met die factor, dus de functie die je krijgt (van de beeldgrafiek dus) wordt: $g(x) \times 2$. d) De somfunctie is de twee functies opgeteld, dus de somfunctie is $f + g$. Je telt de functievoorschriften dus bij elkaar op. a) De schommel start op een hoogte van 0,5 meter. Na 2 seconden is de schommel weer op het startpunt. De periode is dus 2 seconden. b) Het laagste punt is 0,5 meter en het hoogste punt is 2,5 meter. $\frac{0,5+2,5}{2}=1,5$ meter. c) Evenwichtsstand is 1,5 meter. Het hoogste punt is 2,5 meter. De amplitude is het verschil tussen de evenwichtsstand en het hoogste of laagste punt. De amplitude is dus 2,5 meter -1,5 meter = 1 meter. (Tussen de evenwichtsstand en het laagste punt is het verschil ook 1 meter.)   a)  Kijk naar het losse getal. Dat is namelijk het enige dat bij een verticale verschuiving verandert. Bij $g(x)$ staat er $... - 15$ en bij $f(x)= … +3$. Het verschil is $-18$. Dus er is een verschuiving van 18 omlaag toegepast om $g(x)$ te krijgen. b)  Doe het functievoorschrift +4. Dus $k(x)=-3 \cdot 2^x +4$. c)  Om terug te gaan moet je de verschuiving omdraaien.  Dus je kunt $h(x)$ uit $k(x)$ verkrijgen door met 4 omlaag te verschuiven. (Dan krijg je: $k(x)-4 = (-3 \cdot 2^x -+4) - 4 = -3 \cdot 2^x = h(x)$. Klopt!)   a)  Doe het hele functievoorschrift $\times 3$: $g(x) = 3 \times f(x) = 3 \times (2x^2 - 6x + 4) = 6x^2 -18x + 12$. b)  Bij een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as blijven de snijpunten met de x-as op dezelfde plaats. Of: Bij een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as veranderen alleen de y-coördinaten. Die worden met dezelfde factor vermenigvuldigd. In dit geval krijg je dan: $0 \times 3 = 0$. Dus het punt $(1,0)$ blijft op dezelfde plaats. Je kunt ook controleren dat het klopt door x=1 in te vullen bij beide functies, maar dan leg je niet uit waarom dit zo is. c) Door een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met een factor -1. d) De grafiek is precies gespiegeld (“omgekeerd”) ten opzichte van de x-as. Zie eventueel ook bijbehorende schets:   a) De periode is de tijd tussen 2 herhalingen.  Bijvoorbeeld op 15 en 30 minuten is de schommel op hetzelfde punt, dus periode is 30-15 = 15 minuten. De evenwichtsstand = $\frac{46+1}{2}=23,5$. De amplitude is het hoogste punt - evenwichtsstand. Amplitude = 46 - 23,5 = 22,5. Zie ook de figuur: b) Een rondje is 15 minuten, dus in 7,5 minuut is het rad van beneden naar boven. Na 60 minuten is het rad beneden (dat zie je in de grafiek). Na 60+7,5=67,5 is het rad helemaal boven. Na 67,5 minuten is het rad op 46 meter hoogte. a) De evenwichtsstand is 8 meter (tussen het hoogste en het laagste punt). De amplitude is het verschil tussen de evenwichtsstand en het hoogste punt. De amplitude is dus 12-8 = 4 m. b)  Lees uit de grafiek af: na 12 minuten is de hoogte 4 m. Na 16 minuten is de hoogte opnieuw 4 m (want de periode is 4 minuten). Dus 3 minuten later is de hoogte 8 meter (net als op 15 en op 11 minuten). c)  Het warenhuis is totaal 11 uur open. Dat zijn 11 x 60 = 660 minuten. Elke 4 minuten komt de klimpiet bovenaan, dus in totaal is dat: 660 : 4 = 165 keer bovenaan. d) Dikgedrukt de grafiek bij de andere klimpiet. Hij komt 4 + 6 = 10 m hoog en is na $2\frac{1}{2}$ minuut weer beneden (dus teken 4 perioden t/m 10 minuten). Zorg dat de beweging ook weer uit rechte lijnen bestaat (want de klimpiet gaat steeds even snel). e)  De ene klimpiet is beneden op 4, 8, 12, 16, 20, ... minuten (elke 4 minuten) De andere klimpiet is bedenen na $2\frac{1}{2}$, 5, $7\frac{1}{2}$, 10, $12\frac{1}{2}$, 15, $17\frac{1}{2}$, 20, ... minuten beneden (elke $2\frac{1}{2}$ minuten) Dus ze zijn allebei voor het eerst na 20 minuten weer beneden. Bij deze opgave maken we gebruik van het feit dat bij een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as, de y-coördinaten van de beeldgrafiek veranderen bij dezelfde x-coördinaten. a)  Vergelijk twee punten met dezelfde x-coördinaat op de originele grafiek en de beeldgrafiek. Bijvoorbeeld: bij x=0 gaat de grafiek van $m$ door y=-3 en die van $n$ gaat door y=6.  6 : -3 = - 2, dus $n$ is ten opzichte van $m$ vermenigvuldigd met een factor -2. Dat geeft: $n(x)= -2 \times m(x) = -2 \times (3^x-4) = -2 \cdot 3^x +8$. (Let op: $-2 \times 3^x \isnot -6^x$!) b)  Vul bij $m(x)$ x=2 in: dat geeft punt $(2, 5)$. Dus de y-coördinaat is $\times 4$ gegaan, en dus is $p(x)$ uit $m(x)$ ontstaan door een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 4. Dat geeft formule $p(x) = 4 \times m(x) = 4 \times (3^x-4) = 4 \cdot 3^x-16$. a) Omhoog verschuiven: tel er 3 bij op, dus je krijgt: $y=\frac{1}{3}x^2 + 3$ Vermenigvuldigen: doe de hele functie $\times \frac{1}{2}$, dus je krijgt: $y=\frac{1}{2} \times (\frac{1}{3}x^2 + 3)$ (denk om de haakjes!) Conclusie: $y=\frac{1}{6}x^2 + 1\frac{1}{2}$. b) Vermenigvuldigen: doe de hele functie $\times -6$, dus je krijgt: $y=-2x^2$ Omhoog verschuiven: tel 5 op bij de functie, dus: $y=-2x^2 +5$.   a)  Eerst een vermenigvuldiging met -2 ten opzichte van de x-as. Dat geeft $-2 \times f(x) = -2 \times (x^2+6) = -2x^2 -12$. Dan nog een verschuiving met 22 omhoog: $(-2x^2-12)+22 = -2x^2+10$. b)  Ja, dat kan. De vermenigvuldiging moet nog steeds met een factor -2 zijn (vanwege de -2 vóór de $x^2$ in de functie $g$), maar je kunt de verschuiving zo kiezen dat je functie $g$ krijgt. Kies daartoe een verschuiving met -11. Dat geeft namelijk: $f(x)-11 = (x^2+6)-11) = x^2-5$. Vervolgens vermenigvuldigen met -2 geeft: $-2 \times (x^2-5) = -2x^2 +10$. Zo krijg je inderdaad de functie $g(x)$.   a) Eén week is 7 dagen, dus bereken bij beide de uitkomst voor $t=7$: Type A: $p = 15 + 55 \times 7 = 400$. Type B: $p = 30 + 52 \times 7 = 394$. Het verschil is dus 6 euro.  b)  Trek voor de verschilformule de twee functievoorschriften van elkaar af: B- A = $(30 + 52t) - (15 + 55t) = 30 + 52t - 15 - 55t = 15 - 3t$. (Let op de haakjes!) De verschilformule is dus: $p = 15 - 3t$. c) Met de verschilformule je uitrekenen wat het verschil is tussen de kosten van de huisjes (en zo bijvoorbeeld zien wanneer de huisjes even duur zijn: dan is het verschil gelijk aan 0). d)  Gebruik de verschilformule om uit te rekenen wanneer het verschil 0 is. Dat is bij 5 dagen, want dan is $p=15 - 3\cdot 5 = 0$.   a) $s = f+g$ invullen geeft: $s = (x^2-4x+8) + (x^2+x+3)$ $s = x^2-4x+8 + x^2+x+3$ $s= 2x^2-3x+11$ b) Maak eerst zelf een eigen tabel met minstens 5 punten erin, zodat je de parabolen goed kunt tekenen.  c) $v = f-h$ invullen geeft: $v = (x^2-4x+8) - (x^2-4x+4)$ (Let op de haakjes!) $v = x^2-4x+8 - x^2 +4x - 4 $ $v= 4$ d) e) Dit is een constante functie/een rechte lijn. Dat komt doordat $h(x)$ in feite de beeldgrafiek is van $f$ na een verticale verschuiving van 4 omlaag. (Op ieder punt is dus het verschil tussen de twee grafieken precies gelijk aan 4).