Getal en Ruimte 10e ed deel 1 - Hoofdstuk 2 - Berekenen en bewijzen oefentoetsen & antwoorden

a)  Dan kun je kruislings vermenigvuldigen, dus: $a \cdot x = b \cdot c$ Dat geeft: $x = \frac{bc}{a}$. b)  De overeenkomstige hoeken zijn gelijk.  Ook zijn de verhoudingen van de overeenkomstige zijden gelijk (en kun je er dus een verhoudingstabel mee maken). c) Twee van de volgende: Bij snijdende lijnen zijn de overstaande hoeken gelijk. Bij evenwijdige lijnen horen gelijke F-hoeken.  Als je al gelijkvormige driehoeken hebt zijn de overeenkomstige hoeken gelijk. d) Een zwaartelijn van een driehoek is een lijn door een hoekpunt van de driehoek die door het midden van de tegenoverliggende zijde gaat. a) Gebruik altijd het stuk van de tabel waar je alle getallen kent. Dus de eerste en de tweede kolom om x uit te rekenen:  3 10 x 4 Kruislings vermenigvuldigen geeft dan: $10 \times x = 3 \times 4$, dus $x = \frac{3 \times 4}{10} = 1.2$  Zo is ook $y= \frac{10\times 9}{4}= 22.5$ b)  Kruislings vermenigvuldigen en uitwerken:  $4(x+3)=3x$ (let op de haakjes!) $4x + 12 = 3x$ $x = -12$ Voor $y$ geeft dit: $6y = 4(y-1)$ $6y = 4y – 4$ $2y = -4$ $y=-2$   a) Benoem twee van de volgende paren gelijke hoeken en noteer waarom ze gelijk zijn: $\angle D = \angle A$ (Z-hoeken) $\angle E = \angle B$ (Z-hoeken) $\angle C_1 = \angle C_2$ (overstaande hoeken) b)  DE EC DC AB BC AC   Omdat je dan de derde zijde zo kunt kiezen dat die een andere lengte heeft.  Een goede schets laat twee driehoeken zien met twee zijdes met dezelfde verhouding, en een derde zijde die afwijkt. De twee driehoeken hebben dan ook een duidelijk andere vorm. Hieronder geven we een voorbeeld. De verhouding van zijdes AB:DE en BC:EF is 1:1, maar zijdes AC en DF hebben een heel andere lengte. a)  Hierbij hoort de verhoudingstabel:  $105$ $126$ $35$ $p$ Dat geeft: $p = \frac{35 \times 126}{105} = 42$ b) Bij deze projectie hoort de verhoudingstabel:  $15$ $q$ $12$ $9$ $6$ $r$ Dat geeft:  $q = \frac{15 \times 6}{9} = 10$, en  $r = \frac{9 \times 12}{15} = 7.2$   Om de hoogte van de boom te berekenen, moeten we de lengte weten van het lijnstuk $AE$. $AE$ is onderdeel van $\triangle ACE$. $\triangle ACE$ is gelijkvormig met $\triangle BCD$, want $\angle A = \angle B$ (allebei rechte hoeken) en $\angle C = \angle C$ (dezelfde hoek). De verhoudingen van deze driehoeken kunnen we in een verhoudingstabel opschrijven: AC AE BC BD Hierbij is AC = 24 + 1.8 = 25.8 (volgt uit de figuur). Ook is BC = 1.8 en BD = 1.5. Invullen geeft: 25,8 AE 1,8 1,5 Kruislings vermenigvuldigen geeft: $AE \times 1.8 = 25.8 \times 1.5$ $AE = \frac{25.8 \times 1.5}{1.8} = 21.5$ Dus de lengte van de boom is 21,5 meter.   a)  Nummer eerst de hoeken A, P, X, Q en C. $\angle A_{2} = \angle A_{2}$ want het is dezelfde hoek. $\angle P_{1} = \angle B$ want het zijn allebei rechte hoeken. Dus $\triangle APX \simeq \triangle ABC$. $\angle P_{1} = \angle Q_{2}$ want het zijn allebei rechte hoeken. $\angle X_{2} = \angle X_{4}$ want het zijn overstaande hoeken. Dus $\triangle APX \simeq \triangle CQX$. $\angle A_{2} = \angle C_{1}$ want het zijn z-hoeken. $\angle P_{1} = \angle D$ want het zijn allebei rechte hoeken. Dus $\triangle APX \simeq \triangle CDA$. Dus $\triangle APX$ is gelijkvormig met $\triangle ABC$, $\triangle CQX$ en $\triangle CDA$. b) Hiervoor gebruiken we dat $\triangle APX$ gelijkvormig is met $\triangle CQX$ $PX = x$ en $QX = 10 - x$ (de breedte van het zwembad min $PX$). $CQ = 25 - 8 = 17$ (de lengte van het zwembad min AP) en $AP = 8$. Dit kunnen we opschrijven in een verhoudingstabel: $AP$ $PX$ $CQ$ $QX$ Invullen geeft: $8$ $x$ $17$ $10-x$ Kruislings vermenigvuldigen geeft: $17 \times x = 8 \times (10 - x)$ $17x = 8(10-x)$ $PX = x$, dus de oplossing van de vergelijking geeft de lengte van $PX$. c) $17x = 80 - 8x$ $25x = 80$ $x = 3.2$ d) Voor deze vraag moeten we het schuine stuk $AX$ berekenen. Dit is namelijk het stuk dat Sem heeft gezwommen totdat hij de euro laat vallen bij punt $X$. $AP = 8$, dat is gegeven. $PX = 3.2$, dat hebben we bij vraag b en c berekend.   Dus met de stelling van Pythagoras kunnen we lijnstuk $AX$ als volgt berekenen: $AP^{2} + PX^{2} = AX^{2}$ $(8)^{2} + (3.2)^{2} = AX^{2}$ $AX^{2} = 74.24$ $AX = \sqrt{74.24} \approx 8.6$   Gebruik eerst dat lijn BD een zwaartelijn is: Dus de verhouding van $DZ:BZ = 1:2$.  Dat betekent dat $BZ = 2 \cdot 3\frac{1}{3} = 6\frac{2}{3}$. Dan is $BD = BZ + DZ = 10$. Zwaartelijn BD deelt zijde AC in twee gelijke delen, dus $AD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. Nu kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken in driehoek ABD, want $\angle A = 90 \degree$: $AD^2+AB^2=BD^2$ $6^2+AB^2=10^2$ $AB^2=100-36=64$ Dus $AB = \sqrt{6}=8$ (we hoeven niet af te ronden).   Omdat $SEFD$ een parallellogram is, is $AD$ evenwijdig aan $EF$.  Omdat $ABCD$ een vierkant is, geldt verder ook dat $AD$ evenwijdig is aan $BC$.  Dus is $EF$ evenwijdig aan $BC$.  Nu geldt dat: $\angle EGF = \angle CGB$ (overstaande hoeken), en  $\angle EFG = \angle CBG$ en $\angle FEG = \angle BCG$ (want Z-hoeken).  Dus is $\triangle EFG$ gelijkvormig aan $\triangle CBG$. Tip: Gebruik in een bewijs alle gegevens. Bedenk bijvoorbeeld: wat weet ik als SEFD een parallellogram is? Wat zijn de kenmerken van een parallellogram? En bedenk ook waar je heen moet in de opgave. Je moet hier aantonen dat $\triangle EFG \sim \triangle CBG$, dus dan moet je laten zien dat de hoeken van de driehoeken gelijk zijn. (Over afstanden weet je in deze opgave te weinig). Welke hoeken moeten dan aan elkaar gelijk zijn, en wat weet je over die hoeken?   a) Maak eerst een schets van $\triangle PDH$ met daarin $\triangle PAQ$: $\angle P = \angle P$ want het is dezelfde hoek. $\angle D = \angle A$ want het zijn allebei rechte hoeken. Dus $\triangle PDH \simeq \triangle PAQ$. Dit kunnen we opschrijven in een verhoudingstabel: $PD$ $DH$ $PA$ $AQ$ Invullen geeft: $5$ $4$ $3$ $AQ$ Kruislings vermenigvuldigen geeft: $AQ = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$ b)  Maak eerst een schets van $\triangle PRA$ en $\triangle RBS$ en nummer de hoeken van R: $\angle R_{2} = \angle R_{4}$ want dat zijn overstaande hoeken. $\angle B = \angle A$ want het zijn allebei rechte hoeken. Dus $\triangle RBS \simeq \triangle RAP$. Dit kunnen we opschrijven in een verhoudingstabel: $RB$ $BS$ $RA$ $AP$ Invullen geeft: $2$ $BS$ $4$ $3$ Kruislings vermenigvuldigen geeft: $BS = \frac{3 \times 2}{4} = 1.5$   a) AB = BC (gelijkzijdige driehoek), dus $\angle A_1 = \angle C_1 $ (gelijkbenige driehoek). (Gebruik de eigenschap: In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk).  b) AB = AC (gelijkzijdige driehoek), dus $\angle B_1 = \angle C_1 $ (gelijkbenige driehoek). c)  $\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 180 \degree$ (hoekensom driehoek) $\angle A_1 = \angle B_1 = \angle C_1$ (volgt uit opgave a en b) Dus $\angle A_1 = \angle B_1 = \angle C_1 = 180 :3 = 60 \degree$. d) Werkwijze: we moeten dus aantonen dat twee van de overstaande hoeken samen 180 graden zijn. Dus óf aantonen dat $\angle A_2 + \angle D_1 = 180 \degree$, of  $\angle C_{23} + \angle E_{12} = 180 \degree$. Die laatste lukt het beste, want we weten al dat $\angle E_{12} = 60 \degree$. $\angle E_{12} = 60 \degree$ (gegeven) $\angle C_1 = 60 \degree$, dus $\angle C_{23} = 180 \degree - 60 \degree = 120 \degree$ (gestrekte hoek) Dus $\angle C_{23} + \angle E_{12} = 180 \degree$, dus vierhoek $ACDE$ is een koordenvierhoek.  Tip: je hoeft in dit geval niet óók aan te tonen dat  $\angle A_2 + \angle D_1 = 180 \degree$. Dat is automatisch het geval, omdat alle vier de hoeken samen 360 graden zijn. e)  Bij een koordenvierhoek hoort dat je een cirkel om de vier hoekpunten kunt tekenen. (Zie schets hieronder).  Nu kun je de stelling gebruiken: Omtrekshoeken die op dezelfde boog staan zijn gelijk. Dat betekent dat $\angle A_3 = \angle C_3$. Tip: neem zelf altijd de tekening over en zet de gegevens erin. Bijvoorbeeld: omdat $ACDE$ een koordenvierhoek is, kunnen we er een cirkel omheen tekenen. Bedenk vervolgens: welke eigenschappen ken ik bij deze situatie?  f) Lijn $l$ loopt parallel aan zijde $AB$ (gegeven), dus je kunt F-hoeken gebruiken. $\angle B_1 = \angle C_3$ (F-hoeken) $\angle B_1 = 60 \degree$ (bewezen bij opgave b)  Dus ook $\angle C_3 = 60 \degree$. g) Nu doen we het omgekeerde van opgave a en b: we gaan bewijzen dat alledrie de hoeken in driehoek $ADE$ $60 \degree$ zijn en dus dat de driehoek gelijkzijdig is. $\angle C_3 = 60 \degree$ (volgt uit opgave f)  $\angle A_3 = \angle C_3$ (volgt uit opgave e)  Dus ook $\angle A_3 = 60 \degree$. $\angle A_3 + \angle D_2 + \angle E_{12} = 180 \degree$ (hoekensom driehoek), dus dan is $\angle D_2 = 180 \degree - 60 \degree - 60 \degree = 60 \degree$. Dus alledrie de hoeken zijn $60 \degree$ en driehoek ADE is gelijkzijdig.