Getal en Ruimte 12e ed deel 1 - Hoofdstuk 1 - Lineaire problemen oefentoetsen & antwoorden

a) Als je aan de linkerkant van de vergelijking iets optelt, moet je aan de rechterkant van de vergelijking hetzelfde doen. (Dus altijd aan beide kanten hetzelfde doen. Bijvoorbeeld als je de term $-3x$ overbrengt van rechts naar links, doe je aan beide kanten $+3x$). Dit heet ook wel de balansmethode. b) Een lineaire grafiek is een rechte lijn. De formule van een lineair verband is $y=ax+b$, met: $a$ is de richtingscoëfficiënt. Dit is de vaste toename die hoort bij een horizontale stap van 1. $b$ is het startgetal. Dit vind je in de tabel onder de waarde 0 of door het snijpunt van het grafiek met de y-as af te lezen. $x, y$ zijn de variabelen.  c)  Werk de haakjes weg. Breng alle termen met $x$ erin naar links en alle andere termen (losse getallen) naar rechts. Herleid. Deel aan beide kanten door het getal voor de $x$ om de oplossing te vinden. d)  Schrijf de vergelijking op die je krijgt als je de twee formules gelijkstelt, dus $f(x)=g(x)$. Bereken vervolgens de $x$-coördinaat door de vergelijking op te lossen. Vul de gevonden $x$ in bij één van de vergelijkingen om de $y$ uit te rekenen. e) Wanneer je aan beide kanten van een ongelijkheid door hetzelfde negatieve getal deelt, klap je het ongelijkheidsteken om (< wordt > en omgekeerd).   f) De uitvoer is altijd de waarde die uit de functie komt als je een getal invoert. In dit geval is de uitvoer dus $f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$.   a)  De oranje grafiek heeft richtingscoëfficiënt 0 (of: geen richtingscoëfficiënt), omdat de grafiek een horizontale lijn is. Dat wil zeggen dat er geen x-waarde is in de formule. De grafiek stijgt of daalt daardoor niet: het is een constant verband. Het is een lijn, dus vergelijking: $y=ax+b$.  De $a$ is in dit geval dus 0.  De $b$ lezen we af met het snijpunt met de y-as: die is $7$. Dus vergelijking: $y=7$. b) Bij de blauwe grafiek. Dit is een dalende grafiek, dus de richtingscoëfficiënt is negatief. Er is sprake van een afname.   a) Gebruik de algemene formule voor een lijn: $y =ax+b$. Lijn $k: k(x) =ax+b$ $\rm Richtingscoëfficiënt = \frac{toename \, tweede \, coördinaat}{toename \, eerste \, coördinaat}$. Gebruik bijvoorbeeld punten $(0,-1)$ en $(2,2)$ (zorg dat je roosterpunten gebruikt zodat je ze goed kunt aflezen). Dan is $a = \frac{3}{2}=1,5$. Startgetal $b= -1$ (lees af bij de $y$-as) Dus $k(x)=1,5x-1$. Lijn $l: l(x)=ax+b$ Richtingscoëfficiënt $-2$ (gebruik bv. punten $(0,3)$ en $(1,1)$) $b=3$ Dus $l(x)=-2x+3$ b)  Evenwijdig betekent: dezelfde richtingscoëfficiënt, dus we weten alvast dat $m(x)=-2x+b$. Zoek de $b$ door het gegeven punt $(0, -0,5)$ in te vullen: $-0,5= -2 \times 0 +b$ $-0,5 = 0 +b$ $b=-0,5$ Dus $m(x)=-2x-0,5$. c) Dan krijgen we een lijn die door de oorsprong gaat (met vergelijking $n: y =1,5x$, dus de vorm $y=ax$). Lijn $n$ is een recht evenredig verband.   a)  Lees uit de grafiek af dat de grafieken gelijk zijn bij $x=5$ (het snijpunt). Voor x-waardes groter dan $5$ ligt de lijn van $y=x-3$ boven die van $y=2$. Conclusie: $x>5$.  b)  Lees uit de grafiek af dat de grafieken gelijk zijn voor $x=1$. Rechts van dit punt ligt de lijn van $y=-3x$ onder die van $y=x-3$. Conclusie: $x>1$.   Stap 1: stel ze gelijk. $5x-3 = x+6$ Stap 2: los op om $x$ te vinden. $5x-3 = x+6$ $5x-x=6+3$ $4x=9$ $x=\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ Stap 3: vul de gevonden $x$ in bij een vergelijking om de y-coördinaat te vinden (wij kiezen lijn $g$): $y=x+6 = 2\frac{1}{4}+6 = 8\frac{1}{4}$ Conclusie: snijpunt is $(2\frac{1}{4}, 8\frac{1}{4})$. a) Een lijn heeft altijd de vorm $k: y=ax+b$. Stap 1: $a$ vinden.  Gebruik de formule: $\rm Richtingscoëfficiënt = \frac{toename \, tweede \, coördinaat}{toename \, eerste \, coördinaat}$. Dus $a= \frac{2\frac{1}{2}- - 1}{0-2} = \frac{3\frac{1}{2}}{-2}=-1\frac{3}{4}$. Stap 2: $b$ berekenen. Dus de lijn wordt $y=-1\frac{3}{4}x+b$.  Vind $b$ door een punt in te vullen (wij kiezen $(2, -1)$: $-1 = -1 \frac{3}{4} \cdot 2 +b$ $-1=-3\frac{1}{2}+b$ $b=-1+3\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$ Conclusie: dus $k: y=-1\frac{3}{4}x+2\frac{1}{2}$. b) We beginnen weer met de standaard vergelijking: $l: y=ax+b$. Stap 1: $a$ vinden. Evenwijdig betekent: dezelfde richtingscoëfficiënt, dus ook $\rm rc_l = -1\frac{3}{4}$. Stap 2: $b$ berekenen. Vul punt $C(4,10)$ in bij $y=-1\frac{3}{4}x+b$: $10 = -1\frac{3}{4} \cdot 4 +b$ $10 = -7 + b$ $b=17$ Conclusie: $l: y = -1\frac{3}{4}x + 17$. a)  Per 100 m 0,9 °C, dus per meter 0,009 °C eraf Dus in totaal 0,009 x 4808 = 43,27 °C verschil (want zeeniveau betekent 0 m hoogte) 33 °C - 43,72 °C = -10,27 °C. b) Lineaire functie, dus vorm is $T(h) = ah+b$ Richtingscoëfficiënt is -0,009 (per meter 0,009 °C afname) Beginwaarde is 33 Dus $T(h)=-0,009h+33$ c)  Richtingscoëfficiënt = $\rm \frac{toename \ temperatuur}{toename \ meters} = \frac{11-25}{3000-900} = -0,0067$ Dus functie is $T(h) = -0,0067h+b$. Beginwaarde b vinden we door een punt in de formule in te vullen. We kiezen $(900, 25)$: $25 = -0,0067 \cdot 900 +b$ $25 = -6 +b$ $b= 25 + 6= 31$ Dus $T(h) = -0,0067h+31$   a) $3(4-x)+7x=16x-2(3x-5)-6$ Werk eerst de haakjes weg: $12-3x+7x=16x-6x+10-6$ (let op de plus die je krijgt van $-2 \cdot -5 = +10$) Alle $x$ naar links en alle getallen naar rechts: $-3x+7x-16x+6x = 10 -6 -12$ $-6x = -8$ Deel nu nog door het getal dat voor de $x$ staat: $x=-\frac{-8}{-6} = \frac{4}{3}$ b)  $x+2=3-1\frac{1}{3}x$ Werk de breuk weg. Ook bij $1\frac{1}{3}$ kun je daarvoor gewoon $\times 3$ doen, dan krijg je $4$: $3x+6=9-4x$ Alle $x$ naar links, getallen naar rechts, en herleiden: $3x+4x = 9 -6$ $7x=3$ Deel door het getal voor $x$: $x=\frac{3}{7}$ c)  $35-2(5x+5)=7(4x+3)+15$ Werk de haakjes weg: $35-10x-10 = 28x + 21 + 15$ Herleid en breng alle $x$ naar links: $-10x - 28x = 21 + 15 -35 + 10$ $-38x = 11$ Deel door het getal voor $x$: $x=-\frac{11}{38}$ (die breuk kan niet simpeler) d) $2(x-1) - x = 6x + 30$ Herleid en breng alle $x$ naar links: $2x-2 -x = 6x +30$ $x-2 = 6x +30$ $x-6x = 30 +2$ $-5x = 32$ Deel door $-5$: $x= \frac{32}{5} = -6\frac{2}{5}$ (+) e) $\frac{1}{2}(x-2)-\frac{1}{4}x= \frac{1}{3}(x-2)$ Werk de haakjes weg (overigens mag je ook eerst de breuken wegwerken): $\frac{1}{2}x-1-\frac{1}{4}x=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$ Werk de breuken weg. $\rm kgv(2,3,4)=12$, dus vermenigvuldig alles met $12$: $6x-12-3x=4x-8$ $3x-12 = 4x-8$ Alles met $x$ weer naar links en getallen naar rechts: $3x-4x = -8 + 12$ $-x=4$ Doe alles $\times -1$, oftewel vervang alle minnen door plussen en omgekeerd: $x=-4$ (+) f)  $6\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(5-x)=\frac{3}{2}x$ Breuken wegwerken: alles $\times 2$: $13-(5-x)=3x$ (let op: er moeten nog haakjes staan, omdat de - ervoor stond) $13-5+x=3x$ $8+x=3x$ Alle $x$ naar links en getallen naar rechts: $-2x=-8$ Deel door $-2$: $x=4$ a)  $-16+3x > 19-2x$ Alle $x$ naar links en getallen naar rechts, en herleiden: $-16+3x +2x > 19$ $5x > 19 + 16$ $5x > 35$  Deel door het getal voor $x$: $x > 7$ b)  $-13 < 2x-4(1-4x)$ Haakjes uitwerken: $-13 < 2x+16x-4$  Herleid en zorg dat alle $x$ links staan: $-13 <  18x -4$ $-18x < 9$ Deel door het getal voor de $x$. Het teken klapt om: $x > -\frac{1}{2}$. c) $5 - (3+x) < 3(2x+1) - 6x$ Haakjes uitwerken: $5 - 3 - x < 6x + 3 - 6x$ Herleiden en $x$ naar links, getallen naar rechts: $2-x < 3$ $-x < 1$ Deel  door het getal voor de $x$ en klap teken om: $x > 1$. d)  $12(x-2) > x - 3(4+x)$ Haakjes uitwerken en herleiden: $12x-24 > x - 12 -3x$ $12x-24 > -2x - 12$ Alle $x$ naar links en getallen naar rechts: $12x + 2x > -12 + 24$ $14x > 12$ Nu nog delen door het getal voor de $x$: $x > \frac{12}{14}$, dus $x>\frac{6}{7}$.   a)  Het is een lineaire formule, dus van de vorm $y=ax+b$. Per rondje kost het €1,75, dus dit is de helling van de lijn. Begingetal is het vaste bedrag: €70,- Dus formule voor de kosten: $K: y = 1,75x+70$ b) Ze kan maximaal 95 euro besteden, dus de kosten moeten kleiner dan 95 euro zijn. Ongelijkheid is dus: $1,75x+70 < 95$ c)  Alle $x$ links en getallen rechts: $1,75x < 25$ Deel door getal vóór $x$: $x < 14,28…$ d) Ze kan alleen hele rondjes rijden, dus maximaal 14 rondjes.   a) We hebben per lijn twee punten nodig waar we de lijn doorheen kunnen trekken. Zorg eerst voor tabellen. Je kunt standaard bijvoorbeeld de waardes bij $x=0$ en $x=2$ berekenen (hier ook handig, want dan krijg je geen breuken).In dit geval krijgen we bij $k$ de volgende tabel:$x$$0$$2$$y$$-4$$-3$En bij $l$:$x$$0$$2$$y$$1$$0$Nu kun je de grafiek tekenen, met de gevonden punten. Zie hieronder. (Het maakt niet zo veel uit van waar tot waar je assen lopen).b) Bij het snijpunt met de y-as is $x=0$. Dat vullen we in de vergelijking van de lijn in om y te vinden: $y = \frac{1}{2} \cdot 0 -4 = -4$.Coördinaten van het snijpunt zijn dus $(0, -4)$.c) Werkwijze: we vullen de coördinaten van in de vergelijking van de lijn in om $p$ te berekenen, dus op de plek van $x$ vullen we $p$ in en op  de plek van $y, 10$.$10= -\frac{1}{2} \cdot p +1$$10 = -frac{1}{2}p +1$$9 = -\frac{1}{2}p$Deel door $-\frac{1}{2}$, oftewel vermenigvuldig met $-2$:$-18 = p$Conclusie: dus $p=-18$.d) Werkwijze: vul de x-coördinaat van punt $B$ in bij lijn $k$ en controleer of het klopt.$B(-7, -8\frac{1}{2})$, dus vul $x=-7$ in:$k: y=\frac{1}{2}x-4 = \frac{1}{2}\cdot -7 - 4 = -7\frac{1}{2}$.Conclusie: dat klopt niet met de y-coördinaat van punt $B$, dus $B$ ligt niet op lijn $k$.e) In het snijpunt zouden de y-coördinaten van beide punten gelijk moeten zijn. Bereken dus beide.In lijn $k$ $x=5$ invullen geeft: $y= \frac{1}{2} \cdot 5 - 4 = -1\frac{1}{2}$.In lijn $l$ $x=5$ invullen geeft: $y=-\frac{1}{2} \cdot 5 +1 = -1\frac{1}{2}$.Het klopt dus: snijpunt is $S(5, -1\frac{1}{2})$. Stel ze eerst gelijk:$f(x)=g(x)$$\tfrac{1}{3}(5x-2) = 3\tfrac{1}{4}x+10$Nu kun je op twee manieren te werk gaan om de vergelijking op te lossen:1. Eerst haakjes uitwerken en breuken uitschrijven. Dan krijg je:$\tfrac{5}{3}x-\tfrac{2}{3} = \tfrac{13}{4}x+10$. Nu moet je bedenken dat $\tfrac{5}{3}-\tfrac{13}{4} = \tfrac{20}{12}-\tfrac{39}{12}=-\tfrac{19}{12}$. Dus de vergelijking wordt: $-\tfrac{19}{12}x = 10+\tfrac{2}{3}$$-\tfrac{19}{12}x = \tfrac{32}{3}$. Als laatste deel je dan door $\tfrac{19}{12}$, dus vermenigvuldig je met $-\tfrac{12}{19}$. (Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde). Dan krijg je $x=-\tfrac{32}{3}\cdot\tfrac{12}{19} = -\tfrac{128}{19} = -6\tfrac{14}{19}$.2. Direct alles vermenigvuldigen met $12$ (want $\rm kgv(3,4) =12$). Dan krijg je: $4(5x-2)=39x+120$. Hieruit volgt $-19x = 128$, en dan ben je veel sneller bij het antwoord hierboven. Nu weten we de $x$-coördinaat van het snijpunt. Om ook de $y$-coördinaat te achterhalen moeten we de oplossing invullen bij één van de twee lijnen. Dit is het makkelijkst bij de tweede lijn. Je krijgt dan $y=\tfrac{13}{4} \cdot -\tfrac{128}{19} +10 = -\tfrac{13\cdot 32}{19}+10 = -\tfrac{416}{19}+10 = -21\tfrac{17}{19}+10=-11\tfrac{17}{19}$.Het snijpunt is dus $S(-6\tfrac{14}{19}, -11\tfrac{17}{19})$.