Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 12A - Zicht op toeval oefentoetsen & antwoorden

Kijk hoeveel mogelijkheden voldoen aan de gestelde eis. De kans hierop is het aantal uitkomsten dat voldoet aan de eis gedeeld door totaal aantal mogelijkheden.Als je bij een kans probleem van alle mogelijkheden de kansen bij elkaar optelt, dan komt er altijd 1 uit, oftewel 100%. Dat is namelijk het geheel. De volgende twee eisen:Iedereen uit de groep moet dezelfde kans hebben om in de steekproef te komen.De steekproef moet voldoende groot zijn.Omdat hoe vaker je een kansexperiment herhaalt, hoe dichter het resultaat zal komen bij wat je kunt verwachten.  Deze steekproef is niet betrouwbaar, omdat ze dan alleen mensen zullen treffen die tussen 9:00 en 17:00 uur thuis zijn. Mensen die dan naar hun werk zijn komen niet in de steekproef. Deze steekproef is betrouwbaar. Iedere inwoner heeft een even grote kans om in de steekproef terecht te komen (en de steekproef is voldoende groot). Deze steekproef is niet betrouwbaar. Ten eerste omdat de steekproef te klein is. Ten tweede omdat niet iedereen een even grote kans heeft om erin te komen, want ze kiezen alleen mensen die op zaterdag op de markt zijn. Deze steekproef is niet betrouwbaar, omdat er alleen inwoners van deze wijk worden gevraagd, en geen inwoners uit de rest van de stad. Toelichting: Bedenk steeds of de steekproef voldoende groot is (dus hier minstens een paar honderd mensen, want je wilt een uitspraak doen over de hele stad van 120.000 mensen), en of iedereen dezelfde kans heeft om in de steekproef te komen. Alleen dan is de steekproef betrouwbaar. De toevalsgetallen 000 en 101 t/m 999 doen niet mee. Tel het aantal toevalsgetallen van 001 t/m 017: dat zijn er 6.Je zou verwachten dat er, van de 30 dagen in juni, 17% zomers is. Dat zijn $\frac{17}{100} \times 30 =5,1$ dagen, dus ongeveer 5 dagen. Het komt dus vrij goed overeen. Voor een broek heeft ze twee keuzes. De kans op een zwarte broek is dus $\frac{1}{2}$ (of $0,5$ of $50\%$).Voor een t-shirt heeft ze vier keuzes. De kans op een zwart t-shirt is dus $\frac{1}{4}$ (of $0,25$ of $25%$).  Er zijn 2 x 4 x 3 keuzes = 24 mogelijkheden.Of maak een boomdiagram om te zien dat er 24 mogelijkheden zijn:Voor deze vraag is het niet nodig om te kijken naar de broeken of de t-shirts, want het maakt niet uit welke keuze je daarin maakt. Er zijn drie mogelijkheden voor de sokken, waarvan één wit, dus de kans op een outfit met daarin witte sokken is $\frac{1}{3}$ (of $0,333$ of $33\%$). Toelichting: je mag deze vraag ook oplossen met systematisch tellen, door bijvoorbeeld in het boomdiagram te kijken, maar dat is veel meer werk. Hiervoor moet je de mogelijkheden uitschrijven en het aantal keer blauw in de combinaties tellen. Doe dat bijvoorbeeld via een boomdiagram (zie ook het antwoord op vraag b).Dat geeft in totaal 16 mogelijkheden waar blauw in staat.In totaal 24 mogelijke outfits, dus de kans op een blauw kledingstuk is $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$ (of $0,667$ of $66,7\%$). 200 van alle mieren zijn gemarkeerd. Bij een goede steekproef is de verhouding van het aantal in de steekproef gelijk aan de verhouding van het aantal in de hele kolonie. Dus de verhouding van 25 mieren met stip ten opzichte van de 400 mieren uit de steekproef, is gelijk aan de verhouding van de 200 mieren die een stip hebben gekregen ten opzichte van alle mieren. 25 van 400 is $\frac{25}{400} = \frac{1}{16}$, dus we kunnen aannemen dat 1 op de 16 van alle mieren een stip heeft.Er zijn 200 mieren met een stip in de kolonie. Dat is $\frac{1}{16}$ deel, dus de hele kolonie bevat ongeveer $16 \times 200 = 3200$ mieren. Tip: deze opgave kun je ook oplossen met een verhoudingstabel, omdat de verhouding in de steekproef hetzelfde moet zijn als in de hele kolonie: SteekproefHele kolonieAantal met stip25200Totaal aantal400?Dat geeft voor het vraagteken inderdaad: $200 \times 400 : 25 = 3200$. Hij onderschat de grootte van de kolonie: Hij markeert voornamelijk mieren die boven de grond voorkomen. Doordat deze mieren veel boven de grond blijven is de kans groot dat hij dezelfde mieren terug vangt, en is de kans dat hij mieren die vooral ondergronds zitten vangt klein. Zijn steekproef is dus een afspiegeling van de populatie mieren die boven de grond komen, en niet van de totale populatie mieren. Toelichting: Je kunt dit ook inzien met een rekenvoorbeeld. Boven de grond zijn relatief meer mieren gemarkeerd; we rekenen even met 1 op de 16, net als in opgave a. Stel dat van alle mieren, zowel onder als boven de grond, niet 1 op de 16 gemarkeerd is, maar slechts 1 op de 20, omdat de mieren onder de grond niet zijn gemarkeerd. Dan zou je bij opgave a een totale grootte van de kolonie krijgen van $200 \times 20 = 4000$.  De kans op elk van de getallen is $\frac{1}{8}$.Daarom verwacht je dat ieder getal één op de acht keer voorkomt, en dus komt het getal 3 naar verwachting $\frac{200}{8} = 25$ keer voor. Noteer uit de toevalsgetallen alleen de cijfers 1 t/m 8. (Elk cijfer stelt de bijbehorende kant van de dobbelsteen voor). Maak daarmee een rij toevalsgetallen.Toelichting: de toevalsgetallen 0 en 9 doen dus niet mee. Deze noteer je niet in je simulatie. Als je die namelijk wel mee zou nemen, wordt de kans op elk cijfer niet 1 op 8, maar 1 op 10. Er zijn drie keer zo veel vlakken rood als oranje, dus je verwacht ook drie keer zo vaak een rood vlak te krijgen. Percentage is deel van het geheel, dus:Bij 20x: $\frac{8}{20} \times 100 \% = 40\%$Bij 200x: $\frac{86}{200} \times 100 \% = 43\%$Bij 2000x: $\frac{834}{2000} \times 100 \% = 41,7\%$Bereken bij de percentages van opgave b hoeveel van de 12 vlakken dan groen zijn:40% van 12 is 4,8 vlakken (berekening: $0,40 \times 12$ OF $\frac{40}{100} \times 12$)43% van 12 is 5,1641,7% van 12 is 5,004Conclusie: dat zit steeds rond de 5 vlakken. Waarschijnlijk zijn er dus 5 van de vlakken van deze kanstol groen.Hoe vaker je een kansexperiment herhaalt, hoe dichter het resultaat zal komen bij wat je kunt verwachten. Daarom is de uitslag bij 2000 keer draaien dus waarschijnlijk het dichtst bij de uitslag die je zou verwachten.   Tel het aantal volgordes. We doen dat hier met een tabel. Let op dat er twee rode vlakken zijn, dus de keuze voor rood moet ook twee keer in je tabel staan!rrbgrrrrrrbrgrrrrrrbrgbbrbrbbbgggrgrgbggEr zijn in totaal 16 mogelijke volgorden, en daarvan zijn er 4 met beide keren rood. De kans is dus 416=14=25%\frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 25\%164​=41​=25%.Je mag deze opgave uiteraard ook oplossen met een boomdiagram. Dan kom je op hetzelfde antwoord uit.  Tel opnieuw de mogelijkheden. We kunnen de tabel van opgave a hier gebruiken. Er zijn 9 mogelijkheden zonder blauw, dus de kans is 916=56,3%\frac{9}{16} = 56,3\%169​=56,3%. Nu kun je het aantal mogelijkheden niet met een tabel tellen, dus maak een boomdiagram. We tekenen hieronder een deel van het boomdiagram. Het hele diagram gaat 4 x 4 x 4 = totaal 64 mogelijkheden bevatten. Er is slechts één mogelijkheid op drie keer groen (ggg), dus de kans daarop is 164=1,6%\frac{1}{64} = 1,6\%641​=1,6%.Als je steeds een rode sector moet draaien, zijn er bij elke keer draaien twee goede mogelijkheden in plaats van één. Dat betekent dat bij elke keer draaien de kans op een rode sector 2x zo groot is als de kans op een groene sector. In totaal is de kans op drie maal een rode sector dus 2×2×2=23=82 \times 2 \times 2 = 2^3 = 82×2×2=23=8 keer zo groot als de kans op drie maal een groene sector. Toelichting: je hoeft voor deze opgave dus niet alle mogelijkheden systematisch te tellen, maar dat mag natuurlijk wel. Dan kom je op 8 mogelijkheden voor driemaal rood, en dat is 8 keer zo veel als de ene mogelijkheid voor driemaal groen.