Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 11 - Oppervlakte en inhoud oefentoetsen & antwoorden

a) 1 m3=1×103×103=1000000 cm31 \, m^3 = 1 \times 10^3 \times 10^3 = 1000000 \, cm^31m3=1×103×103=1000000cm3Er zitten 111 miljoen kubieke centimeters in een kubieke meter.b) Bereken de oppervlakte van de verschillende grensvlakken.Bereken de totale oppervlakte.c) Een samengestelde ruimtefiguur bestaat uit twee (of meer) verschillende bekende ruimtefiguren, bijvoorbeeld een balk en een cilinder die samen een tafel vormen. Als je een schets hebt gemaakt: laat het controleren door je docent!d) Dit is een prisma (met een zeshoekig grondvlak).e) inhoud piramide  =13× \, = \frac{1}{3} \times \,=31​× oppervlakte bodem ×\times× hoogte of: inhoud piramide  = \, = \,= oppervlakte bodem ×\times× hoogte ÷3\div 3÷3f) De inhoud wordt dan  5×5×5=125 \, 5 \times 5 \times 5 = 125 \,5×5×5=125 keer zo groot. Om de oppervlakte van een cilinder te berekenen, moet je ook de oppervlakte van de cilindermantel berekenen. De cilindermantel is een rechthoek. Dit kun je in de afbeelding van de uitslag zien.De breedte van de rechthoek is eigenlijk de hoogte van de cilinder. De lengte van de rechthoek is even lang als de omtrek van de cirkelvormige bodem en dus moet je ook de omtrek van die cirkel berekenen. a) Hoeveel water past er in het aquarium?Hoeveel er in kan gaat over de inhoud.b) Hoeveel verf heb ik nodig om de buitenkant van deze doos te verven?De buitenkant gaat over de oppervlakte: hoeveel verf past daar op. Je kunt het bijvoorbeeld zien door in gedachten plakjes te snijden van het prisma. Als je allemaal precies dezelfde plakjes krijgt, dan zie je welke vorm de bodem heeft (je kunt het prisma uit de afbeelding telkens van links naar rechts doorsnijden en dan krijg je allemaal even grote zeshoekige plakjes: een zeshoekige bodem dus).Je kunt ook zoeken naar grensvlakken die geen rechthoek zijn. Er zijn altijd twee grensvlakken die geen rechthoek zijn: dit zijn de bodem en de deksel (het prisma uit de afbeelding bestaat uit zes rechthoeken en twee zeshoeken: een zeshoekige bodem dus).Of doe jij het anders? Zo ja: controleer bij je docent of je het goed doet! In woorden:een piramide heeft een bodem met hoeken terwijl de kegel een ronde bodem heefthet zijn allebei ruimtefiguren zonder deksel: vanaf de bodem komen ze bovenin uit in een puntAls je dit allebei ook in je schets hebt laten zien, heb je het goed gedaan. Deze factor is $100$ want een meter is $100$ keer groter dan een centimeter.(Omdat de factor altijd van lengte naar lengte gaat, gaat het om de factor van de vergroting van een centimeter naar een meter!) Tip: maak een schets van de uitslag zodat je alle grensvlakken kunt zien met hun maten.a) Een uitslag van de verpakking ziet er zo uit:De verpakking bestaat dus uit $4$ rechthoeken van $500$ mm bij $30$ mm en $2$ vierkanten van $30$ mm bij $30$ mm.De oppervlakte van een rechthoek is $500 \times 30 = 15000 \, mm^2$...…en de oppervlakte van allevier de rechthoeken samen is gelijk aan $4 \times 15000 = 60000 \, mm^2$.De oppervlakte van een vierkant is $30 \times 30 = 900 \, mm^2$...…en de oppervlakte van beide vierkanten samen is gelijk aan $2 \times 900 = 1800 \, mm^2$.De totale oppervlakte is gelijk aan $60000 + 1800 = 61800 \, mm^2$.b) Schets van een uitslag van de verpakking:De bodem is een cirkel met straal $25 \div 2 = 12,5$ mm.De oppervlakte van de bodem is $\pi \times 12,5 \times 12,5 = 490,87… \, mm^2$De oppervlakte van de bodem en de deksel samen is gelijk aan $2 \times 490,87… = 981,747… \, mm^2$De cilindermantel is een rechthoek met een lengte van $550$ mm en een breedte die gelijk is aan de omtrek van de bodem en dat is $2 \times \pi \times 12,5 = 78,539…$ mm.De oppervlakte van de cilindermantel is $550 \times 78,539… = 43196,898… \, mm^2$De totale oppervlakte van de verpakking is $981,747… + 43196,898… = 44178,646… \approx 44179 \, mm^2$ a)Bedenk:je moet liters berekenen dus je moet de inhoud berekenenhet is een balkde afmetingen van de balk staan in de afbeelding.De inhoud van de balk is $15 \times 15 \times 28 = 6300 \, cm^3$$6300 \, cm^3 = 6300 \div 1000 = 6,3 \, dm^3$$6,3 \, dm^3 = 6,3$ literDe kop van de hamer bevat $6,3$ liter rubber.b) De hamer is een samengestelde ruimtefiguur en bestaat uit de kop (van $6,3$ liter) en de cilindervormige steel.inhoud cilinder $=$ oppervlakte bodem $\times$ hoogteoppervlakte bodem is oppervlakte cirkel met straal $7 \div 2 = 3,5$ cm, dus:oppervlakte bodem $= \pi \times 3,5 \times 3,5 = 38,48… \, cm^2$hoogte $= 35$ cminhoud steel $= 38,48… \times 35 = 1346,957… \, cm^3$inhoud kop $= 6300 \, cm^3$ (zie vraag a)De totale inhoud van de hamer is gelijk aan $1346,957… + 6300 = 7646,957… \approx 7647$ kubieke centimeter. a) De rechte hoek weet je omdat die in de bovenkant van het prisma is getekend. Bovenkant (deksel) en bodem zijn hetzelfde bij een prisma.b) Oppervlakte bodem is oppervlakte driehoek $\, = 0,5 \times 5 \times 9 = 22,5  \, dm^2$c)Inhoud prisma $\, = \,$ oppervlakte bodem $\, \times \,$ hoogte.Inhoud $\, = 22,5 \times 3 = 67,5 \, dm^3$. inhoud piramide $\, = \frac{1}{3} \times \,$ oppervlakte bodem $\times$ hoogtebodem:is een rechthoek van $47$ bij $32$ moppervlakte bodem $\, = 47 \times 32 = 1504 \, m^2$hoogte is $40$ minhoud $\, = \frac{1}{3} \times 1504 \times 40 \approx 20053 \, m^3$ a) De bodem is een cirkel met straal $0,9$ dm.(want $9 \, cm \, = 0,9 \, dm)Oppervlakte bodem $\, = \pi \times 0,9 \times 0,9 \approx 2,5 \, dm^2$b) Je moet liters berekenen dus je moet de inhoud berekenen.Inhoud kegel $\, = \frac{1}{3} \times \,$ oppervlakte bodem $\times$ hoogteHoogte kegel $\, = 1,2$ dminhoud kegel $\, = \frac{1}{3} \times 2,5 \times 1,2 = 1 \, dm^3 \, = 1$ liter a) De factor is $2,5$Inhoud grote kegel is factor $\, \times \,$ factor $\, \times \,$ factor $\, \times \,$ inhoud kleine kegel.Inhoud kleine kegel $\, = 1$ liter (zie vorige vraag).Inhoud grote kegel $\, = 2,5^3 \times 1 = 15,625 \approx 16$ liter.b) De factor is $2,5$Oppervlakte groot is factor $\, \times \,$ factor $\, \times \,$ oppervlakte klein.Oppervlakte grote lampenkap $\, = 2,5^2 \times 454 = 2837,5 \approx 2838 \, cm^2$ a) De factor $= 52 \div 8 = 6,5$b) Dat is $6,5 \times 6,5 \times 6,5 \approx 275$ keer meer.c)De piramidekaars in de afbeelding heeft zijde $3,25$ cm.De miniatuurkaars heeft zijde $10$ mm en dat is $1$ cm.De factor van de verkleining van de kaars in de afbeelding naar de miniatuurkaars is daarom $1 \div 3,25 \approx 0,3$De inhoud van de piramidekaars in de afbeelding is $28,2 \, cm^3$De inhoud van de miniatuurpiramide is $0,3^3 \times \times 28,2 \approx 0,8 \, cm^3$De inhoud van de miniatuurpiramide is ongeveer $800 \, mm^3$