Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 5 - Machten, exponenten en logaritmen oefentoetsen & antwoorden

$1$. Wat het grondtal $a$ ook is buiten $a=0$, $a^0$ is altijd $1$. Een logaritmische functie heeft een verticale asymptoot.  Voordat we de exponent van $(x^2-20)^{2\frac{1}{2}}$ kunnen wegwerken moeten we deze eerst isoleren.$\frac{1}{8}(x^2-20)^{2\frac{1}{2}}=4$ (2 naar de andere kant)$(x^2-20)^{2\frac{1}{2}}=32$ (vermenigvuldigen met 8)$(x^2-20)^{\frac{5}{2}}=32$ (helen in de breuk van de exponent)$((x^2-20)^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}}=32^{\frac{2}{5}}$ (we doen aan beide kanten tot de macht het omgekeerde van de $\frac{5}{2}$)$(x^2-20)^{\frac{5\cdot 2}{2 \cdot 5}}=32^{\frac{2}{5}}$ (bij een macht van een macht vermenigvuldigen we de exponenten, twee breuken vermenigvuldigen geeft teller$\cdot$teller en noemer$\cdot$noemer)$(x^2-20)^{\frac{10}{10}}=32^{\frac{2}{5}}$ ($\frac{10}{10}$ is gelijk aan 1, we hebben inderdaad de exponent $\frac{5}{2}$ op deze manier weggewerkt)$x^2-20=4$ ($32^{\frac{2}{5}}=4$)$x^2=24$$x=\sqrt{24} \vee x=-\sqrt{24}$$x=\sqrt{4}\sqrt{6} \vee x=-\sqrt{4}\sqrt{6}$$x=2\sqrt{6} \vee x=-2\sqrt{6}$Voordat we de logaritme weg kunnen werken moeten we deze eerst isoleren. $^9\log(2x^2-5)=\frac{1}{2}$ ($\frac{1}{4}$ naar de andere kant)$2x^2-5=9^{\frac{1}{2}}$ (Gebruik $^a\log(x)=y \rightarrow x=a^y$)$2x^2-5=\sqrt{9}$$2x^2-5=3$$2x^2=8$$x^2=4$$x=2 \vee x=-2$$2\cdot (\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5})^-2 -10=5^x$ (we gebruiken de regel: $a^{b+c}=a^b \cdot a^c$)$2\cdot (\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1^-2}{5^-2}) -10=5^x$ (we gebruiken de regel: $(\frac{a}{b})^c=\frac{a^c}{b^c}$)$2\cdot (\frac{1}{5})^x \cdot 5^2 -10=5^x$ (we gebruiken de regel: $a^-b=\frac{1}{a^b}$, alleen staat de negatieve exponent nu al in de noemer dus komt deze nu juist in de teller)$2\cdot (\frac{1}{5^x}) \cdot 25 -10=5^x$ ($1^x$ is altijd $1$ dus we schrijven deze niet op)$50\cdot (\frac{1}{5^x})-10=5^x$$-5^x -10 + 50\cdot (\frac{1}{5^x}) =0 $(alles naar links en de volgorde aanpassen)$-(5^x)^2-10\cdot 5^x+50=0$ (alles vermenigvuldigen met $5^x$ om de breuk weg te werken)Substitueer $u=5^x$: $-u^2-10u+50=0$ABC-formule geeft: $u=\frac{10-\sqrt{100+200}}{-2} \vee u=\frac{10+\sqrt{100+200}}{-2}$$u=\frac{10-10\sqrt{3}}{-2} \vee u=\frac{10+10\sqrt{3}}{-2}$$u=-5+5\sqrt{3} \vee u=-5-5\sqrt{3}$ $g(x)=a(x-p)^n+q$Stap 1: Begin altijd met de vermenigvuldigingen met de x-as. Deze hebben namelijk invloed op de $p$ en $q$ die je bij eerdere translaties hebt verkregen. De functie $f$ is vermenigvuldigt ten opzichte van de x-as met 3, dit geeft $y=3x^5$. Stap 2: Vervolgens kijk je naar de translatie. De $p$ geeft het aantal stappen naar rechts weer, $q$ het aantal stappen omhoog. Aangezien we in $g$ een $+$ voor onze $p$ hebben staan weten we dat we een negatief aantal stappen naar rechts zijn gegaan, oftewel naar links. Vervolgens is de translatie (-6,3) toegepast, geeft $f(x)=3(x+6)^5+3$Het punt van symmetrie is $(p,q)$, in dit geval is dat $(-6,3)$. Was de exponent even geweest hadden we geen punt van symmetrie maar een top.  Werkwijze: Een logaritmische functie heeft een beperkt domein. Dit komt doordat er geen negatief getal tussen de haakjes van de logaritme kan komen te staan. Dit komt door de definitie van de logaritme. $y=^a\log(x)$ geeft $x=a^y$. Omdat een macht nooit een negatieve uitkomst kan hebben wordt $x$ nooit $0$ of lager. Voor het domein lossen we dus op $-2x+6>0$. Stap 1: $-2x+6>0$$-2x>-6$$x<3$ (let op! Het teken klapt om doordat we delen door een negatief getal)Geeft $D_f:\langle \leftarrow, 3\rangle$ (let op het open/driehoekige haakje aan de rechterkant, dit betekent dat $3$ zelf niet mee doet in het domein. Deze doet niet mee omdat wat tussen haakjes van de log staat ook geen 0 mag worden.)Stap 2: Het bereik van een logaritmische functie is $\mathbb{R}$, oftewel alle reële getallen.Conclusie: $D_f:\langle \leftarrow, 3\rangle$ en $B_f: \mathbb{R}$. Stap 1: We berekenen eerst het snijpunt $f(x)=-3$$-2\sqrt{3x-11}+5=-3$ (eerst de wortel isoleren)$-2\sqrt{3x-11}=-8$.$\sqrt{3x-11}=4$.$3x-11=16$ (kwadrateren om de wortel weg te werken)$3x=27$$x=9$Stap 2: Nu gaan we de vraag beantwoorden: $f(x)>-3$, eigenlijk wordt ons hier gevraagd voor welke $x$ $f$ hoger ligt dan $-3$. We gaan de functie en de lijn $y=-3$ plotten in de GR.De blauwe lijn is $f$. We zien dus dat $f$ bij alle x-waardes kleiner dan het snijpunt boven de rode lijn ligt. Echter, bij het randpunt houdt de grafiek op. Dus tot het randpunt ligt $f$ boven de lijn $y=-3$Stap 4: Bereken de x-coördinaat van het randpunt.De wortelfunctie heeft een randpunt omdat we geen negatieve waarde onder de wortel kunnen hebben. Daarom kunnen we alleen x-waarden invullen waarvoor geldt $3x-11\geq 0$. Om te kijken wat $x$ minimaal is lossen we $3x-11=0$ op. $3x-11=0$$3x=11$$x=\frac{11}{3}$Stap 5: $x$ moet dus kleiner zijn dan $9$, $\frac{11}{3}$ is de kleinste x-waarde waarvoor de functie bestaat. Dus tot en met het randpunt ligt $f$ boven $y=-3$.Conclusie: $f(x)>-3$ voor $\frac{11}{3}\leq x<9$Werkwijze: We willen weten wat de y-waarde van $f$ wordt voor x-waarden kleiner of gelijk aan $7$. Hiervoor kijken we eerst wat $f(x)$ is als $x=7$. Vervolgens kijken we welke y-waarden de functie van $f$ allemaal bereikt als we kleinere x-waarden nemen. Stap 1: $f(7)=-2\sqrt{3\cdot 7 -11}=-2\sqrt{10}$Stap 2: Bekijk de grafiek weer in de GR.We zien dat als we kleinere x-waarden nemen dan $x=7$ we op een gegeven moment het randpunt $x=\frac{11}{3}$ bereiken (zie a). Om te kijken welke y-waarde maximaal bereikt wordt, moeten we de y-coördinaat van het randpunt weten. Stap 3: Voor de y-coördinaat van het randpunt vullen we $x=\frac{11}{3}$ in in de formule. $f($x=\frac{11}{3}$)=-2\sqrt{3($x=\frac{11}{3}$)-11}+5=5$Conclusie: Voor x-coördinaten kleiner of gelijk $7$ ligt de y-waarde tussen $-2\sqrt{10}$ en {5}. Dus $-2\sqrt{10}\leq f(x) \leq 5$ Los op: $f(x)=g(x)$Stap 1: Schrijf beide functies als macht van 2. $4^{\frac{1}{2}x^2-3}=\frac{1}{2}^{2x-2}$$2^2({\frac{1}{2}x^2-3})=2^{-1(2x-2)}$ (gebruik $\frac{1}{2}=2^-1$)Stap 2: Stel de exponenten aan elkaar gelijk en los op.$2({\frac{1}{2}x^2-3})={-1(2x-2)}$$x^2-6=-2x+2$$x^2+2x-8=0$$(x+4)(x-2)=0$$x=-4 \vee x=2$Stap 3: Gegeven is $x_A>0$ dus $x_A=2$. Vul deze in in één van de twee formules om $y_A$ te bepalen.$f(2)=4^{\frac{1}{2}\cdot 2^2-3}=4^{-1}=\frac{1}{4}$Conclusie: $A(2,\frac{1}{4})$$y=\frac{1}{2}^{2x-2}$$2x-2=^{\frac{1}{2}}\log(y)$ (gebruik $y=a^x$ geeft $x=^a\log{y}$)$2x=^{\frac{1}{2}}\log(y)+2$$x=\frac{1}{2}\cdot ^{\frac{1}{2}}\log(y)+1$  Werkwijze: Om de lengte van het lijnstuk $AB$ te berekenen moeten we de y-coördinaten van $A$ en $B$ van elkaar aftrekken.Stap 1: Bereken de y-coördinaten van $A$ en $B$.$f(2)=3+^3\log(2\cdot 2+5)=3+^3\log(9)=3+^3log(3^2)=3+2=5$o   $g(2)=^5\log(-2+7)+1=^5\log(5)+1=^5\log(5^1)+1=1+1=2$Stap 2: $A(2,2)$ en $B(2,5)$. Lijnstuk $AB=y_b-y_a=5-2=3$Conclusie: De lengte van lijnstuk AB is 3.Stap 1: Plot de grafiek en de lijn $y=2$ en bekijk het verloop.Als de y-waarde van $g$ onder $y=2$ ligt, ligt de x-waarde van $g$ boven $x=2$. (zie a voor y-waarde $g$ bij $x=2$)In het plaatje hierboven zie je inderdaad dat als $g(x)<2$ de x-waarde boven $x=2$ ligt.Stap 2: Een logaritmische grafiek heeft een verticale asymptoot. De x-waarden lopen tot deze verticale asymptoot. Hier moeten we rekening mee houden als we antwoord geven op deze vraag.De verticale asymptoot verkrijgen we door de vergelijking $-x+7>0$ op te lossen.$-x>-7$$x<7$ (let op! Het teken klapt om)Conclusie: $2<x<7$