Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 6 - Differentiaalrekening oefentoetsen & antwoorden

De buigpunten van de grafiek. 0, daarom lossen we op $f’(x)=0$. Met de afgeleide berekenen we namelijk de helling van een grafiek. Als we de richtingscoëfficiënten van twee onderling loodrechte lijnen vermenigvuldigen levert dat $-1$ op. Stel $l$ en $k$ staan loodrecht op elkaar dan geldt: $rc_l\cdot rc_k=-1$. Stap 1: Herschrijf eerst de formule.$k(x)=\frac{x^2-3}{x^{1\frac{1}{5}}}$ (de noemer als macht van $x$ schrijven)$k(x)=\frac{x^2}{x^{1\frac{1}{5}}}-\frac{3}{x^{1\frac{1}{5}}}$ (uitdelen)$k(x)=x^{2-1\frac{1}{5}}-3x^{-1\frac{1}{5}}$ (gebruik $\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$)$k(x)=x^\frac{4}{5}-3x^{-1\frac{1}{5}}$Stap 2: Neem de afgeleide$k’(x)= \frac{4}{5}\cdot x^{-\frac{1}{5}}+3\frac{3}{5}x^{-2\frac{1}{5}}$Stap 1: Omdat de macht in de teller en noemer hetzelfde grondtal hebben kunnen we de rekenregel $\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$ gebruiken.$h(x)=\frac{x^2-8x}{(x^2-8x)^\frac{1}{2}}$ (gebruik $\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}$)$h(x)=(x^2-8x)^{1-\frac{1}{2}}$$h(x)=(x^2-8x)^{\frac{1}{2}}$Stap 2: $h$ is een samengestelde functie. We scheiden dus het binnenste en het buitenste. De binnenste functie noemen we $u$.$h(u)=(u)^{\frac{1}{2}}, u=x^2-8x$Stap 3: We nemen van het binnenste en het buitenste de afgeleide. $h’(u)=\frac{1}{2}(u)^{-\frac{1}{2}}, u=2x-8$Stap 4: De kettingregel luidt in woorden: de afgeleide van het buitenste met het binnenste teruggezet vermenigvuldigen met de afgeleide van het binnenste. $h’(x)=\frac{1}{2}(x^2-8x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (2x-8)$Stap 5: Herschrijf de functie.$h’(x)=\frac{1}{2(x^2-8x)^{\frac{1}{2}}}\cdot (2x-8)$$h’(x)=\frac{2x-8}{2(x^2-8x)^{\frac{1}{2}}}$$h’(x)=\frac{2x-8}{2\sqrt{x^2-8x}}$Conclusie: $h’(x)=\frac{2x-8}{2\sqrt{x^2-8x}}$ Werkwijze: We willen een raaklijn opstellen aan een buigpunt, een buigpunt vinden we door de tweede afgeleide gelijk te stellen aan 0. Stap 1: Bereken de afgeleide en de tweede afgeleide. $f’(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-10x$$f’’(x)=x^2+3x^2-10$Stap 2: Stel de tweede afgeleide gelijk aan 0 om het buigpunt te vinden.$f’’(x)=0$ $x^2+3x^2-10=0$$(x+5)(x-2)=0$$x=-5 \vee x=2$Plot de grafiek met je GR om te controleren of de gevonden punten inderdaad buigpunten zijn.Er is gegeven dat de x-coördinaat van het buigpunt groter is dan nul.Dus $x=2$ is het buigpunt dat we moeten gebruiken.Stap 3: Voor een lijn geldt $y=ax+b$. $a$ is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. De richtingscoëfficiënt van een raaklijn is gelijk aan de helling in het raakpunt. De helling in een punt verkrijgen we met de afgeleide. $f’(2)= \frac{1}{3}\cdot 2^3+\frac{3}{2}\cdot 2^2-10\cdot 2=-11\frac{1}{3}$$a=-11\frac{1}{3}$ dus $y=-11\frac{1}{3}x+b$Stap 4: $y=-11\frac{1}{3}x+b$, we verkrijgen $b$ door een punt in te vullen op de lijn. We weten dat het raakpunt sowieso op de lijn ligt. Het raakpunt ligt ook op $f$, door $x=2$ in te vullen in $f$ krijgen we bijbehorende y-coördinaat.$f(2)=\frac{1}{12}\cdot 2^4+\frac{1}{2}\cdot 2^3-5\cdot 2^2+5=-9\frac{2}{3}$$-9\frac{2}{3}=-11\frac{1}{3}\cdot 2+b$$-9\frac{2}{3}=-22\frac{2}{3}+b$$b=13$Conclusie: $y=-11\frac{1}{3}x+13$. Werkwijze: Als de lijn $l: y=1\frac{1}{6}x-2$ de functie $f$ raakt in $x=6$ betekent dat dat $f’(6)=1\frac{1}{6}$. De richtingscoëfficiënt van een raaklijn is namelijk gelijk aan de helling in het raakpunt. De helling in een punt berekenen we met de afgeleide.  Stap 1: Neem de afgeleide van $f$. $f(x)=x-\frac{p}{x}$ (uitdelen)$f(x)=x-px^-1$ (als macht van $x$ schrijven)$f’(x)=1+px^-2$$f’(x)=1+\frac{p}{x^2}$Stap 2: Vul $x=6$ in in de afgeleide en stel deze gelijk aan $1\frac{1}{6}$.$f’(6)=1+\frac{p}{6^2}$$f’(6)=1+\frac{p}{36}=1\frac{1}{6}$$\frac{p}{36}=\frac{1}{6}$ ($1$ naar de andere kant)$6p=36$ (kruislings vermenigvuldigen)$p=6$Conclusie: Voor $p=6$ raakt de functie $f$ de lijn $l$ in $x=6$. Werkwijze: Voor raken geldt dat de grafieken $f$ en $g$ elkaar snijden en de helling in dit snijpunt gelijk is. Oftewel $f(x)=g(x) \wedge f’(x)=g’(x)$. Stap 1: Neem de afgeleide van zowel $f$ als $g$. Gebruik de kettingregel om de afgeleide te nemen van $f$: $f(u)=-u^{\frac{1}{2}}+3$ $u=2x-5$$f’(u)=\frac{1}{2}\cdot -u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot -u^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{u}}, u’=2$$f’(x)=\frac{1}{-2\sqrt{2x-5}}\cdot 2=-\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$$g’(x)=-2x+5$Stap 2: Er geldt $f(x)=g(x):  -\sqrt{2x-5}+3=-x^2+5x+c$ en $f’(x)=g’(x):  -\frac{1}{\sqrt{2x-5}}=-2x+5$Aangezien we bij de vergelijking $f(x)=g(x)$ naast onbekende $x$ ook $c$ onbekend hebben kunnen we deze vergelijking niet oplossen. De vergelijking $f’(x)=g’(x)$ heeft maar één onbekende namelijk $x$, deze kunnen we dus oplossen.$-\frac{1}{\sqrt{2x-5}}=-2x+5$$-\frac{1}{\sqrt{2x-5}}=-\frac{2x+5}{1}$ (we schrijven de rechterkant van de vergelijking ook als breuk zodat we kruislings kunnen vermenigvuldigen)$-\sqrt{2x-5}(2x-5)=-1$ (kruislings vermenigvuldigen)$(2x-5)^{\frac{1}{2}}(2x-5)=1$ (Gebruik $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$(2x-5)^{1\frac{1}{2}}=1$$(2x-5)^{\frac{3}{2}}=1$$2x-5=1^{\frac{2}{3}}$$2x-5=1$$2x=6$$x=3$Stap 3: $f’(x)=g’(x)$ in $x=3$. Oftewel, de functies hebben een gelijke helling in het punt $x=3$. Om ervoor te zorgen dat de functies elkaar ook snijden in het punt $x=3$ moet gelden $f(3)=g(3)$:$-\sqrt{2\cdot 3-5}+3=-3^2+5\cdot 3+c$ ($x=3$ ingevuld in zowel $f$ als $g$)$-\sqrt{6-5}+3=-9+15+c$$-\sqrt{1}+3=6+c$$-4=c$Conclusie: De grafieken van $f$ en $g$ raken elkaar als $c=4$.  Werkwijze: Los de vergelijking $f’(x)=0$ op en druk $p$ uit in $x$. Vul vervolgens $p$ in in $f$ om de vergelijking van de kromme te vinden.Stap 1: Neem de afgeleide van $f$.$f’(x)=\frac{(x^2+3)(2x+5)-(x^2+5x+p)(2x)}{(x^2+3)^2}$ (quotiëntregel)$f’(x)=\frac{(2x^3+5x^2+6x+15)-(2x^3+10x^2+2xp)}{(x^2+3)^2}$$f’(x)=\frac{-5x^2+6x+15-2xp}{(x^2+3)^2}$Stap 2: Stel de afgeleide gelijk aan 0 om de toppen te vinden en druk $p$ uit in $x$. $f’(x)=0$ geeft $\frac{-5x^2+6x+15-2xp}{(x^2+3)^2}=0$$\frac{-5x^2+6x+15-2xp}{(x^2+3)^2}=\frac{0}{1}$ (als breuk schrijven zodat we straks kruislings kunnen vermenigvuldigen)$(-5x^2+6x+15-2xp)\cdot 1=(x^2+3)^2\cdot 0$$-5x^2+6x+15-2xp=0$$p=\frac{6x+15-5x^2}{2x}$Stap 3: Vul je gevonden $p$ in in de formule van $f$. $y=\frac{x^2+5x+(\frac{6x+15-5x^2}{2x})}{x^2+3}$Vermenigvuldig met 2x: $y=\frac{2x^3+10x^2+6x-5x^2+15}{2x(x^2+3)}$$y =\frac{2x^3+5x^2+6x+15}{2x(x^2+3)}$Conclusie: De kromme door de toppen: $y =\frac{2x^3+5x^2+6x+15}{2x(x^2+3)}$