Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 7 - Meetkunde met coördinaten oefentoetsen & antwoorden

 $67>-13$ dus $67- -13=99\circ$. Voor een hoek tussen twee lijnen doe je de grootste richtingshoek min de kleinste richtingshoek.$99>90$ dus de hoek tussen deze twee lijnen is $180-99=81\circ$. Als de hoek groter is dan $90\circ$ trek je de hoek van $180\circ$ af om de uiteindelijke hoek tussen de twee lijnen te verkrijgen.De afstand van $A$ naar $B$ is kleiner dan de straal van de cirkel. $B$ ligt dus binnen de cirkel $c$. Werkwijze: De twee lijnen: $l: ax+by=c, m: px+qy=r$ zijn evenwijdig als $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}\neq\frac{c}{r}$. We zetten beide lijnen in de vorm $ax+by=c$ om dit gegeven te gebruiken.Stap 1: Herschrijf  $l: y=\frac{2}{5}x-1$ naar de vorm $ax+by=c$$-\frac{2}{5}x+y=-1$$2x-5y=5$ (vermenigvuldigen met -5 om de breuk weg te werken)Stap 2: Herschrijf $m$ naar de vorm $ax+by=c$We gebruiken de assenvergelijking van een lijn omdat we de snijpunten met de x en y-as hebben.$m: \frac{x}{-5}+\frac{y}{p}=1$ (vermenigvuldigen met $-5p$ om beide breuken weg te werken)$px-5y=-5p$Stap 3: Gebruik $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}\neq\frac{c}{r}$$\frac{2}{p}=\frac{-5}{5}\neq\frac{5}{-5p}$$\frac{2}{p}=\frac{-5}{5}$ $-5p=10$ (kruislings vermenigvuldigen)$p=-2$Conclusie: Voor $p=-2$ zijn $l$ en $m$ evenwijdig. Werkwijze: We hebben de richtingscoëfficiënten van beide functies nodig om de richtingshoeken te berekenen.Stap 1: Stel de lijn $m$ op in de vorm $y=ax+b$ zodat we de richtingscoëfficiënt af kunnen lezen. Omdat we de snijpunten met de assen weten gebruiken we de assenvergelijking van een lijn. $m: \frac{x}{-5}+\frac{y}{7}=1$$m: 7x-5y=-35$ (vermenigvuldigen met $-5\cdot 7$)$-5y=-35-7x$$y=7+\frac{7}{5}x$De richtingscoëfficiënt van $m$ is $\frac{7}{5}$Stap 2: Bereken de richtingshoeken van beide lijnen.$rc_l=\frac{2}{5}$$tan(\angle\alpha)=rc_l$ (voor het gemak noemen we de richtingshoek van $l$ $\alpha$)$tan(\angle\alpha)=\frac{2}{5}$$\angle\alpha=tan^-1(\frac{2}{5})=21,8\circ$ (we gebruiken de inverse van tangens om $\angle\alpha$ te berekenen)$rc_m=\frac{7}{5}$$tan(\angle\beta)=rc_m$ (voor het gemak noemen we de richtingshoek van $m$ $\beta$)$tan(\angle\beta)=\frac{7}{5}$$\angle\beta=tan^{-1}(\frac{7}{5})=54,5\circ$ (we gebruiken de inverse van tangens om $\angle\beta$ te berekenen)Stap 3: Om de hoek te berekenen trek je de kleinste hoek van de grootste af. $\beta>\alpha$ dus de richtingshoek is $\beta-\alpha=54,5-21,8=32,7\circ$. Stap 1: Bereken de coördinaten van $M$ door de formule voor het midden van een lijnstuk te gebruiken: $M(\frac{1}{2}((x_A+x_B),(y_A+y_B))$.De x-coördinaat van $M$  is $x_M=\frac{1}{2}(1+p+4)= \frac{1}{2}p+\frac{5}{2}$De y-coördinaat van $M$  is $y_M=\frac{1}{2}(p+1)= \frac{1}{2}p+\frac{1}{2}$Stap 2: Het midden van het lijnstuk moet op lijn $k$ liggen. Vul dus de x en y-coördinaat van $M$ in in $k$.$\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}=3(\frac{1}{2}p+\frac{5}{2})-10$$\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}p+\frac{15}{2}-10$$\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}p+\frac{15}{2}-10$$p=3$Conclusie: Voor $p=3$ ligt $M$ op de lijn $k$.  Werkwijze: Omdat de cirkels de x-as raken weten we dat de y-coördinaten van de middelpunten $y=3$ en $y=-3$ zijn. Gezien de middelpunten op de lijn $m$ liggen kunnen we de x-coördinaten verkrijgen door de y-coördinaten in te vullen in de formule.Stap 1: $y=-3$ in $m$ geeft $-6x+11\cdot -3=3$$-6x-33=3$$-6x=36$$x=-6$$M_1(-6,-3)$$y=3$ in $m$ geeft $-6x+11\cdot 3=3$$-6x+33=3$$-6x=-30$$x=5$$M_2(5,3)$Stap 2: Nu we zowel de middelpunten als de straal hebben kunnen we de cirkelvergelijkingen opstellen. We gebruiken $c: (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$$c_1: (x+6)^2+(y+3)^2=9$$c_2: (x-5)^2+(y-3)^2=9$ Werkwijze: Laat je niet afschrikken door de onbekende $y_a=p$, druk het middelpunt en de straal van de cirkel uit in $p$ en vul $D$ in in de cirkelvergelijking om de vergelijking op te lossen voor $p$.Stap 1: Het middelpunt van de cirkel vinden we door het midden van lijnstuk $AB$ te zoeken. Gebruik $M(\frac{1}{2}((x_A+x_B),(y_A+y_B))$: $M(\frac{1}{2}((-12+-8),(p+1))= M(-10,\frac{1}{2}p+\frac{1}{2})$Stap 2: De straal vinden we door de afstand van het middelpunt tot een willekeurig punt op de cirkel te berekenen. We nemen $B$.$d(M,B)=\sqrt{(x_B-x_M)^2+(y_B-y_M)^2}=\sqrt{(-8--10)^2+(1-(\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}))^2}=\sqrt{(2)^2+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}p)^2}=\sqrt{4+\frac{1}{4}p^2-\frac{1}{2}p+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}p^2-\frac{1}{2}p+4\frac{1}{4}}=r$Stap 3: Stel de cirkelvergelijking op. $c: (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$$c: (x+10)^2+(y-(\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}))^2=\frac{1}{4}p^2-\frac{1}{2}p+4\frac{1}{4}$Stap 4: De cirkel gaat door $D$ dus we kunnen deze invullen in de formule.$c: (x_D+10)^2+(y_D-(\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}))^2=\frac{1}{4}p^2-\frac{1}{2}p+4\frac{1}{4}$$c: (-7+10)^2+(6-(\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}))^2=\frac{1}{4}p^2-\frac{1}{2}p+4\frac{1}{4}$$c: (3)^2+(-\frac{1}{2}p+5\frac{1}{2}))^2=\frac{1}{4}p^2-\frac{1}{2}p+4\frac{1}{4}$$9+\frac{1}{4}p^2-\frac{11}{2}p+\frac{121}{4}=\frac{1}{4}p^2-\frac{1}{2}p+4\frac{1}{4}$$-5p=35$ (alle waarden met $p$ erachter naar rechts, losse waarden naar links. $\frac{1}{4}p^2$ aan beide kanten vallen tegen elkaar weg.) $p=7$Conclusie: voor $p=7$ is $AB$ de middellijn van cirkel $c$ en ligt $D$ op de cirkel. Werkwijze: Van cirkel $c_1$ kunnen we met behulp van het snijpunt van lijn $k$ en de y-as het middelpunt $M_1$ berekenen. Van cirkel $c_2$ kunnen we met behulp van de afstand van een punt tot een lijn de straal berekenen. Vervolgens kunnen we de coördinaten van punt $A$ berekenen en de afstand tussen $A$ en $M_1$ voor de straal van $c_1$. Stap 1: Snijpunt van $l$ met de y-as, $x=0$ invullen geeft $y=3$. $M_1(0,3)$. Stap 2: De straal van cirkel $c_2$ is gelijk aan de afstand van $M_2$ tot lijn $l$. Dit kunnen we gebruiken omdat de straal per definitie loodrecht op een raaklijn aan een cirkel staat. $d(M_2,l)=\frac{|3x_M-2y_M+6|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}$$\frac{3\cdot 2-2\cdot-7+6|}{\sqrt{13}}=\frac{26}{\sqrt{13}}=\frac{26}{13}\sqrt{13}$$c_2: (x-2)^2+(y+7)^2=52$ (we gebruiken $c: (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$)Stap 3: We verkrijgen de coördinaten van $A$ door $l$ gelijk te stellen aan de lijn $k$ die loodrecht staat op $l$ en door $M_2$ gaat(weer gebruiken we dat de straal loodrecht op een raaklijn staat)$l\perp k$ dus $k: 2x+3y=c$. (we gebruiken dat $ax+by=c$ loodrecht staat op $bx-ay=d$)$k$ door $M_2(2,-7)$ vul $M_2$ in in $k: 2x+3y=c$ om $c$ te verkrijgen: $c=2\cdot 2+3\cdot -7=-17$. $k: 2x+3y=-17$Snijpunt $k$ en $l$: $\begin{cases} 3x-2y=-6 \\ 2x+3y=-17 \end{cases}$ Vergelijking 1 vermenigvuldigen met 2 en vergelijking 2 vermenigvuldigen met 3 geeft: $\begin{cases} 6x-4y=-12 \\ 6x+9y=-51 \end{cases}$.  Deze twee aftrekken geeft $-13y=39$ dus $y=-3$$\begin{cases} 3x-2y=-6 \\ y=-3 \end{cases}$ geeft $3x-2\cdot -3=-6$ dus $3x+6=-6$$3x=-12$ geeft $x=-4$. $A(-4,-3)$Stap 4: Omdat $A$ op $c_1$ ligt is het lijnstuk tussen $M_1$ en $A$ ook wel de straal, we verkrijgen de lengte van de straal door de afstand tussen $M_1(0,3)$ en $A(-4,-3)$ te berekenen. $d(M_1,A)=\sqrt{(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2}=\sqrt{(-4-0)^2+(-3-3)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$$c_1: (x-0)^2+(y-3)^2=52$Conclusie: $c_1: x^2+(y-3)^2=52$ en $c_2: (x-2)^2+(y+7)^2=52$ Werkwijze: In onze cirkelvergelijking zit nog een onbekende $p$. Omdat we wel een punt kennen waar de cirkel door gaat, namelijk $B$ kunnen we $p$ vinden. Vervolgens substitueren we lijn $m$ in de cirkelvergelijking om na te gaan wanneer de lijn de cirkel raakt. Stap 1: $c: x^2+y^2+px-py=2p$ door $B(-2,-2) geeft$-2^2+-2^2+p\cdot -2-p\cdot -2=2p$$4+4-2p+2p=2p$$2p=8$$p=4$Dus $c: x^2+y^2+4x-4y=8$Stap 2: We substitueren lijn $m$ in de cirkel om te bepalen wanneer de lijn de cirkel raakt.$m: y=ax+17\frac{1}{5}$ (Aangezien lijn $m$ door het punt $(0,17\frac{1}{5})$ gaat en dit het snijpunt met de y-as is ($x=0$), weten we dat $b=17\frac{1}{5}$.)Substitutie van $ y=ax+17\frac{1}{5}$ in $c: x^2+y^2+4x-4y=8$ (Omdat we weten dat lijn $m$ de cirkel raakt, moeten lijn $m$ en de cirkel wel een snijpunt hebben, namelijk het raakpunt. Als we de y-waarde van $m$ invullen, namelijk $y=ax+17\frac{1}{5}$, kunnen we het snijpunt vinden van de lijn en de cirkel.)$x^2+(ax+17\frac{1}{5})^2+4x-4(ax+17\frac{1}{5})=8$$x^2+a^2x^2+\frac{172}{5}ax+\frac{7396}{25}+4x-4ax-\frac{344}{5})=8$$(1+a^2)x^2+(\frac{152}{5}a+4)x+\frac{5476}{25}=0$$D=0$ geeft $(\frac{152}{5}a+4)^2-4\cdot(1+a^2)\cdot \frac{5476}{25}=0$Een raaklijn en een cirkel hebben altijd maar één snijpunt (het raakpunt) dus de discriminant van deze vergelijking moet gelijk zijn aan $0$. Als de discriminant gelijk is aan nul hebben we namelijk één oplossing. $\frac{23104}{25}a^2+\frac{1216}{5}a+16-\frac{21904}{25}-\frac{21904}{25}a^2=0$$48a^2+\frac{1216}{5}a-\frac{21504}{25}=0$$a^2+\frac{76}{15}a-\frac{448}{25}=0$ (delen door 48)Dit kunnen we niet ontbinden in factoren. We hebben de ABC-formule nodig om de oplossingen voor $a$ te vinden. $a=\frac{-\frac{76}{15}-\sqrt{(\frac{76}{15})^2-4\cdot -\frac{448}{25}}}{2} \vee a=\frac{-\frac{76}{15}+\sqrt{(\frac{76}{15})^2-4\cdot -\frac{448}{25}}}{2}$$a=-\frac{112}{15} \vee a=\frac{12}{5}$De raaklijn is niet dalend (zie afbeelding) dus moet $a=2\frac{2}{5}$ wel de oplossing zijn die we zoeken.Conclusie: $m: y=2\frac{2}{5}x+17\frac{1}{5}$