Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 8 - Goniometrische functies oefentoetsen & antwoorden

Zorg dat je voor de toets de eenheidscirkel zonder moeite in korte tijd kunt tekenen. Oefen ontzettend veel met de verschillende hoeken en waarden op de eenheidscirkel, anders ben je hier te veel tijd aan kwijt tijdens de toets. We zoeken eerst $\sin(1\frac{1}{2}\pi-\alpha)$.Neem een willekeurige hoek $\alpha$.Neem de hoek $\beta$ van $1\frac{1}{2}\pi rad$. (Gebruik de eenheidscirkel!)We moeten van hoek $\beta$ hoek $\alpha$ aftrekken en vervolgens de y-waarde nemen (sinus).We moeten de y-waarde van punt $P$ uitdrukken in $\sin(\alpha)$ of $\cos(\alpha)$. Wegens de symmetrie, maar het is ook in de figuur hieronder te zien, is de y-waarde van $P$ gelijk aan x-waarde van $Q$, alleen is de y-waarde van $P$ negatief.We hebben dus de x-waarde van $Q$ nodig, maar dan negatief, $Q$ heeft hoek $\alpha$, oftewel we moeten $-\cos(\alpha)$ hebben.Conclusie: $\sin(1\frac{1}{2}\pi-\alpha)$=$-\cos(\alpha)$Bekijk eerst goed de opdracht. We moeten $4\sin^2(x)+\cos(x)-4$ uitdrukken in $\cos(x)$. Dat betekent dat we de term ‘$\sin^2(x)$’ weg moeten werken, oftewel uit moeten drukken in $cos(x)$. Om een $\sin^2(x)$ of $\cos^2(x)$ weg te werken gebruiken we altijd de regel $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$Als we $\sin^2(x)$ in de bovenstaande regel uitdrukken in de rest krijgen we: $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ ($\cos^2(x)$ naar de andere kant)$\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ gaan we substitueren in onze uitdrukking.$4\sin^2(x)+\cos(x)-4=4(1-\cos^2(x))+\cos(x)-4$ $sin^2(x)$ is vervangen door $1-cos^2(x)$. Eigenlijk zijn we er nu al, in de hele term staat geen $sin(x)$ meer, alleen $cos(x)$ en dat was de bedoeling. Nu alleen nog even herleiden.$4(1-\cos^2(x))+\cos(x)-4=4-4\cos^2(x)+\cos(x)-4=-4\cos^2(x)+\cos(x)$. Stap 1: $x_C=-0,91$ $\cos(\angle\alpha)=-0,91$ We kiezen cosinus omdat we een hoek bij een x-coördinaat zoeken.We noemen de hoek voor het gemak $\alpha$, zie de figuur hieronder.$\angle\alpha=\cos^{-1}(-0,91)=2,714… rad$ Om $\angle\alpha$ vrij te maken gebruiken we de inverse van de cosinus.De GR berekend nu automatisch de hoek tussen de positieve x-as en het been van de oorsprong tot C (zie de afbeelding in de stap hierboven). Zorg dat je rekenmachine in radialen staat!Stap 2: $y_D=0,91$$\sin(\angle\beta)=0,91$We kiezen sinus omdat we een hoek bij een y-coördinaat zoeken.We noemen de hoek voor het gemak $\beta$, zie de figuur hieronder.$\angle\beta=\sin^{-1}(0,91)=1,143… rad$ Om $\angle\beta$ vrij te maken gebruiken we de inverse van de sinus.De GR berekend nu automatisch de hoek tussen de positieve x-as en het been van de oorsprong tot $D’$ (zie de afbeelding in de stap hierboven). Wegens de symmetrie binnen de eenheidscirkel weten we dat de hoek tussen de positieve x-as en het been van de oorsprong naar $D$ even groot is.Stap 3: $2\pi-\angle\alpha-\angle\beta=2\pi-2,714…-1,143…=2,525… rad$We hebben nu de buitenhoek van $\angle{COD}$. Omdat de volle hoek $2\pi$ is kunnen we de buitenhoek hiervan aftrekken om de juiste hoek te vinden.Conclusie: $2,53 rad$.  Stap 1: We kunnen de y-coördinaten van het hoogste en het laagste punt aflezen. Namelijk $y=34 (hoogste) en $y=-94$ (laagste). Hiermee kunnen we de evenwichtsstand en amplitude berekenen. Evenwichtsstand: $a=\frac{34+-94}{2}=-30$De evenwichtsstand ligt precies tussen het hoogste en het laagste punt, door deze op te tellen en te delen door twee vinden we dit midden. Amplitude: Manier 1: $b=\frac{34--94}{2}=64$, of Manier 2: $34--30=64$De amplitude is de afstand van het hoogste tot het laagste punt delen door twee. (manier 1)De amplitude is de afstand van de evenwichtsstand tot het hoogste/laagste punt. Daarom trekken we de evenwichtsstand van het hoogste punt af. (manier 2)Stap 2: We hebben de x-coördinaten van het hoogste en het laagste punt. Namelijk $x=6$ (hoogste) en $x=22$ (laagste) Hiermee kunnen we de periode berekenen.Periode: $22-6=16$ is een halve periode. Dus de periode is $16\cdot 2=32$ $c=\frac{2\pi}{periode}=\frac{2\pi}{32}=\frac{\pi}{16}$.Omdat één periode pas voorbij is wanneer we terug zijn op de hoogte waar we zijn gestart, zijn we als we van het hoogste ($x=6$) naar het laagste punt ($x=22$) zijn gegaan nog maar op een halve periode.Door eerst te berekenen hoeveel een halve periode is en dit te vermenigvuldigen met twee krijgen we de lengte van een hele periode. Tot slot wordt de formule voor het berekenen van $c=\frac{2\pi}{periode}$ gebruikt.Stap 3: Het beginpunt van een sinusoïde vinden we waar de sinusoïde stijgend door de evenwichtsstand gaat. Voordat de sinusoïde bij het maximum $(6,34)$ kwam moet hij stijgend door de evenwichtsstand zijn gegaan. Dit is een kwart periode voor het hoogste punt. Een kwart periode is $32:4=8$ (de hele periode delen door 4)$6-8=-2$ (we zoeken naar het punt een kwart periode voor het hoogste punt)$d=-2$. Conclusie: $y=-30+64\sin(\frac{\pi}{16}(x+2))$ Stap 1 :$\sin(..)=-1$, sinus, dus we zoeken op de y-as naar de waarde $-1$.Stap 2: Bij de y-waarde $-1$ zijn we de cirkel driekwart rond. Daar hoort een hoek van $1\frac{1}{2}\pi$ radialen bij, elke keer als we vanaf daar de cirkel helemaal rond gaan, de cirkel rond is $2\pi$ komen we terug bij $y=-1$, dus alle oplossingen zijn: $1\frac{1}{2}\pi+k\cdot 2\pi$Stap 3: $1\frac{1}{3}x+\frac{5}{6}\pi=1\frac{1}{2}\pi+k\cdot 2\pi$$1\frac{1}{3}x=1\frac{1}{2}\pi-\frac{5}{6}\pi +k\cdot 2\pi$ (beide kanten $-\frac{5}{6}\pi$)$1\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi$ $x =\frac{1}{2}\pi +k\cdot 1\frac{1}{2}\pi$ (beide kanten delen door $1\frac{1}{3}$)Stap 4: Kijk voor welke $k$ je oplossingen binnen $[-\pi,\pi]$ vallen. $k=0$ geeft $x =\frac{1}{2}\pi +0\cdot 1\frac{1}{2}\pi=\frac{1}{2}\pi$$k=1$ geeft $x =\frac{1}{2}\pi +1\cdot 1\frac{1}{2}\pi=2\pi$ (buiten domein)$k=-1$ geeft $x =\frac{1}{2}\pi +-1\cdot 1\frac{1}{2}\pi=-\pi$Conclusie: Binnen $[-\pi,\pi]$ zijn de oplossingen dus $x=\frac{1}{2}\pi \vee x=-\pi$. Stap 1: Voordat we op de eenheidscirkel onze oplossingen kunnen zoeken moeten we eerst zorgen dat we cosinus isoleren. $4\cos^2(2x+\frac{1}{6}\pi)=2$$\cos^2(2x+\frac{1}{6}\pi)=\frac{1}{2}$ (delen door 4)$\cos(2x+\frac{1}{6}\pi)=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} \vee \cos(2x+\frac{1}{6}\pi)=-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ (worteltrekken)$\cos(2x+\frac{1}{6}\pi)=\frac{1}{2}\sqrt{2} \vee \cos(2x+\frac{1}{6}\pi)=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ (wortel uit de noemer halen met de worteltruc)Stap 2: $\cos(…)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$, cosinus, dus we zoeken $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ op de x-as.Nu op zoek naar de hoek die hierbij hoort:We hebben dus twee oplossingen voor $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ namelijk $\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi$ en $1\frac{3}{4}\pi+k\cdot 2\pi$. $\cos(…)=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ geeft:We hebben dus twee oplossingen voor $-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ namelijk $\frac{3}{4}\pi+k\cdot 2\pi$ en $1\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi$.Stap 3: $2x+\frac{1}{6}\pi=\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x+\frac{1}{6}\pi=1\frac{3}{4}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x+\frac{1}{6}\pi=\frac{3}{4}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x+\frac{1}{6}\pi=1\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi$$2x=\frac{1}{12}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x=1\frac{7}{12}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x=\frac{7}{12}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x=1\frac{1}{12}\pi+k\cdot 2\pi$ (beide kanten $-\frac{1}{6}\pi$)$x=\frac{1}{24}\pi+k\cdot \pi \vee x=\frac{19}{24}\pi+k\cdot \pi \vee x=\frac{7}{24}+k\cdot \pi \vee x=\frac{13}{24}+k\cdot \pi$ (delen door 2)Stap 4: Kijk voor welke $k$ je oplossingen binnen $[-\pi,\pi]$ vallen.$k=0$ geeft: $x=\frac{1}{24}\pi+0\cdot \pi=\frac{1}{24}\pi \vee x=\frac{19}{24}\pi+0\cdot \pi=\frac{19}{24}\pi \vee x=\frac{7}{24}+0\cdot \pi=\frac{7}{24}\pi \vee x=\frac{13}{24}+0\cdot \pi=\frac{13}{24}\pi$$k=1$ geeft: $x=\frac{1}{24}\pi+1\cdot \pi=1\frac{1}{24}\pi \vee x=\frac{19}{24}\pi+1\cdot \pi=1\frac{19}{24}\pi \vee x=\frac{7}{24}+1\cdot \pi=1\frac{7}{24}\pi \vee x=\frac{13}{24}+1\cdot \pi=1\frac{13}{24}\pi$ (vallen buiten het domein $[-\pi,\pi]$)$k=-1$ geeft: $x=\frac{1}{24}\pi+-1\cdot \pi=-\frac{23}{24}\pi \vee x=\frac{19}{24}\pi+-1\cdot \pi=-\frac{5}{24}\pi \vee x=\frac{7}{24}+-1\cdot \pi=-\frac{17}{24}\pi \vee x=\frac{13}{24}+-1\cdot \pi=-\frac{11}{24}\pi $$k=-2$ geeft: $x=\frac{1}{24}\pi+-2\cdot \pi=-1\frac{23}{24}\pi \vee x=\frac{19}{24}\pi+-2\cdot \pi=-1\frac{5}{24}\pi \vee x=\frac{7}{24}+-2\cdot \pi=-1\frac{17}{24}\pi \vee x=\frac{13}{24}+-2\cdot \pi=-1\frac{11}{24}\pi$ (vallen buiten het domein $[-\pi,\pi]$)Conclusie: De oplossingen zijn $x=\frac{1}{24}\pi \vee x=\frac{19}{24}\pi \vee x=\frac{7}{24}\pi \vee x=\frac{13}{24}\pi \vee x=-\frac{23}{24}\pi \vee x=-\frac{5}{24}\pi \vee x=-\frac{17}{24}\pi \vee x=-\frac{11}{24}\pi$Plot eerst de grafiek. Zo kun je zien hoeveel snijpunten je zou moeten vinden en deze heb je bij het beantwoorden van de vraag straks ook weer nodig. $f$ en $g$ hebben drie snijpunten binnen ons domein.Stap 1: Los de vergelijking $f(x)=g(x)$ op. $\cos(x-\frac{1}{2}\pi)=\cos(3x-\frac{1}{4}\pi)$$x-\frac{1}{2}\pi=3x-\frac{1}{4}\pi+k \cdot 2\pi \vee x-\frac{1}{2}\pi=-(3x-\frac{1}{4}\pi)+k \cdot 2\pi$$x-\frac{1}{2}\pi=3x-\frac{1}{4}\pi+k \cdot 2\pi \vee x-\frac{1}{2}\pi=-3x+\frac{1}{4}\pi+k \cdot 2\pi$ (haakjes wegwerken)$x=3x+\frac{1}{4}\pi+k \cdot 2\pi \vee x=-3x+\frac{3}{4}\pi+k \cdot 2\pi$ ($-\frac{1}{2}\pi$ naar de andere kant)$-2x=\frac{1}{4}\pi+k \cdot 2\pi \vee 4x=\frac{3}{4}\pi+k \cdot 2\pi$ (termen met $x$ naar links)$x=-\frac{1}{8}\pi-k \cdot \pi \vee x=\frac{3}{16}\pi+k \cdot \frac{1}{2}\pi$ (de eerste uitdrukking delen door $-2$, de tweede delen door $4$.Stap 2: Zoek de oplossingen binnen het domein $[0,\pi]$. $k=0$ geeft $x=-\frac{1}{8}\pi-0 \cdot \pi=-\frac{1}{8}\pi$ (buiten het domein)$ \vee x=\frac{3}{16}\pi+0 \cdot \frac{1}{2}\pi=\frac{3}{16}\pi$In de eerste uitdrukking hoeven we geen hogere waarden voor $k$ in te vullen omdat we al zien dat elke hogere waarde $k$ alleen maar zorgt voor oplossingen buiten het domein.$k=1$ $x=\frac{3}{16}\pi+1 \cdot \frac{1}{2}\pi=\frac{11}{16}\pi$Vul ik in deze uitdrukking een nog hogere waarden voor $k$ in, dan kom ik buiten het domein. We hebben echter drie oplossingen nodig, dan maar $k=-1$ invullen in beide uitdrukkingen. $k=-1$ geeft $x=-\frac{1}{8}\pi- -1 \cdot \pi=\frac{7}{8}\pi \vee x=\frac{3}{16}\pi+ -1 \cdot \frac{1}{2}\pi=-\frac{5}{16}\pi$ (buiten het domein)Ga na dat we aan de uitdrukking $x=-\frac{1}{8}\pi-k \cdot \pi$ al kunnen zien dat we een negatieve $k$ in moeten vullen om een positieve x-waarde te vinden.De oplossingen zijn dus: $x=\frac{3}{16}\pi \vee x=\frac{11}{16}\pi \vee x=\frac{7}{8}\pi$ (Zorg dat ze van klein naar groot staan om de volgende stap makkelijk te kunnen uitvoeren)Stap 3: Ga terug naar je grafiek en kijk wanneer $f(x)$ lager dan $g(x)$ ligt. In het plaatje zien we dat $g$ (rood) onder $f$ (blauw) ligt van het eerste tot het tweede snijpunt en van het derde snijpunt tot het einde van het domein.Conclusie: $g(x)<f(x): \frac{3}{16}\pi<x<\frac{11}{16}\pi \vee \frac{7}{8}\pi\leq\pi$Let op het laatste $\leq$ teken, op het punt $x=\pi$ zelf ligt $g$ onder $f$, daarom doet deze mee in de oplossing.  Werkwijze: voor zowel het eerste deel: $g(x)=sqrt{\cos(x)}$ als voor het tweede deel: $h(x)=2\sin(3x^4)$ hebben we de kettingregel nodig. Stap 1: We beginnen bij het eerste deel. We scheiden het buitenste en het binnenste. $g(u)=\sqrt{u}$ en $u=\cos(x)$. We nemen van beide de afgeleide. $g’(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}$ en $u’=\sin(x)$.Vervolgens vermenigvuldigen we de afgeleide van het buitenste met de afgeleide van het binnenste en zetten we $u$ terug. $g’(x)=\frac{1}{2\sqrt{\cos(x)}}\cdot \sin(x)=\frac{\sin(x)}{2\sqrt{\cos(x)}}$Stap 2: Vervolgens het tweede deel. We scheiden het buitenste en het binnenste. $h(u)=2\sin(u)$ en $u=3x^4$. We nemen van beide de afgeleide. $h’(u)=2\cos(u)$ en $u’=12x^3$.Vervolgens vermenigvuldigen we de afgeleide van het buitenste met de afgeleide van het binnenste en zetten we $u$ terug. $h’(x)=2\cos(3x^4)\cdot 12x^3=24x^3\cos(3x^4)$Conclusie: we zetten beide afgeleiden achter elkaar en daarmee hebben we de afgeleide van $f$. $f’(x)=\frac{\sin(x)}{2\sqrt{\cos(x)}}+ 24x^3\cos(3x^4)$ Stap 1: Plot de grafiek van $f$ en de lijn $y=-1$. We zien dat er binnen ons domein $f$ en de lijn $y=-1$ twee snijpunten hebben. Ook zien we dat $f$ steeds vanaf het snijpunt tot de volgende asymptoot boven $y=-1$ ligt. We zoeken dus de snijpunten én de asymptoten. Stap 2: Los op $f(x)=-1$.$-2+\tan(\frac{1}{3}\pi x)=-1$$\tan(\frac{1}{3}\pi x)=1$$\frac{1}{3}\pi x=\frac{1}{4}\pi+k\cdot \pi$$x=\frac{3}{4}+k\cdot 3$ (delen door $\frac{1}{3}\pi$)$x$ in $[-3,3]$ geeft $x=-2\frac{1}{4} \vee x=\frac{3}{4}$. Stap 3: We zoeken de verticale asymptoten.Manier 1: Voor de standaard tangens functie $\tan(x)$ zijn de asymptoten $x=\frac{1}{2}\pi+k\cdot \pi$. Om de asymptoten voor deze functie te vinden lossen we dus op: $\frac{1}{3}\pi x=\frac{1}{2}\pi+k\cdot \pi$$x=\frac{3}{2}+k\cdot 3$De asymptoten binnen het domein zijn $x=-1\frac{1}{2}$ en $x=1\frac{1}{2}$. Manier 2: De periode van een tangens is normaal $\pi$. We kunnen de periode van een tangensfunctie berekenen door $periode=\frac{\pi}{c}=\frac{\pi}{\frac{1}{3}\pi}=3$.Het beginpunt van de tangensfunctie is $x=0$, een halve periode voor en na het beginpunt ligt een verticale asymptoot. Een halve periode is $3:2=1\frac{1}{2}$ Dit geeft ons de twee asymptoten binnen het domein: $x=0-1\frac{1}{2}=-1\frac{1}{2}$ en $x=0+1\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$Stap 4: Terug naar onze grafiek om de vraag te beantwoorden.  Vanaf het snijpunt tot de verticale asymptoot (oranje) ligt $f$ (blauw) boven $y=-1$ (rood). Conclusie: $f(x)>-1$ voor $-2\frac{1}{4}<x<-1\frac{1}{2} \vee \frac{3}{4}<x<1\frac{1}{2}$.  Werkwijze: Eerst hebben we de x-coördinaat van het punt $A$ nodig, hiervoor moeten we $g(x)=0$ oplossen. Vervolgens hebben we de afgeleide nodig om de helling in het punt $A$ te berekenen, dit is tevens de richtingscoëfficiënt van $k$. Stap 1: $g(x)=0$ geeft $\frac{4\cos(x)-2x}{2\sin(x)+4}=0$.$\frac{4\cos(x)-2}{2\sin(x)+3x}=\frac{0}{1}$ (schrijf het rechterlid als breuk zodat we kruislings kunnen vermenigvuldigen)$4\cos(x)-2=0$ (kruislings vermenigvuldigen)$\cos(x)=\frac{1}{2}$ (isoleer cosinus)Ga naar de eenheidscirkel en je vindt de oplossingen $x=\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee x=1\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi$ We zoeken het eerste snijpunt met de x-as dus $x_A=\frac{1}{3}\pi$Stap 2: Neem de afgeleide van $g$, gebruik de quotiëntregel. $g’(x)=\frac{(2\sin(x)+3x)\cdot -4\sin(x)-(4\cos(x)-2)(2\cos(x)+3)}{(2\sin(x)+3x)^2}$ (quotiëntregel)$g’(x)=\frac{-8\sin^2(x)-12x\sin(x)-(8\cos^2(x)+12\cos(x)-4\cos(x)-6)}{(2\sin(x)+3x)^2}$$g’(x)=\frac{-8\sin^2(x)-12x\sin(x)-8\cos^2(x)-8\cos(x)+6)}{(2\sin(x)+3x)^2}$Stap 3: Vul $x_A=\frac{1}{3}\pi$ in in de afgeleide om de richtingscoëfficiënt van $k$ te vinden. $g’(\frac{1}{3}\pi)=\frac{-8\sin^2(\frac{1}{3}\pi)-12\cdot \frac{1}{3}\pi \sin(\frac{1}{3}\pi)-8\cos^2(\frac{1}{3}\pi)-8\cos(\frac{1}{3}\pi)+6)}{(2\sin(\frac{1}{3}\pi)+3\cdot \frac{1}{3}\pi)^2}=-0,71$Tip: In de opgave staat niet dat het exact moet, gebruik dus je rekenmachine.