Newton LRN-line - Hoofdstuk 13 - Zonnestelsel en heelal oefentoetsen & antwoorden

Een stralingskromme is een grafiek waarin de stralingsintensiteit per golflengte-eenheid in het spectrum wordt weergegeven. De grafiek is bepaald vanuit metingen. Een planckkromme is een theoretische stralingskromme, waarin de grafiek bepaald is aan de hand van een formule. Een HRD (Hertzsprung-Russell diagram) bevat drie assen. Op de horizontale as staat het logaritme van de effectieve oppervlaktetemperatuur. Deze as is omgedraaid en loopt dus van rechts naar links.  Op de verticale as staat het logaritme van de verhouding tussen het totale stralingsvermogen van de ster en het totale stralingsvermogen van de zon. Op de schuine as (van linksboven naar rechtsonder) staat de verhouding tussen de straal van de ster en de straal van de zon. Een absorptiespectrum ontstaat door wit licht door een koud, ijl gas te laten schijnen. Er ontstaat dan een spectrum met enkele donkele lijnen erin. Een emissiespectrum ontstaat door een gas zo te verwarmen dat het licht gaat uitzenden. Er ontstaat dan een spectrum met enkele gekleurde lijnen. Van eenzelfde gas zijn het emissie- en absorptiespectrum precies tegenovergesteld aan elkaar. Als een ster van de aarde af beweegt, vertonen de absorptielijnen een verschuiving in de richting van de hogere golflengtes. Dus is er sprake van roodverschuiving. Als een ster naar de aarde toe beweegt, vertonen de absorptielijnen een verschuiving in de richting van de kleinere golflengtes. Dus is er sprake van blauwverschuiving.  Met rood zijn alle mogelijke energieovergangen weergegeven. Bij het terugvallen van een elektron van de 3de aangeslagen toestand naar de 2de aangeslagen toestand, wordt straling uitgezonden met een golflengte van 775 nm. Dit kan je gebruiken om de energie van de 2de aangeslagen toestand te berekenen. Gegeven: $\lambda = 775 \ nm = 775 \cdot 10^{-9} \ m$Gevraagd: E = ? (eV), van 2de aangeslagen toestandFormule: $E = \frac{hc}{\lambda}$Berekening: $E = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 2.998 \cdot 10^8}{775 \cdot 10^{-9}} = 2.56 \cdot 10^{-19} \ J$$E = 2.56 \cdot 10^{-19} / 1.602 \cdot 10^{-19} = 1.6 \ eV$E = 4.5 - 1.6 = 2.9 eV Conclusie: De 2de aangeslagen toestand heeft een energie van 2.9 eV.  Als een elektron van de 3de aangeslagen toestand terugvalt naar de grondtoestand, wordt er straling uitgezonden met een energie van 4.5 eV. Gegeven: $E = 4.5 \ eV = 7.21 \cdot 10^{-19} \ J$Gevraagd: $\lambda = ? (nm)$Formule: $E = \frac{hc}{\lambda} \to \lambda = \frac{hc}{E}$Berekening: $\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 2.998 \cdot 10^8}{7.21 \cdot 10^{-19}} = 2.76 \cdot 10^{-7} \ m$Conclusie: Er wordt straling uitgezonden met een golflengte van 276 nm.  Het dwergstelsel beweegt van ons af, dat betekent dat er sprake is van roodverschuiving. Op aarde wordt dus een grotere golflengte van 1280 nm waargenomen. Gegeven: $\lambda = 1280 \cdot 10^{-9} \ m$$v = 285 \cdot 10^3 \ m/s$Gevraagd: $\lambda_{waargenomen} = ? (m)$, dus $\Delta \lambda = ? (m)$Formule: $v = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \cdot c \to \Delta \lambda = \frac{v \cdot \lambda}{c}$Berekening: $\Delta \lambda = \frac{v \cdot \lambda}{c} = \frac{285 \cdot 10^3 \cdot 1280 \cdot 10^{-9}}{2.998 \cdot 10^8} = 1.22 \cdot 10^{-9} \ m = 1.22 \ nm$$\lambda_{waargenomen} = 1280 + 1.22 = 1281.22 \ nm$Conclusie: De golflengte van 1280 nm wordt op aarde waargenomen als een golflengte van 1281 nm.  In de uitwerking hieronder is de golflengte het enige gegeven. Let er dan op dat je alle constanten in minimaal evenveel significante cijfers opzoekt en in de formule invult. In dit geval moet je de constanten dus in minimaal drie significante cijfers opzoeken en invullen.  Gegeven: $\lambda_{max} = 320 \cdot 10^{-9} \ m$Gevraagd: E = ? (ev) Formule: $E = \frac{hc}{\lambda}$ Berekening: $E = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 2.998 \cdot 10^8}{320 \cdot 10^{-9}} = 6.21 \cdot 10^{-19} \ J$$E = 6.21 \cdot 10^{-19} / 1.602 \cdot 10^{-19} = 3.87 \ eV$Conclusie: De energie is gelijk aan 3.87 eV.  De golflengte van het stralingsmaximum is afhankelijk van de effectieve oppervlaktetemperatuur van een ster. Gegeven: $\lambda_{max} = 320 \cdot 10^{-9} \ m$Gevraagd: $T_{eff} = ? (K)$Formule:  $\lambda_{max} \cdot T = k_W \to T = \frac{k_W}{\lambda_{max}}$ Berekening: $T = \frac{k_W}{\lambda_{max}} = \frac{2.898 \cdot 10^{-3}}{320 \cdot 10^{-9}} = 9056 \ K$ Conclusie: De effectieve oppervlaktetemperatuur van Deneb is 9056 K. De intensiteit op aarde is vele malen kleiner dan het stralingsvermogen van de ster. Met de kwadratenwet is te berekenen wat het uitgezonden vermogen van de ster is. Vervolgens kan met de wet van Stefan-Boltzmann bepaald worden wat de straal van de ster is. Gegeven: $r_{Deneb,aarde} = 1300 \cdot 10^{16} \ m$$I = 8.85 \cdot 10^{-9} W/m^2$Gevraagd: $r_{Deneb} =$ ? (m) Formule: $I = \frac{P_{bron}}{4 \pi \cdot r_{Deneb,aarde}^2} \to P_{bron} = I \cdot 4 \pi \cdot r_{Deneb,aarde}^2$$P_{bron} = \sigma \cdot A \cdot T^4 \to A = \frac{P_{bron}}{\sigma \cdot T^4}$$A = 4 \pi \cdot r_{Deneb}^2 \to r_{Deneb} = \sqrt{\frac{A}{4 \pi}}$ Berekening: $P_{bron} = I \cdot 4 \pi \cdot r_{Deneb,aarde}^2 = 8.85 \cdot 10^{-9} \cdot 4 \pi \cdot (1300 \cdot 10^{16})^2 = 1.88 \cdot 10^{31} \ W$$A = \frac{P_{bron}}{\sigma \cdot T^4} = \frac{1.88 \cdot 10^{31}}{5.67 \cdot 10^{-8} \cdot 9056^4} = 4.93 \cdot 10^{22} \ m^2$$r_{Deneb} = \sqrt{\frac{A}{4 \pi}} = \sqrt{\frac{4.93 \cdot 10^{22}}{4 \pi}} = 6.26 \cdot 10^{10} \ m$Conclusie: De straal van Deneb is $6.26 \cdot 10^{10} \ m$. Zie uitwerking hieronder. Gegeven: $v = 5000 \ m/s$ $\lambda = 320 \cdot 10^{-9} \ m$ Gevraagd: $\Delta \lambda = ? (m)$ Formule: $v = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \cdot c \to \Delta \lambda = \frac{v \cdot \lambda}{c}$Berekening: $\Delta \lambda = \frac{v \cdot \lambda}{c} = \frac{5000 \cdot 320 \cdot 10^{-9}}{2.998 \cdot 10^8} = 5.34 \cdot 10^{-12} \ m$Conclusie: De dopplerverschuiving is $5.34 \cdot 10^{-12} \ m$ In het HRD staat het logaritme van de effectieve oppervlaktetemperatuur op de horizontale as. Gegeven: $\log T_{eff} = 3.64$Gevraagd: $T_{eff} = ?$ Formule: -Berekening: $T_{eff} = 10^{3.64} = 4365 \ K$Conclusie: De effectieve oppervlaktetemperatuur van Arcturus is $4.4 \cdot 10^3 \ K$De temperatuur is bekend, dus met de Wet van Wien kan de golflengte van het stralings maximum worden berekend. Gegeven: $T_{eff} = 4.37 \cdot 10^3 \ K$$k_W = 2.898 \cdot 10^{-3} m \cdot K$ (zie binas T7)Gevraagd: $\lambda_{max}$ = ? Formule: $\lambda_{max} \cdot T = k_W \to \lambda_{max} = \frac{k_W}{T}$Berekening: $\lambda_{max} = \frac{2.898 \cdot 10^{-3}}{4.37 \cdot 10^3} = 6.84 \cdot 10^{-7} \ m$Conclusie: De golflengte waarbij deze ster de grootste stralingsintensiteit heeft is $6.84 \cdot 10^{-7} \ m$In het HRD staat op de verticale as het logaritme van de verhouding tussen het totale stralingsvermogen van de ster en het totale stralingsvermogen van de zon. Gegeven: $\log \frac{L}{L_{\bigodot}} = 2.3$$L_{\bigodot} = 3.85 \cdot 10^{26} \ W$ (zie Binas T32C) Gevraagd: L = ? (W) Formule: - Berekening: $\frac{L}{L_{\bigodot}} = 10^{2.3} = 199.5$$L = 199.5 \cdot 3.85 \cdot 10^{26} = 7.68 \cdot 10^{28} \ W$Het totale stralingsvermogen van Arcturus is $7.68 \cdot 10^{28} \ W$. Gebruik binas T5 als je een onbekende eenheid tegenkomt. Gegeven: $P_{bron} = 7.68 \cdot 10^{28} \ W$$r = 36.7 \, lichtjaar = 3.47 \cdot 10^{17} \ m$ Gevraagd: $I = ? (W/m^2)$Formule: $I = \frac{P_{bron}}{4 \pi \cdot r^2}$Berekening: $I = \frac{7.68 \cdot 10^{28}}{4 \pi \cdot (3.47 \cdot 10^{17})^2} = 5.1 \cdot 10^{-8} \ W/m^2$Conclusie: De stralingsintensiteit op aarde is $5.1 \cdot 10^{-8} \ W/m^2$.