Nova Natuurkunde MAX (release 2.2) - Hoofdstuk 12 - Quantumwereld oefentoetsen & antwoorden

Bij quantisatie van energie zijn er maar bepaalde energieniveaus toegestaan. Dit is terug te zien bij het model van een waterstofatoom en het model van een eendimensionaal doosje.Bij constructieve interferentie zijn golven in fase met elkaar. Dit betekent dat de golven elkaar versterken. Bij destructieve interferentie lopen de golven precies een halve golflengte verschillend. Hierdoor vindt er uitdoving plaats. De golffunctie is de golf waarmee een materiedeeltje wordt beschreven. Het kwadraat hiervan geeft de kansverdeling. Bij het kwadraat geeft de amplitude op ieder punt aan wat de kans is om het deeltje op die plek aan te treffen. Hoe groter de amplitude, hoe groter de kans.  Bij een SEM maak je als eerste gebruik van elektronen die terug worden gekaatst vanaf het oppervlak van het preparaat. Hierdoor worden elektronen losgemaakt uit het preparaat, wat het tweede signaal vormt. Het derde signaal ontstaat wanneer elektronen terugvallen naar de energieniveaus die vrij zijn gekomen door de elektronen die zijn losgemaakt. Bij het terugvallen zenden ze fotonen uit die vervolgens door de SEM worden gedetecteerd. Zowel bij fluorescentie als bij fosforescentie valt een elektron in meerdere stappen terug van zijn aangeslagen toestand naar de grondtoestand. Dit kost meer tijd dan als hij in één keer terug zou vallen en hiervoor valt een halveringstijd te bepalen. Wanneer de halveringstijd in de ordegrootte van nanoseconde ligt, wordt dit fluorescentie genoemd. Ligt de halveringstijd in de ordergrootte van microseconde tot uren, dan is er sprake van fosforescentie. Wanneer een deeltje zit opgesloten in een eendimensionaal doosje, loopt de golffunctie voor een gedeelte door de wand van de barrière heen. In het geval dat het deeltje de energie barrière ‘passeert’ zonder hier genoeg energie voor te bevatten, is er sprake van tunneling. Zie uitwerking hieronder. Gegeven: v = $1.2 \cdot 10^4 \ m \ s^{-1}$m = $9.109 \cdot 10^{-31} \ kg$ Gevraagd: $\lambda$ = ? (m)Formule: $\lambda = \frac{h}{mv}$Berekening: $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{9.109 \cdot 10^{-31} \cdot 1.2 \cdot 10^4} = 6.06 \cdot 10^{-5} \ m$Conclusie: De debroglie-golflengte van het elektron is $6.06 \cdot 10^{-5}$ m. De onbepaaldheid in impuls wordt beïnvloed door de breedte van de spleet. Gegeven:$\Delta x = 62 \cdot 10^{-9} \ m$Gevraagd: $\Delta$ p = ? ($kg \ m \ s^{-1}$)Formule: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi} \to \Delta p = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x}$Berekening: $\Delta p = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{4 \pi \cdot 62 \cdot 10^{-9}} = 1.65 \cdot 10^{-27} \ kg \ m \ s^{-1}$Conclusie: De onbepaaldheid in impuls is $1.65 \cdot 10^{-27} \ kg \ m \ s^{-1}$Een grotere snelheid van de elektronen zorgt voor een kleinere debroglie-golflengte, want $\lambda = \frac{h}{mv}$. Bij een kleinere golflengte is er een korter afstandsverschil nodig voor constructieve en destructieve interferentie. De pieken in de waarschijnlijkheidsverdeling zullen dus dichter bij elkaar liggen.  Uit het plaatje valt af te lezen dat er een verschil van 2.75 eV is tussen de twee energieniveaus. Dit verschil is gelijk aan de energie van het foton als hij terugvalt van n = 12 naar n = 11.  Gegeven: $E = 2.75 \ eV = 4.41 \cdot 10^{-19} \ J$Gevraagd: $\lambda = ? (nm)$Formule: $E = \frac{hc}{\lambda} \to \lambda = \frac{hc}{E}$Berekening: $\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 2.998 \cdot 10^8}{4.41 \cdot 10^{-19}} = 4.51 \cdot 10^{-7} \ m$Conclusie: Er wordt straling geabsorbeerd met een golflengte van 451 nm. Geef bij deze opgave antwoord in drie significante cijfers. Zie uitwerking hieronder. Gegeven: $\Delta E = 2.75 \ eV = 4.41 \cdot 10^{-19} \ J$n = 11 en n = 12 m = $9.109 \cdot 10^{-31}$ kg, want een elektron zit opgesloten in de energieputGevraagd: L = ? ($1.77 \cdot 10^{-9}$ m)Formule: Voor een energieniveau geldt: $E_n = n^2 \cdot \frac{h^2}{8mL^2}$Voor $\Delta E$ geldt: $\Delta E = E_{12} - E{11}$Berekening: $\Delta E = 12^2 \cdot \frac{h^2}{8mL^2} - 11^2 \cdot \frac{h^2}{8mL^2} = (12^2 - 11^2) \cdot \frac{h^2}{8mL^2}$ Omschrijven en invullen geeft: $L = \sqrt \frac{(12^2 - 11^2) \cdot h^2}{8m \cdot \Delta E} = \sqrt \frac{(12^2 - 11^2) \cdot (6.626 \cdot 10^{-34})^2}{8 \cdot 9.109 \cdot 10^{-31} \cdot 4.41 \cdot 10^{-19}} = 1.77 \cdot 10^{-9} \ m$Conclusie: Lengte L is $1.77 \cdot 10^{-9}$ m. In de energieniveaus kan je een elektron voorstellen als een staande golf. Bij n = 3 passen er 1.5 debroglie-golflengtes in de lengte van de energieput. Gegeven: L = $1.77 \cdot 10^{-9}$ mn = 3Gevraagd: p = ? ($kg \ m \ s^{-1}$)Formule: $\lambda = \frac{h}{p} \to p = \frac{h}{\lambda}$Berekening:De golflengte is $1.77 \cdot 10^{-9} \ 1.5 = 1.18 \cdot 10^{-9} \ m$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{1.18 \cdot 10^{-9}} = 5.62 \cdot 10^{-25} \ kg \ m \ s^{-1}$Conclusie: De impuls van een elektron in n = 3 is gelijk aan $5.62 \cdot 10^{-25} \ kg \ m \ s^{-1}$. De energieniveaus n = 1 t/m n = 11 zitten gevuld, dus overgangen met n lager dan 11 zijn niet mogelijk. Dat betekent dat er alleen fotonenergieën groter dan 2.75 eV mogelijk zijn. In Binas T19A is te zien dat infrarood licht een energie heeft lager dan 2.75 eV en ultraviolet een energie groter dan 2.75 eV. Ultraviolet licht kan dus wel geabsorbeerd worden en infrarood licht niet. In een molecuul met een langere koolstofketen is lengte L groter. Uit de formule $E_n = n^2 \cdot \frac{h^2}{8mL^2}$ blijkt dat de energie van de energieniveaus hierdoor lager wordt. Hierdoor worden ook de energiesprongen lager en dus de energie van het foton die bij die energiesprong hoort. Uit $E = hf$ blijkt dat het kleurstofmolecuul hierdoor fotonen met een lagere frequentie zal absorberen. De energie van het uitgezonden foton komt overeen met het verschil tussen de twee energieniveaus van het elektron. Gegeven: n = 2 $\lambda = 656 \cdot 10^{-9} \ m$Gevraagd: m = ? Formule: $E_f = \frac{hc}{\lambda}$ $E_f = E_n - E_m$$E_n = \frac{-13.6}{n^2}$Berekening:$E_f = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 2.998 \cdot 10^8}{656 \cdot 10^{-9}} = 3.03 \cdot 10^{-19} \ J = 1.89 \ eV$$E_n = \frac{-13.6}{2^2} = - 3.4 \ eV$$E_m = E_n - E_f = -3.4 - - 1.89 = - 1.51 \ eV$ $m = \sqrt{\frac{-13.6}{-1.51}} = 3$Conclusie: Het elektron komt vanuit het 3de energieniveau. Zie uitwerking hieronder. Gegeven: $\lambda = 21.106 \cdot 10^{-2} \ m$Gevraagd: E = ? (J) Formule: $E_f = \frac{hc}{\lambda}$ Berekening: $E_f = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 2.998 \cdot 10^8}{21.106 \cdot 10^{-2}} = 9.42 \cdot 10^{-25} \ J$Conclusie: De energie van het foton is $9.42 \cdot 10^{-25} \ J$. De resolutie van een foto is ongeveer gelijk aan de golflengte van het licht waarmee de foto wordt gemaakt. Voor foto’s die gebruik maken van de ‘21 cm-lijn’ zal de resolutie dus (ongeveer) 21 cm zijn.