Getal en Ruimte 13e ed deel 2 - Hoofdstuk 9 - Spreiding, tellen en kans oefentoetsen & antwoorden

De modale klasse is de klasse die het vaakst voorkomt, dat is in dit geval 55−<6055-<6055−<60We tellen de staven van gewichten onder de 50 kilo op.2+9=112+9=112+9=11 leerlingen. Een kans berekenen we met de volgende formule: $P(gebeurtenis)=\frac{aantal\ gunstige\ mogelijkheden}{totaal\ aantal\ mogelijkheden}$Een dobbelsteen heeft 6 vlakken, dus er zijn in totaal 6 mogelijkheden.Alleen de vlakken waarop 1,3 of 5 staat geven een oneven aantal ogen. Dus het aantal gunstige mogelijkheden is 3. $P(oneven\ aantal\ ogen)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$Antwoord: $P(oneven\ aantal\ ogen)=\frac{1}{2}$ Het diagram heeft één cijfer bij de mannen naast de twee staan, namelijk de 6. Er is dus één man in de 20 en hij is 26 jaar oud.In totaal zijn er 37 mannen.We berekenen hoeveel procent 1 van 37 is.Gebruik deelgeheel×100=\frac{deel}{geheel}\times 100=geheeldeel​×100=137×100=2,7%\frac{1}{37}\times 100=2,7\%371​×100=2,7%Antwoord: 2,7% De docenten boven de 50 staan naast de 5 in het diagram. Hieronder zie je deze getallen omlijnd. Tel het aantal getallen. Er staan 18 getallen bij de 5. Er zijn dus 18 docenten boven de 50.Gebruik deelgeheel×100=\frac{deel}{geheel}\times 100=geheeldeel​×100=1867×100=26,9%\frac{18}{67}\times 100=26,9\%6718​×100=26,9%Antwoord: 26,9% Er staan 30 getallen aan de kant van de vrouwen. 30 is een even getal, dus er zijn twee middelste cijfers.302=15\frac{30}{2}=15230​=15 dus het 15e en het 16e getal geven de mediaan.Tel vanaf de bovenste rij onder vrouw via rechts naar beneden tot het 15e en 16e getal.Het 15e getal is 35, het 16e getal 36mediaan=35+362=35,5mediaan=\frac{35+36}{2}=35,5mediaan=235+36​=35,5Antwoord: 35,5 De modus is de leeftijd die het vaakst voorkomt. 3 vrouwen en 3 mannen zijn 35 jaar, 35 jaar, maar ook 3 mannen en 3 vrouwen zijn 32 jaar. Er is dus geen modus. Zowel 35 als 32 jaar komt zes keer voor. De vijfgetallensamenvatting is:$Q_0$: het kleinste getal$Q_1$: het eerste kwartiel$Q_2$: de mediaan$Q_3$: het derde kwartiel$Q_4$: het grootste getalStap 1:Bepaal $Q_0$ en $Q_4$.Het kleinste getal is 11, dus $Q_0=11$.Het grootste getal is 19, dus $Q_4=19$.Stap 2: Bereken de mediaan.Bereken het totaal van de frequenties.Tel de frequenties op.$3+6+7+12+4+8+1=41$We hebben een oneven aantal cijfers, namelijk 41, dus we hebben een middelste cijfer.$41:2=20,5$ Het 21e getal is dus het middelste cijfer.Zoek het 21e getal. Tel van links naar rechts. $3+6+7=16$, in de eerste drie kolommen zit dus nog niet het 21e getal.$15+12=28$ in de vierde kolom zit dus het 21e getal. Het 21e getal is 14. De mediaan is 14, $Q_2=14$Stap 3: Bereken $Q_1$ en $Q_3$Bij een oneven aantal getallen doet de mediaan niet mee bij het vinden van $Q_1$ en $Q_3$. Er zijn dus 40 getallen over. De eerste helft getallen heeft 20 cijfers. Dit is een even aantal dus we hebben twee middelste cijfers.$20:2=10$ het 10e en het 11e getal zijn de twee middelste getallen van de eerste helft. Zoek het 10e en het 11e getal. Tel van links naar rechts. $3+6=9$, in de eerste twee kolommen zit dus nog niet het 10e en 11e getal.$9+7=16$, in de derde kolom zit dus zowel het 10e als het 11e getal.Het 10e getal is 13 en het 11e getal is 13.$Q_1=(13+13):2=13$De tweede helft getallen heeft ook 20 cijfers. Dit is een even aantal dus we hebben weer twee middelste cijfers.We zoeken het 10e en het 11e getal van de tweede helft. De eerste helft en de mediaan zijn 21 getallen. Dus het 10e getal van de tweede helft is het $21+10=31^e$ getal van alle getallen. Het 11e getal is dan het 32e getal van alle getallen.Zoek het 31e en het 32e getal. Tel van links naar rechts. $3+6+7+12=28$, in de eerste vier kolommen zit dus nog niet het 31e en 32e getal.$28+4=32$, in de vijfde kolom zit dus zowel het 31e als het 32e getal.Het 31e getal is 15 en het 32e getal is 15.$Q_3=(15+15):2=15$Antwoord: $Q_0=11$, $Q_1=13$, $Q_2=14$, $Q_3=15$, $Q_4=19$$kwartielafstand=derde\ kwartiel(Q_3)-eerste\ kwartiel(Q_1)$$kwartielafstand=15-13=2$$spreidingsbreedte=grootste\ waarde(Q_4)-kleinste\ waarde(Q_0)$$spreidingsbreedte=19-11=8$Antwoord: $kwartielafstand=2$ en $spreidingsbreedte=8$De kleinste waarde is 11 en de grootste waarde is 19. Teken een getallenlijn met daarboven een lijn van 11 tot en met 19 en zet verticale streepjes bij de kwartielen en mediaan.Gebruik je antwoord bij opgave a: $Q_0=11$, $Q_1=13$, $Q_2=14$, $Q_3=15$, $Q_4=19$Teken een rechthoek van $Q_1$ naar $Q_3$ en deel de rechthoek in tweeën bij de mediaan.Zet nog ‘cijfer’ onder de getallenlijn.Antwoord: De grootste waarde die de boxplot bereikt is 54 km/u. De kleinste waarde die de boxplot bereikt is 24 km/u. spreidingsbreedte=grootste getal−kleinste getalspreidingsbreedte=grootste\ getal-kleinste\ getalspreidingsbreedte=grootste getal−kleinste getalspreidingsbreedte=54−24=30spreidingsbreedte=54-24=30spreidingsbreedte=54−24=30 Antwoord: 30Het begin van de box is Q1Q_1Q1​ in dit geval 30.Het einde van de box is Q3Q_3Q3​ in dit geval 46.kwartielafstand=Q3−Q1kwartielafstand=Q_3-Q_1kwartielafstand=Q3​−Q1​kwartielafstand=46−30=16kwartielafstand=46-30=16kwartielafstand=46−30=16Antwoord: 16Nee, je mag 30 op de kryptonstraat, elk deel van de boxplot is 25%, er liggen 3 delen boven de 30 km/u. 3⋅25=75%3\cdot 25=75\%3⋅25=75%Één deel van de boxplot ligt onder de 30km/u. Elk deel is 25%, dus 25% van de automobilisten reed langzamer dan 30 km/u. Er waren in totaal 200 automobilisten. Bereken 25% van 200. 0,25×200=500,25\times 200=500,25×200=50Antwoord: 50 automobilisten.Elk deel is 25%, tussen 30 km/u en 46 km/u liggen twee delen,2×25=50%2\times 25=50\%2×25=50%Antwoord: 50% Voor elke letter in de code heb je 7 mogelijkheden,dus 7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7=76=1176497\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7 \cdot 7=7^6=1176497⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7=76=117649Antwoord: 117649 mogelijkhedenVoor de eerste letter heb je 7 mogelijkheden, voor de tweede 6, voor de derde 5 enzovoort. 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2=50407\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=50407⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2=5040Antwoord: 5040 mogelijkheden Omdat er staat ‘155-<160’ doet steeds de rechtergrens van elke klasse niet mee in die klasse.190 valt dus in de klasse:  190-<195 Antwoord: 190-<195De klassenbreedte is het verschil tussen de klassengrenzen.Neem de klasse 155-<160 (of een andere klasse)160−155=5160-155=5160−155=5Antwoord: De klassenbreedte is 5.De modale klasse is de klasse die het vaakst voorkomt. In dit geval is dat de klasse: 175-<180. De mediaan is het middelste getal. 146 is een even getal, er zijn dus twee middelste getallen.146:2=73146:2=73146:2=73, het 73e en het 74e getal zijn de twee middelste getallen.We tellen de frequenties op tot we bij het 73e en 74e getal zijn. De frequentie van de eerste twee klassen samen is 9+11=209+11=209+11=20, we zijn nog niet bij het 73e en 74e getal dus we tellen verder. Na de derde klasse zijn er 20+33=5320+33=5320+33=53 getallen geweest, dus daar zit de mediaan ook niet in.Na de vierde klasse zijn er 53+27=8053+27=8053+27=80 getallen geweest. De mediaan ligt dus in de vierde klasse.Antwoord: De mediaan ligt in de klasse: 170-<175.Vermenigvuldig steeds het klassenmidden met de bijbehorende frequentie en tel de uitkomsten op, deel tot slot door het totaal aantal getallen.Het klassenmidden bereken je dan door de grenzen op te tellen en te delen door twee. Klassenmidden eerste klasse: (155+165):2=160(155+165):2=160(155+165):2=160Tweede klasse: (165+175):2=170(165+175):2=170(165+175):2=170Derde klasse: (175+185):2=180(175+185):2=180(175+185):2=180 Vierde klasse: (185+195):2=190(185+195):2=190(185+195):2=190Vijfde klasse: (195+205):2=200(195+205):2=200(195+205):2=200Bereken het gemiddelde: gemiddelde=(20×160+60×170+47×180+17×190+20×200):146=174,589gemiddelde=(20\times 160+ 60\times 170+47\times 180+17\times 190+ 20 \times 200):146=174,589gemiddelde=(20×160+60×170+47×180+17×190+20×200):146=174,589Antwoord: Het gemiddelde is 174,6. Stap 1: Bereken eerst de som van de waarnemingsgetallen. 1+2+2+3+3+3+4+4+5+5+5+5=421+2+2+3+3+3+4+4+5+5+5+5=421+2+2+3+3+3+4+4+5+5+5+5=42Stap 2:Deel de som van de waarnemingsgetallen door het totaal aantal cijfers.Totaal werden er 12 cijfers gegeven.gemiddelde=42:12=3,5gemiddelde=42:12=3,5gemiddelde=42:12=3,5Antwoord: Het gemiddelde cijfer is een 3,5. Stap 1: We hebben een even aantal cijfers, namelijk 12, dus we hebben twee middelste cijfers. 12:2=612:2=612:2=6 Het 6e en het 7e getal zijn dus de twee middelste getallen.Stap 2: Zoek het 6e en het 7e getal. Het 6e getal is een 3, het 7e getal is een 4.Stap 3: Bereken de mediaan. mediaan=(3+4):2=3,5mediaan=(3+4):2=3,5mediaan=(3+4):2=3,5Antwoord: De mediaan is 3,5. De spreidingsbreedte is de afstand tussen het grootste getal en het kleinste getal. De kwartielafstand is de afstand van Q1Q_1Q1​ tot Q3Q_3Q3​.De spreidingsbreedte:spreidingsbreedte=grootste getal−kleinste getalspreidingsbreedte=grootste\ getal-kleinste\ getalspreidingsbreedte=grootste getal−kleinste getalspreidingsbreedte=5−1=4spreidingsbreedte=5-1=4spreidingsbreedte=5−1=4De kwartielafstand.We hebben eerst Q1Q_1Q1​ en Q3Q_3Q3​ nodig. Q1Q_1Q1​ is de mediaan van de eerste helft getallen.1, 2, 2, 3, 3, 3 zijn de eerste helft aan getallen.Dit zijn 6 getallen, een even aantal dus we hebben twee middelste getallen nodig.6:2=36:2=36:2=3 het derde en het vierde getal zijn de twee middelste getallen.1,2,2,3,3,31, 2,\red{ 2, 3}, 3, 31,2,2,3,3,3(2+3):2=2,5(2+3):2=2,5(2+3):2=2,5Q1=2,5Q_1=2,5Q1​=2,5Q2Q_2Q2​ is het midden van de tweede helft getallen.4, 4, 5, 5, 5, 5 zijn de tweede helft aan getallen.Dit zijn 6 getallen, een even aantal dus we hebben twee middelste getallen nodig.6:2=36:2=36:2=3 het derde en het vierde getal zijn de twee middelste getallen.4,4,5,5,5,54, 4,\red{5, 5}, 5, 54,4,5,5,5,5(5+5):2=5(5+5):2=5(5+5):2=5Q3=5Q_3=5Q3​=5kwartielafstand=Q3−Q1kwartielafstand=Q_3-Q_1kwartielafstand=Q3​−Q1​kwartielafstand=5−2,5=2,5kwartielafstand=5-2,5=2,5kwartielafstand=5−2,5=2,5Antwoord: spreidingsbreedte=4spreidingsbreedte=4spreidingsbreedte=4 en kwartielafstand=2,5kwartielafstand=2,5kwartielafstand=2,5 De tweede boxplot van boven gaat over de 5000 m. Q1Q_1Q1​ ligt bij 44 seconden, Q3Q_3Q3​ bij 48 seconden. kwartielafstand=Q3−Q1kwartielafstand=Q_3-Q_1kwartielafstand=Q3​−Q1​interkwartielafstand=48−44=4interkwartielafstand=48-44=4interkwartielafstand=48−44=4 secondenAntwoord: 4 secondenDe spreidingsbreedte van de boxplots bij de kortere afstanden, 1500 m en 3000 m, is kleiner dan de spreidingsbreedte van de boxplots bij de grotere afstanden, 5000 en 10000 meter. Hoe groter de afstand, hoe breder de boxplot, oftewel de spreidingsbreedte is. Hoe verder de gereden tijden dus ook uit elkaar liggen.48 seconden ligt bij Q1Q_1Q1​, in 25% van de ritten heeft ze dezelfde afstand omgerekend in minder dan 48 seconden gereden. In 75% van de gevallen heeft ze juist in meer dan 48 seconden gereden. Gebruik hierbij dat elk deel van de boxplot 25% is.Ook nu gebruiken we dat elk deel van de boxplot 25% is. Q1Q_1Q1​ ligt bij 42 seconden bij de 3000 meter.In 75% van de gevallen rijdt de schaatser dus minder snel. Bereken 75% van 80: 0,75×80=600,75\times 80=600,75×80=60 keerAntwoord: 60 keer Voor het eerste hiphopnummer heeft hij 8 mogelijkheden, voor de tweede nog maar 7 omdat hij er al één geluisterd heeft. Voor de laatste heeft hij dan nog 6 mogelijkheden.Zo ook de popnummers, voor de eerste heeft hij 15 mogelijkheden, voor de tweede heeft hij nog 14 mogelijkheden over.Tot slot de housenummers, eerst heeft hij er 6, daarna nog 5, nog 4, enz.8⋅7⋅6⋅15⋅14⋅6⋅5⋅4⋅3=254016008\cdot 7\cdot 6\cdot 15\cdot 14\cdot 6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3=254016008⋅7⋅6⋅15⋅14⋅6⋅5⋅4⋅3=25401600Antwoord: 25401600 mogelijkheden.Voor het eerste popnummer heeft hij 15 mogelijkheden, voor de tweede nog 14 en voor de derde nog 13 mogelijkheden.$15\cdot 14\cdot 13=2730$Antwoord: 2730 mogelijkheden.Alleen het eerste en het laatste nummer zijn popnummers, dus de middelste drie nummers zijn een hiphop of housenummer.Voor het eerste nummer heeft Job 15 mogelijkheden, namelijk alle popnummers.Voor het tweede nummer heeft Job 14 mogelijkheden, namelijk het aantal hiphop en housenummers samen. Voor het derde nummer heeft Job nog 13 mogelijkheden, omdat één van de hiphop en housenummers als gekozen is.Voor het vierde nummer heeft Job nog 12 mogelijkheden, omdat twee van de hiphop en housenummers al gekozen zijn.Het vijfde nummer moet weer een popnummer zijn, omdat het eerste nummer al een popnummer was hebben we er nog 14 van de 15 over.15⋅14⋅13⋅12⋅14=45864015\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 14=45864015⋅14⋅13⋅12⋅14=458640Antwoord: 458640 mogelijkheden. Stap 1: Zet de uitkomsten in een rooster. Zet in het rooster de getallen 1 tot en met 4 voor de rijen en 1 tot en met 8 boven de kolommen. (kan ook andersom)Schrijf in elk hokje van het rooster de uitkomst van de som.Stap 2:Tel het aantal keren dat 8 voorkomt.Er zijn 4 gevallen waar de uitkomst 8 is. Stap 3:Tel het totaal aantal uitkomsten. Er zijn in totaal 8×4=328\times 4=328×4=32 uitkomsten. Stap 4:Bereken de kans.P(som is 8)=aantal keren dat 8 voorkomttotaal aantal mogelijkhedenP(som\ is\ 8)=\frac{aantal\ keren\ dat\ 8\ voorkomt}{totaal\ aantal\ mogelijkheden}P(som is 8)=totaal aantal mogelijkhedenaantal keren dat 8 voorkomt​P(som is 8)=432=18P(som\ is\ 8)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}P(som is 8)=324​=81​Antwoord: P(som is 8)=18P(som\ is\ 8)=\frac{1}{8}P(som is 8)=81​