Getal en Ruimte 13e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 9 - Symmetrie en vlakke figuren oefentoetsen & antwoorden

D, F en G zijn niet lijnsymmetrischZie figuur hieronderB, E en F zijn draaisymmetrischAls je B in 4 slagen ronddraait past hij weer op zichzelf. De kleinste draaihoek van figuur B is dus: $360 : 4 = 90^{\circ}$.Voor E is het ook $360 : 4 = 90^{\circ}$,En voor F is het: $360 : 3 = 120^{\circ}$.Je zou kunnen denken dat D ook draaisymmetrisch is. Dat is ook zo, als de pijlen dezelfde kleur hebben, maar in werkelijkheid is de ene pijl zwart en de andere rood.B en E zijn ook puntsymmetrisch omdat $90^{\circ}$ precies 2 keer in $180^{\circ}$ past. Rashan heeft het niet goed. In elke driehoek zijn de hoeken samen $180^{\circ}$.Een parallellogram is een vierhoek waarvan de beide paren overstaande zijden evenwijdig zijn.Eigenschappen van een ruit zijn:Alle zijden zijn even lang.De diagonalen delen de hoeken middendoor.De diagonalen staan loodrecht op elkaar.Alle eigenschappen van een parallellogram gelden ook voor een ruit:De ruit is puntsymmetrisch.De overstaande zijden zijn even lang.De diagonalen delen elkaar middendoor.De overstaande hoeken zijn even groot. Het punt van symmetrie is het punt waarin je spiegelt.Het ligt precies midden tussen C en C’. Zie de afbeelding hieronder.Toelichting: Als je dat punt hebt gevonden, dan kun je daarna alle andere punten erin spiegelen.De vierhoek die je dan krijgt is een rechthoekig trapezium. Zie de tekening. Je weet dat zijde AC = CD. Hierdoor weet je ook dat $\angle A = \angle D_1$Om $\angle A$ te bepalen moet je nog weten wat $\angle C_1$ is.$\angle C_1 = 32^{\circ}$, want het maakt een Z-hoek met $\angle D_2$De hoeken van $\triangle AC_1D_1$ zijn samen $180 ^\circ$Dus $\angle A + \angle D_1 + \angle C_1 = 180 ^\circ$ (hoekensom driehoek)Dit betekent dat $\angle A$ en $\angle D_1$ samen zijn: $\angle A + \angle D=180\ –\ 32 = 148^{\circ}$Omdat de hoeken allebei gelijk zijn heb je: $\angle A = \angle D=148\ :\ 2 = 74^{\circ}$ (basishoeken)$\angle A$ is dus $74 ^\circ$Je kan hoek B via drie manieren berekenen. Manier 1: met $\triangle BD_3E_2$ (dit is de snelste en handigste manier)Voor deze manier moet je eerst bepalen wat $\angle D_3$ is. $\angle D_3 = 180 ^\circ - \angle D_1 - \angle D_2$Dus $\angle D_3 =180\ – 74\ – 32 = 74^{\circ}$OF: $\angle D_3 = \angle A = 74^{\circ}$ (F-hoeken)Dit betekent dat $\angle B = 180 \degree - 68 \degree - 74 \degree = 38 \degree$Manier 2: met $\triangle ABC$ Voor deze manier moet je nog bepalen wat $\angle C$ is.$\angle C_2 = 180 \degree - 32 \degree - \angle E_1$$\angle E_1 = 180 \degree - 68 \degree = 112 \degree$Dus $\angle C_2 = 180 \degree - 32 \degree - 112 \degree = 36 \degree$$\angle C = 36 \degree + 32 \degree = 68 \degree$OF: $\angle C = \angle E_2 = 68 \degree$ (F-hoeken)Dit betekent dat $\angle B = 180 \degree - 68 \degree - 74 \degree = 38 \degree$Manier 3: met $\triangle BC_2D_{23}$Voor deze manier moet je nog bepalen wat $\angle C_2$ is.$\angle C_2 = 180 \degree - 32 \degree - \angle E_1$$\angle E_1 = 180 \degree - 68 \degree = 112 \degree$Dus $\angle C_2 = 180 \degree - 32 \degree - 112 \degree = 36 \degree$Voor deze manier moet je ook nog bepalen wat $\angle D_{23}$ is.$\angle D_3 = 180 ^\circ - \angle D_1 - \angle D_2$Dus $\angle D_3 =180\ – 74\ – 32 = 74^{\circ}$OF: $\angle D_3 = \angle A = 74^{\circ}$ (F-hoeken)Dus $\angle D_{23} = 74+32 = 106 \degree$Dit betekent dat $\angle B = 180 \degree - 106 \degree - 36 \degree = 38 \degree$ In deze opgave laat je zien dat je hoeken kunt tekenen en dat je alle tekens die je hebt geleerd kunt gebruiken.Je mag daarbij ook een passer gebruiken. (Laat dan de lijntjes die je hebt getrokken staan, gum ze niet uit.)Hoe dat moet heb je in een eerder hoofdstuk geleerd, maar het kan ook zonder passer.Je moet minstens alle gegevens die in de opgave staan ook in de figuur zetten, maar hier dus ook de tekens die je kent.Als je het goed hebt gedaan kom je voor het linker onderstaande figuur uit voor A, en het rechter onderstaande figuur uit voor B.  De vierhoek bestaat uit de vlieger KOMN en de gelijkbenige driehoek OLM.We maken gebruik van de symmetrie in de vlieger. De symmetrie-as KM van de vlieger deelt de hoeken K en M doormidden, dus:$\angle M_1$:$\angle K_1 = 90^{\circ}\ :\ 2\ =\ 45^{\circ}$ (symmetrie in de vlieger)$\angle M_1 = 180\ –\ 114\ –\ 45\ =\ 21^{\circ}$ (hoekensom driehoek)$\angle M_2$:$\angle M_2 = \angle M_1 = 21^{\circ}$ (symmetrie in de vlieger)$\angle M_3$:$\angle O_1 = \angle N = 114^{\circ}$ (overstaande hoeken)OF: $\angle O_1 = 180\ –\ 45\ –\ 21\ =\ 114^{\circ}$ (hoekensom driehoek)$\angle O_2 = 180\ –\ 114\ =\ 66^{\circ}$ (gestrekte hoek)$\angle O_2$ is de tophoek van de gelijkbenige driehoek OLM.$\angle M_3\ +\ \angle L\ =\ 180\ –\ 66\ = 114^{\circ}$ (basishoeken)$\angle M_3\ =\ \angle L\ =\ 114\ :\ 2\ =\ 57^{\circ}$ (basishoeken)