Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 11B - Vergelijkingen en ongelijkheden oefentoetsen & antwoorden

a) $D=b^2-4ac$, bij een kwadratische vergelijking van de vorm $ax^2+bx+c=0$. b)  1. Stel de formules aan elkaar gelijk. 2. Los de vergelijking op om de x-coördinaten van de snijpunten te vinden. 3. Bereken de y-coördinaten door de gevonden x in te vullen in één van de formules. 4. Controleer je antwoord: vul de x-coördinaten ook in de andere formule in en check of de uitkomsten hetzelfde zijn. c) Kijk naar het getal vóór de $x^2$ (de letter a in de formule: Kleiner dan 0 → bergparabool (bijvoorbeeld: $y=-2x^2$) Groter dan 0 → dalparabool d)   Dan zijn er twee oplossingen $x=-\sqrt{c} \vee x=\sqrt{c}$. a) $-2 \leq x \leq 1$ b) $x<-2$ of $x >2$ c) $x \leq 1$ d) $x <-2$ of $x>1$ a) De vergelijking $x^4=56$ heeft twee oplossingen. De positieve oplossing is $x=\sqrt[4]{56}\approx2,74$. De negatieve oplossing is $x=-\sqrt[4]{56}\approx-2,74$. b) De vergelijking $x^5=-10$ heeft één oplossing. De oplossing is $x=\sqrt{-10}\approx-1.58$. a) De grafiek begint eigenlijk pas vanaf H=0: anders zou het zijn alsof je de raket onder de grond schiet. b)  Daartoe moeten we weten wanneer de raket weer op de grond landt, dus de snijpunten met de x-as: waar H=0 Stel de vergelijking op: $-2,5x^2+17,5x=0$ Los op: $x(-2,5x+17,5)=0$ $x=0 \vee -2,5x+17,5=0$ $x=0 \vee -2,5x=-17,5$ $x=0 \vee x=7$ Conclusie: de raket legt 7 meter af. c)  Hiervoor moet je eerst weten waar de raket 15 m hoogte bereikt. (Zie de schets van de situatie.) We weten dan hoe lang hij boven de 15 meter is en dus of dat genoeg is (>6,5 m) om over de school heen te komen. Daarbij hoort de vergelijking: $H(x)=15$.  Los op:  $-2,5x^2+17,5x=15$ $-2,5x^2+17,5x-15=0$ Deel alles door $-2,5$ om eenvoudiger op te lossen (of gebruik direct de ABC-formule): $x^2-7x+6=0$ $(x-6)(x-1)=0$ $x=1 \vee x=6$ Dus op een afstand van 1 meter bereikt de raket 15 m hoogte (en stijgt hij verder), en op 6 meter afstand is hij weer terug op 15 m hoogte. Daar zit maar 5 meter tussen en dus kan hij niet helemaal over de school heen (dan zou er 6,5 meter tussen moeten zitten). a)  Stel $f_4$ en $k$ gelijk: $x^2+4x+7=3$ Herleid tot =0: $x^2+4x+4=0$ $(x+2)(x+2)=0$ (of met de ABC-formule) $x=2$ Coördinaten: (2,3) (kan via invullen in $f(x)$ maar je mag ook direct bedenken dat $k$ ligt op $y=3$). b) We moeten oplossen: $f_5 < k$, oftewel $x^2+5x+7 < 3$ Hierbij hoort de vergelijking: $x^2+5x+7 = 3$ Oplossen geeft:  $x^2+5x+4 = 0$ $(x+1)(x+4)=0$ (of via de ABC-formule) $x=-1 \vee x=-4$ Snijpunten zijn (-1,3) en (-4,3) Vanuit de schets bij de opgave zien we dat $f_5$ onder $k$ ligt tussen $x=-1$ en $x=-4$. Conclusie: $-4 < x<-1$. c) Vul $x=0$ in bij beide functies en vergelijk de uitkomst: $f_1(0) = 0^2+0+7 = 7$ $f_5(0) = 0^2+5\cdot 0 +7 = 7$ De y-coördinaten zijn gelijk dus het klopt: ze snijden elkaar in $x=0$. (Je had hier ook de twee functies aan elkaar gelijk kunnen stellen en het snijpunt kunnen berekenen: dan was je ook uitgekomen op het snijpunt bij $x=0$).  a)  Stel de vergelijking op:  $2x^2+20 = 14x$  Los op:  $2x^2-14x+20 = 0$ Deel beide kanten door 2 (of gebruik direct de ABC-formule): $x^2-7x+10=0$ Dubbele haakjes: $(x-2)(x-5)=0$ Dus $x=2 \vee x=5$ Coördinaten (vind je het makkelijkst door in te vullen bij de rechter functie, $7x$): (2,14) en (5,35) Schets: een dalparabool en een stijgende lijn: Oplossing: $2 < x < 5$ b)  Stel de vergelijking op: $x^2-4x+4 =9$ Los op: $x^2-4x-5=0$ $(x-5)(x+1)=0$ (Of met de ABC-formule) $x=-1 \vee x=5$ Schets: een dalparabool en een rechte lijn: Oplossing: $x \leq -1$ of $x \geq 5$ c)  Stel de vergelijking op: $-x^2 = 2x+1$ Los op: $-x^2-2x-1=0$ $x^2+2x+1=0$ $(x+1)(x+1)=0$ (of gebruik de ABC-formule) $x=-1$ (dus er is maar één oplossing) Schets: een bergparabool en een stijgende lijn: Oplossing: $x<-1$ of $x>-1$ (Let op: hier telt het raakpunt op $x=-1$ niet mee in het interval, want daar is de parabool niet kleiner dan de lijn maar eraan gelijk). a)  $y_1$ hoort bij een oneven macht en is stijgend. Dat is functie B: $y=4x^3$. $y_2$ hoort bij een dalparabool. Dat is functie A: $y=x^2$. $y_3$ hoort bij een oneven macht en is dalend. Dus $y_3$ hoort bij functie C. b)  A: de parabool heeft twee snijpunten met alle lijnen waarbij $y>0$.  Voor de x-coördinaten lossen we op: $y=16$, dus $x^2=16$ $x=-4 \vee x=4$ (let op de negatieve oplossing!) B: een oneven macht heeft altijd één snijpunt met een rechte lijn. Los op: $y=16$ $4x^3=16$  Deel eerst door 4: $x^3=4$ $x=\sqrt[3]{4}$ C: ook een oneven macht dus ook één snijpunt met een rechte lijn. Los op: $y=16$ $-0,5x^5=16$ Deel door $-0,5$: $x^5=-32$ $x=\sqrt[5]{-32}=-2$ Zie ter verduidelijking voor het aantal snijpunten ook de schets met de lijn erin: a) $2x^5+8=72$ $2x^5=64$ $x^5=32$ $x=\sqrt[5]{32}=2$ b)  $300+x^4=15$ Eerst de getallen naar één kant: $x^4=-275$ Deze vergelijking heeft geen oplossing (want een even macht kan niet negatief worden) c) $(x-5)^4-81=0$ Isoleer de macht: $(x-5)^4=81$ Gebruik hier bordjes om het getal tussen haakjes te vinden: $(x-5)=\sqrt[4]{81} \vee (x-5)=-\[4]sqrt{81}$ Dat geeft: $x-5=3 \vee x-5 = -3$ $x=8 \vee x=2$ d) $8x^2-2=0$ Isoleer de macht: $8x^2=2$ $x^2=\frac{1}{4}$ $x=\sqrt{\frac{1}{4}} \vee  x=-\sqrt{\frac{1}{4}}$ $x=\frac{1}{2} \vee x=-\frac{1}{2}$