Getal & Ruimte 12e ed deel 1 - Hoofdstuk 2 - Gelijkvormigheid oefentoetsen & antwoorden

a)  Dan kun je kruislings vermenigvuldigen, dus: $a \cdot x = b \cdot c$ Dat geeft: $x = \frac{bc}{a}$ b)  De overeenkomstige hoeken zijn gelijk.  Ook zijn de verhoudingen van de overeenkomstige zijden gelijk (en kun je er dus een verhoudingstabel mee maken). c) De kenmerken voor gelijkvormige driehoeken zijn: Twee gelijke hoeken (hh) Verhouding van de zijden (zzz) Een hoek en de verhouding van de omliggende zijden (zhz) Een rechte hoek en de verhouding van twee niet-omliggende zijden (zzr) d) Een zwaartelijn van een driehoek is een lijn door een hoekpunt van de driehoek die door het midden van de tegenoverliggende zijde gaat. a) Gebruik altijd het stuk van de tabel waar je alle getallen kent. Dus de eerste en de tweede kolom om x uit te rekenen:  3 10 x 4 Kruislings vermenigvuldigen geeft dan: $10 \times x = 3 \times 4$, dus $x = \frac{3 \times 4}{10} = 1.2$  Zo is ook $y= \frac{10\times 9}{4}= 22.5$ b)  Kruislings vermenigvuldigen en uitwerken:  $4(x+3)=3x$ (let op de haakjes!) $4x + 12 = 3x$ $x = -12$ Voor $y$ geeft dit: $6y = 4(y-1)$ $6y = 4y – 4$ $2y = -4$ $y=-2$   a) Benoem twee van de volgende paren gelijke hoeken en noteer waarom ze gelijk zijn: $\angle D = \angle A$ (Z-hoeken) $\angle E = \angle B$ (Z-hoeken) $\angle C_1 = \angle C_2$ (overstaande hoeken) b)  DE EC DC AB BC AC   Omdat je dan de derde zijde zo kunt kiezen dat die een andere lengte heeft.  Een goede schets laat twee driehoeken zien met twee zijdes met dezelfde verhouding, en een derde zijde die afwijkt. De twee driehoeken hebben dan ook een duidelijk andere vorm. Hieronder geven we een voorbeeld. De verhouding van zijdes AB:DE en BC:EF is 1:1, maar zijdes AC en DF hebben een heel andere lengte. a)  Hierbij hoort de verhoudingstabel:  $105$ $126$ $35$ $p$ Dat geeft: $p = \frac{35 \times 126}{105} = 42$.   b) Bij deze projectie hoort de verhoudingstabel:  $15$ $q$ $12$ $9$ $6$ $r$ Dat geeft:  $q = \frac{15 \times 6}{9} = 10$, en  $r = \frac{9 \times 12}{15} = 7.2$.   Om de hoogte van de boom te berekenen, moeten we de lengte weten van het lijnstuk $AE$. $AE$ is onderdeel van $\triangle ACE$. $\triangle ACE$ is gelijkvormig met $\triangle BCD$, want $\angle A = \angle B$ (allebei rechte hoeken) en $\angle C = \angle C$ (dezelfde hoek). De verhoudingen van deze driehoeken kunnen we in een verhoudingstabel opschrijven: AC AE BC BD Hierbij is $AC = 24 + 1.8 = 25.8$ (volgt uit de figuur). Ook is $BC = 1.8$ en $BD = 1.5$. Invullen geeft: 25,8 AE 1,8 1,5 Kruislings vermenigvuldigen geeft: $AE \times 1.8 = 25.8 \times 1.5$ $AE = \frac{25.8 \times 1.5}{1.8} = 21.5$. Dus de lengte van de boom is 21.5 meter. a)  Nummer eerst de hoeken A, P, X, Q en C. $\rm \angle A_{2} = \angle A_{2}$ want het is dezelfde hoek. $\angle P_{1} = \angle B$ want het zijn allebei rechte hoeken. Dus $\triangle APX \simeq \triangle ABC$. $\angle P_{1} = \angle Q_{2}$ want het zijn allebei rechte hoeken. $\angle X_{2} = \angle X_{4}$ want het zijn overstaande hoeken. Dus $\triangle APX \simeq \triangle CQX$. $\angle A_{2} = \angle C_{1}$ want het zijn z-hoeken. $\angle P_{1} = \angle D$ want het zijn allebei rechte hoeken. Dus $\triangle APX \simeq \triangle CDA$. Dus $\triangle APX$ is gelijkvormig met $\triangle ABC$, $\triangle CQX$ en $\triangle CDA$. b) Hiervoor gebruiken we dat $\triangle APX$ gelijkvormig is met $\triangle CQX$ $PX = x$ en $QX = 10 - x$ (de breedte van het zwembad min $PX$). $CQ = 25 - 8 = 17$ (de lengte van het zwembad min AP) en $AP = 8$. Dit kunnen we opschrijven in een verhoudingstabel: $AP$ $PX$ $CQ$ $QX$ Invullen geeft: $8$ $x$ $17$ $10-x$ Kruislings vermenigvuldigen geeft: $17 \times x = 8 \times (10 - x)$ $17x = 8(10-x)$ $PX = x$, dus de oplossing van de vergelijking geeft de lengte van $PX$. c) $17x = 80 - 8x$ $25x = 80$ $x = 3.2$ d) Voor deze vraag moeten we het schuine stuk $AX$ berekenen. Dit is namelijk het stuk dat Sem heeft gezwommen totdat hij de euro laat vallen bij punt $X$. $AP = 8$, dat is gegeven. $PX = 3.2$, dat hebben we bij vraag b en c berekend.   Dus met de stelling van Pythagoras kunnen we lijnstuk $AX$ als volgt berekenen: $AP^{2} + PX^{2} = AX^{2}$ $(8)^{2} + (3.2)^{2} = AX^{2}$ $AX^{2} = 74.24$ $AX = \sqrt{74.24} \approx 8.6$   a) Maak eerst een schets van $\triangle PDH$ met daarin $\triangle PAQ$: $\angle P = \angle P$ want het is dezelfde hoek. $\angle D = \angle A$ want het zijn allebei rechte hoeken. Dus $\triangle PDH \simeq \triangle PAQ$. Dit kunnen we opschrijven in een verhoudingstabel: $PD$ $DH$ $PA$ $AQ$ Invullen geeft: $5$ $4$ $3$ $AQ$ Kruislings vermenigvuldigen geeft: $AQ = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$.   b)  Maak eerst een schets van $\triangle PRA$ en $\triangle RBS$ en nummer de hoeken van R: $\angle R_{2} = \angle R_{4}$ want dat zijn overstaande hoeken. $\angle B = \angle A$ want het zijn allebei rechte hoeken. Dus $\triangle RBS \simeq \triangle RAP$. Dit kunnen we opschrijven in een verhoudingstabel: $RB$ $BS$ $RA$ $AP$ Invullen geeft: $2$ $BS$ $4$ $3$ Kruislings vermenigvuldigen geeft: $BS = \frac{3 \times 2}{4} = 1.5$.   a) $\rm \angle B = \angle B$ (want dit is dezelfde hoek). $\angle D_{2} = \angle A$ (want dat zijn allebei rechte hoeken) $ \triangle BDA \simeq \triangle BAC$ (die volgorde!). $\rm \angle C = \angle C$ (want dit is dezelfde hoek). $\angle D_{1} = \angle A$ (want dit zijn allebei rechte hoeken) $\} \triangle DCA \simeq \triangle ACB$ (die volgorde!).   b)  $AC$ is te berekenen met de stelling van Pythagoras, namelijk: $AD^{2} + CD^{2} = AC^{2}$ $6^{2} + 8^{2} = 100$ $AC^{2} = 100$ $AC = \sqrt{100} = 10$   Bij opgave a) hebben we gezien dat $\triangle DCA \simeq \triangle ACB$. Dit kunnen we opschrijven in een verhoudingstabel: $DC$ $DA$ $AC$ $AB$ Invullen geeft: $8$ $6$ $10$ $AB$ Dat geeft: $AB = \frac{10 \times 6}{8} = 7.5$.   Gebruik eerst dat lijn BD een zwaartelijn is: Dus de verhouding van $DZ:BZ = 1:2$.  Dat betekent dat $BZ = 2 \cdot 3\frac{1}{3} = 6\frac{2}{3}$. Dan is $BD = BZ + DZ = 10$. Zwaartelijn BD deelt zijde AC in twee gelijke delen, dus $AD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. Nu kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken in driehoek ABD, want $\angle A = 90 \degree$: $AD^2+AB^2=BD^2$ $6^2+AB^2=10^2$ $AB^2=100-36=64$ Dus $AB = \sqrt{6}=8$ (we hoeven niet af te ronden).