Getal en Ruimte 10e ed deel 1 - Hoofdstuk 3 - Kwadratische problemen oefentoetsen & antwoorden

a) Dan is $a > 0$. b) De top van een parabool ligt op de symmetrieas, dus zoek de symmetrie-as: die ligt midden tussen de snijpunten met de x-as in. c) Ze geven de snijpunten met de x-as: $(d, 0)$ en $(e, 0)$. d) Je moet weten of het een dal- of bergparabool is, en weten waar de top ligt. Dat is voor een schets voldoende. (Als je de grafiek echt moet tekenen heb je de coördinaten van 7 punten nodig).  e)  Voor $f$: lees uit de formule af: Dalparabool, want $a$ is 2. Top ligt op (-4, -5). Voor $g$: Dalparabool, want $a$ is 1. Top ligt op (0, 2). Schets: ($g$ is een iets bredere grafiek, maar dat hoeft niet in je schets zichtbaar te zijn): f)  Voor $c=0$ heeft de vergelijking één oplossing Voor $c<0$ heeft de vergelijking geen oplossingen (want een kwadraat kan niet kleiner zijn dan 0)   a)    x -3 -2 -1 01 2 3 y 36 16 4 04 16 36   b)  Yrsa heeft de -1 niet tussen haakjes gezet. Daardoor wordt het kwadraat van -1, -1 -1 vermenigvuldigd met 4 wordt -4. (In plaats daarvan had ze dus moeten doen: $4 \times (-1)^2 = 4 \times 1 = 4$. c)   Let op dat je assen voldoende ruim zijn om alle punten te bevatten. Je parabool moet een vloeiende lijn zijn. d) De top ligt op de symmetrieas op het punt (0,0). a) Zorg eerst voor … = 0: $x^2-12x+35=0$ Oplossen met ontbinden in factoren (de product-som methode) geeft: $(x-7)(x-5)=0$ $x-7=0$ $\vee$ $x-5=0$ $x=7$ $\vee$ $x=5$ b) $(x+3)(x+5)=3$ Werk eerst de haakjes uit: want je kunt deze niet direct oplossen, omdat er nog niet … = 0 staat. $x^2+3x+5x+15=3$ $x^2+8x+15=3$ $x^2+8x+12=0$ Oplossen met ontbinden geeft: $(x+6)(x+2)=0$ $x=-6$ $\vee$ $x=-2$ c) Eerst herleiden tot … =0: $p(p+3)-10p=18$ $p^2+3p-10p=18$ $p^2-7p-18=0$ Oplossen met ontbinden geeft: $(p+2)(p-9)=0$ $p=-2$ $\vee$ $p=9$ d) $\frac{1}{3}x^2+1\frac{1}{3}x-4=0$ Vermenigvuldig alle termen met 3 om de breuken weg te halen: $x^2+4x-12=0$ Oplossen met ontbinden in factoren geeft: $(x+6)(x-2)=0$ $x+6=0$ $\vee$ $x-2=0$ $x=-6 \vee x=2$ a) De punten A en B zijn de snijpunten op de $x$-as. Daar geldt $y$=0, dus los de vergelijking $f(x)=x^2-3x-18=0$ op. $(x+3)(x-6)=0$ $x+3=0$ $\vee$ $x-6=0$ $x=-3$ $\vee$ $x=6$ De coördinaten zijn $A(-3,0)$ en $B(6,0)$. b) Het punt C is het snijpunt met de $y$-as. Daar geldt dat $x=0$, dus dat kunnen we invullen: $f(0)= -18$ Dus $C(0, -18)$. a) Vul de verschuivingen in bij de formule van $g$:  3 omhoog, dus $y=5(x-2)^2+7-3$ 4 naar links, dus $y=5(x)=5(x-2-4)^2+4$ Dus $f(x)=5(x-6)^2+4$. Tip: Je kunt je antwoord controleren. $f(x)=5(x-6)^2+4$ verschuiven. 3 omhoog geeft $g(x)=5(x-6)^2+4+3$ en 4 naar links geeft $g(x)=5(x-6+4)^2+4+3=5(x-2)^2+7$. b) Werk de haakjes uit: $f(x)=5(x^2-12x+36)+4$ $f(x)=5x^2-60x+180+4$ $f(x)=5x^2-60x+184$.   a)  $(x+5)^2-25$ Tip: vind je dit lastig?  Bedenk dat $(a+b)$^2=$a^2$+2ab+$b^2$. Deze rekenregel gebruiken we bij kwadraatafsplitsen, maar dan juist om de termen binnen haakjes te zetten.  Bij deze opgave kies je voor $(x+5)^2$, want als je dat uitwerkt krijg je: $x^2+10x+25$.  Nu heb je 25 te veel, en die moet je er weer afhalen. Daarom is  $x^2+10x = (x+5)^2-25$. b)  $(x+\frac{1}{2})^2-1-4$ $(x+\frac{1}{2})^2 - 5$ c)  $(x-2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}-7$ (Let op: omdat $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$,  doe je $(x \, min 2\frac{1}{2})^2$, en vervolgens ook $min \,  6\frac{1}{4}$. $(x-2\frac{1}{2})^2-13\frac{1}{4}$. d)  $(x+6)^2-36+3\frac{1}{2}$  $(x+6)^2-32\frac{1}{2}$   a)  Het is een bergparabool omdat $a = -2 <0$. Controleer dat deze door (0,0) gaat: Vul in de formule in $x=0$. Dat geeft $y= 16 \cdot 0 - 2 \cdot (0)^2= 0$. Dus hij begint inderdaad in (0,0). b)  Vul $5$ in de formule in: $y=16 \cdot 5-2 \cdot (5)^2=30$. Dus 30 meter. c)  Als de bal 8 meter ver komt, moet hij dus na 8 meter op de grond landen. Dan is de grafiek dus op de x-as en daarbij hoort $y=0$.  We gaan dus $8$ invullen in de formule en laten zien dat er inderdaad $y=0$ uitkomt: $y=16 \cdot 8 - 2 \cdot 8^2 = 128 - 128 = 0 $. Het klopt dus. Tip: vind je dit lastig? Kijk dan naar onderstaande schets van de grafiek om te zien wat er gebeurt. De bal begint op x=0 met hoogte y=0, komt in het midden inderdaad maximaal 32 meter hoog en is na 8 meter weer terug op hoogte 0.    d)  Het hoogste punt is de top. Die ligt op de symmetrie-as, dus midden tussen het de snijpunten met de x-as: op $x=4$. De hoogte is de $y$, dus vul deze waarde in de formule in: $y_{top} = 16 \cdot 4 - 2 \cdot (4)^2 = 32$. Het hoogste punt is dus 32 meter.   Om de top te vinden gebruik je de snijpunten met de x-as, want de top van de grafiek ligt tussen de x-coördinaten van de snijpunten met de x-as.: Los op: $x^2-px=0$ $x(x-p)=0$ $x=0 \vee x=p$ Coördinaten van de snijpunten met de x-as zijn: $(0,0) \vee (p,0)$. De top ligt hier midden tussenin, dus los op: $\frac{0+p}{2}=4}$  Dus $p=8$. Tip: in het algemeen ligt de top op de symmetrieas, en die kun je vinden door punten te vinden die op dezelfde y-coördinaat liggen, dus waarvoor geldt: $f(a)=f(b)$. Dan ligt de top midden tussen $a$ en $b$ in: $x_{top}=\frac{a+b}{2}$. Per definitie geldt dit altijd voor de twee snijpunten met de x-as.   a)  De totale lengte van het hek is 60 meter. Beide zijkanten zijn x meter. Dus de lengte van het hek is $60 - 2 \times x$ De oppervlakte = lengte x breedte = $x (60 - 2x) = 60x - 2x^2 = -2x^2 + 60 x$ Dus $O(x) =  -2x^2 + 60x$ b) De functie voor de oppervlakte is gegeven door: $O(x) =  -2x^2 + 60x$. Van de gemeente Gouda mag de oppervlakte $\rm 112 \, m^2$ zijn. Hiervoor moeten we de volgende vergelijking oplossen: $ -2x^2 + 60x = 112$. Dat geeft: $-2x^{2} + 60x - 112 = 0$ $x^{2} - 30x - 56 = 0$ (alle termen delen door -2) $(x - 28)(x - 2) = 0$ $x = 28 \vee x = 2$ De mogelijke afmetingen zijn dus: Bij $x=2$: 2 meter breed en $60 - 2x = 60 - 2 \times 2 = 56$ meter lang. Bij $x=28$: 28 meter breed en $60 - 2x = 60 - 2 \times 28 = 4$ meter lang.   a)  Stel $y=a(x-p)^2+q$. Top $(-3,18)$, dus $y=a(x+3)^2+18$ (want bij formules van deze vorm ligt de top op punt $(p,q)$.) Door $(3,0)$, dus invullen geeft: $0=a(3+3)^2+18$ $0=a(6)^2+18$ $0=36a+18$ $36a=-18$ $a=-\frac{1}{2}$ Dus $y=-\frac{1}{2}(x+3)^2+18$. b)  Stel $y=a(x-p)^2+q$. Top $(5,5)$, dus $y=a(x+5)^2+5$  Door $(0,20)$, dus invullen geeft: $20=a(0+5)^2+5$ $20=a(5)^2+5$ $15=25a$ $a=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$ Dus $y=\frac{3}{5}(x+5)^2+5$.   a) a = 0 invullen in de formule. $h=0,25\cdot(0-2,4)^2 +0,5=1,94$ De hangmat is op 1,94 m aan de bomen vastgeknoopt. Tip: De hoogte van is bij de linker boom hetzelfde als bij de rechter boom. Voor de linker boom geldt a = 0. b) De top van de parabool $a(x-p)^2+q$ ligt op het punt $p,q$. Hier is $p=2,4$ en $q=0,5$. Dus de top ligt op $(2,4; 0,5)$. Het laagste punt van de hangmat is dus op een hoogte van 50 centimeter boven de grond. c)  De hangmat hangt op de punten waar de hoogte 1,94 m is (zoals blijkt uit opgave a). Los daarom de volgende vergelijking op: $0,25(a-2,4)^2 + 0,5=1,94$. Dat geeft:  $0,25(a-2,4)^2 =1,44$ (zorg voor de vorm: $(x-p)^2=q$) $(a-2,4)^2=5,76$ $a-2,4=\sqrt{5,76} \vee a-2,4=-\sqrt{5,76}$ $a-2,4=2,4 \vee a-2,4=-2,4$ $a=0 \vee a =4,8$ De rechter boom is op 4,8 meter afstand van de linker boom, dus de afstand tussen de bomen is 4,80 meter (in cm nauwkeurig!).   a)  Formule 1:  Deze formule heeft de vorm $y=a(x-p)^2+q$.  In deze vorm zijn de coördinaten van de top $(p, q)$. Hier zijn $a=3, p=-2$ (let op de min!) en $q=10$. Dus coördinaten: $(-2, 10)$. Formule 2: Deze formule heeft de vorm $y=a(x-d)(x-e)$.  Hier zijn $a\frac{1}{4}, d= 1, e=-5$ (let opnieuw op het min-teken!). We kunnen uit deze vorm de snijpunten met de x-as aflezen: dat zijn $(d, 0)$ en $(e, 0)$, dus in dit geval: $(1, 0)$ en $(-5, 0)$. De top ligt op de symmetrie-as, en die ligt midden tussen de snijpunten met de x-as, dus op $x=\frac{1 +-5}{2}=-2$. $y_{top}$ vinden we door $x_{top}$ in de formule in te vullen: $y_{top} = \frac{1}{4}{-2-1}{-2+5}=\frac{1}{4}\cdot -3 \cdot 3 = -2 \frac{1}{4}$. Coördinaten zijn dus: $(-2, -2\frac{1}{4}$. Formule 3: Deze formule heeft de vorm $y=a(x-p)^2+q$. (Want $(2-x)^2 = (x-2)^2$. Dat komt doordat het kwadraat van een negatief getal hetzelfde is als het kwadraat van hetzelfde positieve getal, zoals $(-2)^2 = 2^2 = 4$. We kunnen deze formule dus ook schrijven als: $y=-(x-2)^2$. Werk vooral de haakjes uit om te zien dat je hetzelfde krijgt!) In deze vorm zijn de coördinaten van de top $(p, q)$. Hier zijn $a=-1, p=-2, q=0$. Dus coördinaten: $(-2, 0)$. Formule 4:  Bij de vorm $y=ax^2+bx+c$ moet je eerst met kwadraatafsplitsen omschrijven naar de vorm: $y=a(x-p)^2+q$. Dat geeft: $y=x^2+2x-4 = (x+1)^2-1-4=(x+1)^2-5$ Dus de top ligt op $(-1,-5)$. Formule 5: De top ligt namelijk op de symmetrie-as van de grafiek, en dat is midden tussen de snijpunten met de x-as in. Bij een functie van deze vorm zijn de snijpunten eenvoudig te vinden. Voor de snijpunten met de x-as lossen we op: $f(x)=0$ $x(2x-4)=0$ $x=0 \vee 2x-4=0$ $x=0 \vee x=2$ De top ligt dus op $x=1$. Dat geeft $y=-2$. Top is dus $(1,-2)$. b) We werken steeds de haakjes uit om toe te werken naar de algemene vorm $y=ax^2 + bx + c$: Formule 1: $y=3(x+2)^2+10$ $y=3(x+2)(x+2)+10$ (of sla deze stap over en gebruik meteen dat $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$) $y=3(x^2+4x+4)+10$ (let op: de haakjes moeten blijven staan!) $y=3x^2+12x+12+10$ $y=3x^2+12x+22$ Formule 2: $y=\frac{1}{4}(x-1)(x+5)$ $y=\frac{1}{4}(x^2-x+5x-5)$ (laat de haakjes nog staan, want alles moet nog keer $\frac{1}{4}$) $y=\frac{1}{4}(x^2+4x-5)$ $y=\frac{1}{4}x^2+x-1\frac{1}{4}$ Formule 3: $y=-(2-x)^2$ $y=-(2-x)(2-x)$ $y=-(4-4x+x^2)$ $y=-x^2+4x-4$ Formule 4: deze staat reeds in de goede vorm. Formule 5:  $y=x(2x-4)$ $y=2x^2-4x$.   a)  Merk op dat in alle vormen de $a$ hetzelfde is, en in dit geval gelijk aan $1$.  We moeten nu ontbinden in factoren. Voor het product geldt $-2 \cdot -4 = 8$, en voor de som is $-2 -4 = -8$, dus de $d, e$ zijn $-2$ en $-4$: $y=(x-2)(x-4)$. b)  Voor deze vorm moeten we kwadraatafsplitsen, zodat uit het kwadraat $(x-p)^2$ de juiste termen met $x^2$ en $x$ komen. Via de waarde van het getal $q$ kunnen we het losse getal daarna juist zetten.  $p=-3$ zorgt daarvoor, want $(x-3)^2 = x^2-6x+9$. Het losse getal klopt nog niet. We moeten uitkomen op $+8$, dus er moet $1$ af: $y=(x-3)^2-1$.   a) Deze vergelijking schrijven we eerst om naar de vorm $(x+p)^2=q$. Daarna kunnen we worteltrekken om hem op te lossen. $2(x+4)^2=16$ $(x+4)^2 = 8$ Nu worteltrekken: $x +4= - \sqrt{8} \vee x+4= \sqrt{8}$ $x = -4 - 2\sqrt{2} \vee x = -4 +2\sqrt{2}$ (Vereenvoudig ook altijd de wortels in je eindantwoord!) b)  Deze vergelijking kunnen we niet ontbinden in factoren, dus moeten we eerst kwadraatafsplitsen. Dan kunnen we hem vervolgens oplossen. $(x-2)^2-4-14=0$ $(x-2)^2=18$ Nu worteltrekken en oplossen: $x-2 = \sqrt{18} \vee x-2 = -\sqrt{18}$ $x=2+2\sqrt{3} \vee x=2-2\sqrt{3}$ c) Deze vergelijking schrijven we eerst om naar de vorm $(x+p)^2=q$. Daarna kunnen we worteltrekken om hem op te lossen. $x^2 =-\frac{1}{4}$ Geen oplossing (want $x^2$ kan niet kleiner dan 0 zijn) d)  Zorg altijd eerst voor ...=0: $x^2 - x = 0$ Nu kun je op twee manieren verder. Manier 1: buiten haakjes halen geeft $x(x - 1) = 0$  $x = 0 \vee x = 1$ Manier 2: kwadraatafsplitsen: $(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}=0$ $(x-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ $x-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}} \vee x-\frac{1}{2}=-\sqrt{\frac{1}{4}}$ $x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \vee x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$ $x=1 \vee x=0$ e) Zorg voor de vorm $(x+p)^2=q$: $(x+7)^2=3$ $x+7 = \sqrt{3} \vee x+7 = -\sqrt{3}$ $x=7+\sqrt{3} \vee x =7 -\sqrt{3}$