Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 7 - Procentuele groei oefentoetsen & antwoorden

Stappenplan:1. Maak een tabel en zet de gegevens er in.2. Ga eerst terug naar stap 1 en naar het gevraagde aantal. Bedenk welk getal bij de bijbehorende pijlen komen te staan.3. Bereken met de pijlen de ontbrekende getallen in de tabel. Rond de getallen niet tussendoor af.4. Schrijf het antwoord op de vraag op.Stappenplan voor het berekenen van de procenten van procenten:1. Schrijf de procenten als factoren2. Vermenigvuldig de factoren met elkaar3. Bereken met de verkregen factor het gevraagde aantal. Bij een toename is de groeifactor groeifactor groter dan 1. Bij een afname is de groeifactor tussen 0 en 1.Gebruik de formule: $\rm Groeifactor = \frac{nieuwe \, hoeveelheid}{oude \, hoeveelheid}$.$h = b  \times g^t$ is de formule van een exponentiële formule. $b$ staat voor de beginhoeveelheid (oftewel beginwaarde) op tijdstip t=0.$t$ staat voor de tijdseenheid en is de variabele in de formule.$g$ staat voor de groeifactor per tijdseenheid. De groeifactor is altijd groter dan 0.De groeifactor voor 4 jaar is dan $g \times g \times g \times g$, oftewel $g^4$.Grote getallen (zoals 5 200 000 000) worden in het venster van de rekenmachine vaak als macht van 10 geschreven, omdat rekenen met grote getallen kan verwarrend zijn. Ook is het aflezen van grote getallen moeilijk, omdat het niet past in het venster van de rekenmachine.Een miljard is $1 \cdot 10^9$.Een duizendste is $1 \cdot 10^{-3}$.  100% - 20% = 80% Dus je moet 80% van de oude prijs betalen. 80% delen door 100 = 0,8 Dus de factor is 0,8. 75% is 0,75 en 45% is 0,450,75 · 0,45 = 0,3375 dus 33,75%0,3375 · €500 = €168,758% is 0,08 en 32% is 0,320,08 · 0,32 = 0,0256 dus 2,56%0,0256 · €700 = €17,92 İn de tabel van x en y is er wel sprake van een exponentiële groei. Het antwoord wordt telkens vermenigvuldigd met 2.In de tabel van p en q is er geen sprake van een exponentiële groei. Het antwoord wordt eerst vermenigvuldigd met 3 en vervolgens met 2. Er is dus geen regelmaat in de antwoorden.In de tabel van x en y is er wel sprake van een exponentiële groei. Het antwoord wordt telkens vermenigvuldigd met $\frac{1}{3}$. De groeifactor is 0,7.De groeifactor is kleiner dan 1, dus er is sprake van een afname. Dat betekent dat de grafiek omlaag loopt / dalend is.Er is een afname van 30% , want 100% - 30% = 70%, de vermenigvuldigingsfactor is dan 0,7. Bereken steeds de groeifactor per tijdseenheid:Van $t=0$ naar $t=1$ is de factor $2250 : 3000 = 0,75$Van $t=1$ naar $t=2$ is de factor $1688 : 2250 \approx 0,75$Van $t=2$ naar $t=3$ is de factor $1266 : 1688= 0,75$Steeds dezelfde factor, dus het is een exponentieel verband.Een kwartaal is drie maandenDe groeifactor per 1 maand = 0,75Dus per 3 maanden: $0,75 \times 0,75 \times 0,75 = 0,75^3 \approx 0,42$.Je kunt het in dit geval ook uit de tabel halen, want het gaat dan over de groeifactor van I$t=0$ naar $t=3$: $1266 : 3000 \approx 0,42$. De formule die bij de situatie hoort is $0,45 \times 2,5^t$, waarvoor A in km$^2$ en t in aantal uren is. Voor t=4 krijgt je dan: $0,45 \times 2,5^4 \approx 17,6$ km$^2$.De fout die Anouk maakt is dat ze een vermenigvuldiging gebruikt in plaats van een macht. Zij rekent dus alsof er geen exponentiële groei is. Het juiste antwoord is.4,38 · 10$^6$Toelichting: schrijf het getal altijd in de standaardvorm als één getal voor de komma. $10^{-3}=1:1000=0,001$, dus wordt het $ 8,35 \times 0,001=0,00835$.$10^6=1000000$, dus wordt het $2 \times 1000000=2000000$.$10^{11}=100000000000$, dus wordt het $19,2 \times 100000000000=1920000000000.$$3,9\times 10^{-6} = 3,9  \times 0,00 001 = 0,000 003 9$. Bij een stijging van 5,6% hoort een factor (100+5,6):100 = 1,056.Het nieuwe maandloon wordt dus 505,45 x 1,056 = 533,7552.Afgerond € 533,76 per maand.Bij een daling van 6,5% hoort een factor (100-6,5):100 = 0,935Na aanpassing krijgen we dus: 533,76 x 0,935 = 499,07.Het nieuwe minimum maandloon wordt dus € 499,07 per maand. dag 1 : 30dag 2 : 30 · 2 = 60dag 3 : 60 · 2 = 120dag 4 : 120 · 2 = 240Dus op dag 4 zijn er 240 bacteriën.De groeifactor van de groeiproces is 2. Het antwoord wordt elke keer vermenigvuldigd met 2.    Bij een jaarlijkse afname van 14% hoort de factor (100-14)  : 100 = 0,86.Bereken het aantal inwoners na 4 jaar als volgt: $\rm beginaantal \times factor^{aantal \, jaar}$Dat geeft: $8000 \times 0,86^4 = 4376,065… $ Dus het dorp telt na 4 jaar nog 4376 inwoners. (Let op dat je op hele inwoners afrondt!)Bij een jaarlijkse toename van 5% hoort factor: (100 + 5) : 100 = 1,05Dus na 10 jaar heb je een aantal inwoners van: $ 4350 x 1,05^{10} = 7085,691… $ Dus er zijn na 10 jaar 7086 inwoners.Bij een verdubbeling hoort een factor 2.Als je na 10 jaar op factor 2 wilt uitkomen, moet er gelden: (factor per jaar)$^{10}$ = 2.Zoek door proberen naar de juiste factor. Schrijf je berekening op.Bijvoorbeeld $1,07^{10}=1,967$ en $1,08^{10}=2,15$.Dus ze moeten 8% groeien. De formule is $N=b\cdot\,g^t$.Het begingetal is bij tijd=0. t=0 hoort bij b=55.De groeifactor berekenen: 100% + 5,6% = 105,6%.105,6 /100=1,056.De formule: $N=55\cdot 1,056^{t}$.1 augustus 2022, dus 4 jaar is 48 maanden.t=48 invullen in de formule.$n=55\cdot1,056^{48}\approx 752$.Ongeveer 752 miljoen gebruikers.Deze kun je vinden door steeds opeenvolgende waarden te berekenen en te kijken wanneer het boven de 110 (miljoen) komt.Neem de beginwaarde 55 en vermenigvuldig herhaald met 1,056.Na 13 keer heb je $55\cdot 1,065^{13}\approx 111$.Na 13 maanden is het punt bereikt en dus is in september 2019 het aantal gebruikers verdubbeld. Bij een procentuele afname van 12,7% kun je de groeifactor berekenen. Bedenk vervolgens dat een kwartaal de helft van de helft van een jaar is.De oude prijs komt overeen met 100%.Als het bedrag afneemt met 12,7%, dan komt de nieuwe prijs overeen met 100%-12,7%=87,3%.De groeifactor is 87,3100=0,873.Per halfjaar is de groeifactor dan $\sqrt{0,873} \approx 0,934$ Per kwartaal is de groeifactor daarvan weer de wortel: dat geeft $\sqrt{0,934} \approx 0,967$.Bepaal eerst de groeifactor per maand en vervolgens de groeifactor per kwartaal. Bedenk dat een kwartaal bestaat uit drie maanden.De oude prijs komt overeen met 100%.Als het bedrag afneemt in een maand met 6,8% dan komt de prijs na één maand overeen met 100-6,8%=93,2%De groeifactor per maand is dan 93,2100=0,932De groeifactor per twee maanden is 0,932∙0,932=0,9322De groeifactor per drie maanden, dus per kwartaal, is $0,932 \cdot 0,932 \cdot 0,932=0,932^3\approx 0,810$.Bepaal eerst de groeifactor per dag en vervolgens de groeifactor per 12 uur. Bedenk dat een dag bestaat uit 24 uren.De oude prijs komt overeen met 100%.Als de oude prijs in een dag toeneemt met 26,4% dan is de nieuwe prijs na één dag 100%+26,4%=126,4%De groeifactor per dag is dan 126,4 : 100=1,264Voor de groeifactor $g$ per 24 uur geldt $g_{24}=1,264$ (= groeifactor per dag)De groeifactor per 12 uur is dan $g_{12}=\sqrt{1,264} \approx 1,124$. Vul in de formule voor t=0:$S = 350 \times 3^0 = 350 \times 1 = 350$Dus in het begin zijn er 350 sprinkhanen.Vul in de formule voor t= 23:$S = 350 \times 3^{23} = 32 950 112 589 450$Dus $3,295 \times 10^{13}$   $7 \cdot 15 = 105$ nanometer.$105$ nanometer $= 105 \cdot 10^{-9}$ meter (een nanometer is één miljardste meter).$105 \cdot 10^-9 = 1,05 \cdot 10^{-7}$ meter.De $7$ staafjes zijn samen dus $1,05 \cdot 10^{-7}$ meter breed.We moeten het antwoord geven in nm/s, dus we rekenen eerst de maten om in nm en s.20 cm = 0,20 m = $0,20 \cdot 10^9$ m2 dagen = 2 x 24 uur x 60 minuten x 60 seconden = 172 800 secondenDeel door elkaar om nm/s te krijgen: 1157 nm/s. (Dit mag ook met een verhoudingstabel).