Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 8 - Oppervlakte oefentoetsen & antwoorden

Voor de oppervlakte van een driehoek geldt: Oppervlakte = basis x hoogte : 2 = b x h : 2basis is de groene lijnstuk, dat is de lengte van die zijde.hoogte is het rode lijnstukVoor de oppervlakte van een parallellogram geldt oppervlakte = basis x hoogte = b x hVoor de oppervlakte van een parallellogram zıjn de basis en de hoogte belangrijk. De hoogte staat altijd loodrecht op de basis. Een vierhoek waarvan de twee zijden evenwijdig lopen. De omtrek van een cirkel kun je berekenen door de diameter met π te vermenigvuldigen. De formule waarmee je de omtrek van een cirkel berekent isomtrek = π x diameterDe oppervlakte van een cirkel kun je berekenen met de formule oppervlakte = π × straal × straal = π x straal$^2$ 2,5 m = 250 cm630 dm = 0,63 hm7100 dm2^22 = 0,71 dam2^220,058 m2^22 = 58.000 mm2^22Het is belangrijk dat je goed kunt rekenen met de eenheden voor lengte en oppervlakte, want dit komt in verschillende opdrachten terug. Tip: gebruik het volgende schema als je dit nog lastig vindt (en voor oppervlaktes geldt steeds een factor 100 in plaats van 10): Van ∆PQR is: De basis PQ = 6+6 = 12De hoogte 9Dus oppervlakte ∆PQR = 12 x 9 : 2 = 54.Van de ∆XYZ is:De basis XY = 13De hoogte moeten we met de stelling van Pythagoras berekenen:zijdekwadraat864?? +11121Dus de hoogte is $\sqrt{11^2-8^2} = \sqrt{57}$Dus oppervlakte ∆XYZ = $\sqrt{57} \times 13 : 2 \approx 49,07.. = 49$Toelichting: zorg dat je doorrekent met de wortel zonder afronden. Anders krijg je geen nauwkeurig eindantwoord. De rechthoek die Saar krijgt is 13 cm breed en 17 cm hoog.De oppervlakte A van de rechthoek is 13 x 17 = 221 cm$^2$.Het deel van het parallellogram dat ervan is afgeknipt, is ook weer aangelegd. De oppervlakte van het parallellogram is 13 x 17 = 221 cm$^2$. De diameter van een cirkel met een straal van 15 cm is 15 x 2 = 30 cmDe formule voor de omtrek van een cirkel is diameter x π. diameter = 30 omtrek = 30 x π = 94,25 cmDe formule voor het berekenen van een diameter is omtrek : π.omtrek = 32,05 cm2^22diameter = 32,05 : π = 10,20 cm Bereken eerst de straal van de cirkel. Straal = diameter : 2 = 23 : 2 = 11,5 cmNu de oppervlakte. Formule: A= πr$^2$ Invullen voor r = 11,5 geeft π x 11,5$^2$ = 415,4756... cm$^2$π x 11,5$^2$ : 2 = 207,74 cm$^2$De oppervlakte van de halve cirkel is 208 cm$^2$Toelichting: Het antwoord mag op decimalen of op een geheel getal afgerond worden, omdat niet gegeven staat hoe je het moet afronden. Werkwijze: bereken de oppervlakte van de gehele vierhoek en haal hier de oppervlaktes van alle driehoekjes vanaf, zodat je de oppervlakte van de vijfhoek overhoudt.Bereken de oppervlakte van vierhoek ABCD: Opp. vierhoek: $lengte \times breedte =$, dusOpp. ABCD: $8 \times 5 = 40 \, cm^2$Bereken de oppervlakte van driehoek ANO en ODK.Opp. driehoek: $ \frac{1}{2} \times basis \times hoogte$, dusOpp. $ \triangle ODK= \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \,  cm^2$Opp. $\triangle ANO= \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \, cm^2$Merk op dat voor de driehoeken geldt:Opp. $\triangle ODK = $ opp. $\triangle CKL$, enOpp. $\triangle ANO = $ opp. $\triangle BLM$.Opp. KLMNO = opp. ABCD – opp. ODK – opp. CKL – opp. ANO – opp. BLM. Invullen geeft:Opp. $KLMNO = 40 – 4 – 4 – 3 -3 $Opp $KLMNO = 26 \, cm^2$ Voor de lengte van CE gebruik je de stelling van Pythagoras: CE = $\sqrt{21^2-7^2} \approx 19,799$.De opp. van parallellogram ABCD = $15 x 19,799 = 296,98… \approx 297$. Links in de figuur zie je een parallellogram met zijde $4 + 2 = 6$ en bijbehorende hoogte $2$.De formule is: oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte.Dus oppervlakte parallellogram = $6 x 2 = 12$ . Rechts in de figuur zie je een trapezium met evenwijdige zijden van $6$ en van $6 - 2 - 1 = 3$ lang. De hoogte is $2$.De formule is: oppervlakte trapezium = $\frac{1}{2} \times h \times (a+b)$.Dus oppervlakte trapezium = $\frac{1}{2} \times 2 \times (6 + 3) 2 = 9$.Je kunt dit op drie manieren berekenen.Manier 1:Als je van de parallellogram uit vraag a) het driehoekje met zijde $2$ en hoogte $2$ afhaalt, houd je van de oppervlakte van de parallellogram $12 - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 10$ over.De rest van de figuur bestaat dan nog uit een rechthoek van lengte $6$ en hoogte $2$.De totale oppervlakte is daarom $10 + 6 \times 2 = 22$.Manier 2:De figuur past in een rechthoek van lengte $6 + 6 = 12$ en breedte $2$.Deze rechthoek heeft oppervlakte $12 \times 2 = 24$.Maar nu zit er een driehoek te veel in: deze zit links boven en heeft zijde $2$ en hoogte $2$.De oppervlakte van de getekende figuur is daarom $24 - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 22$.Manier 3:De figuur bestaat uit de parallellogram van vraag a) plus het trapezium van vraag b) plus een driehoekje met zijde $1$ en hoogte $2$ .De totale oppervlakte is: $12 + 9 + \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 22$ . Het gebied bestaat uit een rechthoek van 16 bij 7 en een halve cirkel met straal 5. De oppervlakte van de rechthoek is dus 16×7=11216 \times 7 = 11216×7=112 en de oppervlakte van de halve cirkel is 12⋅π⋅52≈39.2699\tfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot 5^2 \approx 39.269921​⋅π⋅52≈39.2699. Dit moet bij elkaar opgeteld worden, dus dan krijgen we uiteindelijk afgerond  151,27151,27151,27 vierkante centimeter.De omtrek bestaat uit een halve cirkel en een aantal rechte stukken. Tel deze bij elkaar op: 7+16+6+12⋅π⋅10=44,717+16+6 + \tfrac{1}{2}\cdot\pi\cdot 10 = 44,717 +7+16+6+21​⋅π⋅10=51,71 cm. De oppervlakte van heel het vierkant is $8 \times 8 = 64$ vierkante centimeter. De oppervlakte van de cirkel is $\pi \times 4^2 \approx 50,26548$ vierkante centimeter.Als je dit van elkaar af haalt krijg je $64 - 50,26548 \approx 13,73$ vierkante centimeter. De figuur bestaat uit een kwart cirkel van straal 4 en een trapezium met hoogte 2 en zijden met lengte 4 en 9. Voor de oppervlakte geldt:De oppervlakte van de kwart cirkel is: $\frac{1}{4} \pi r^2 = \tfrac{1}{4}\cdot\pi\cdot 4^2$De oppervlakte van het trapezium is $\frac{1}{2} \times h \times (a+b) = \tfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot (4+9)$ Opgeteld $\approx 25,57$ vierkante centimeter. Voor de omtrek:De kwart cirkel heeft een omtrek van $\frac{1}{4} \times 2 \ pi r = \tfrac{1}{4}\cdot 2 \cdot \pi \times 4$De rechte stukken zijn $2 \times 3,5 + 2 \times 4 + 5$Opgeteld: $\approx 26,28$ centimeter.