Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 9 - Lineaire vergelijkingen oefentoetsen & antwoorden

Een lineaire grafiek is een rechte lijn. De formule van een lineaire verband is: y = ax + b:a staat voor hellingsgetal. Het hellingsgetal is de vaste toename bij een stap van 1.b is het startgetal. Dit vind je in de tabel onder de waarde 0 of door het snijpunt van het grafiek met de y-as af te lezen.x en y zijn de variabelen. Voor het oplossen van lineaire vergelijkingen kun je twee methodes gebruiken:BordjesmethodeBalansmethodeZie dit voorbeeld: Stappenplan:1. Schrijf de bijbehorende formule op.2. Bereken de x-coördinaat van het snijpunt door de vergelijkingen op te lossen. In dit geval x = 53. Bereken de y-coördinaat door het berekende x-coördinaat in één van de twee formules in te vullen. Vul in $y = -2x +10$ geeft  $-2 \times 5 + 10 = -10 + 10 = 0$,  dus $y = 0$. 4. Coördinaat  is (x-coördinaat, y-coördinaat) = (3,0)Controleer je y-coördinaat door de gevonden x-waarde in te vullen in de andere formule. In het voorbeeld van opgave c:Vul in de formule y = x - 5 in dat x = 5. Dat geeft 5 - 5 = 0, dus y = 0 en dat klopt!  Zie de afbeelding hieronder.Uit het startgetal maak je op in welk punt de lijn de y-as (verticale lijn) snijdt, dus startgetal is 8.Uit het hellingsgetal maak je op of de grafiek een stijgend of dalend lijn is.Het verschil tussen een vergelijking en een ongelijkheid is bij een vergelijking één oplossing is en bij een ongelijkheid is dat meer dan één. Vera neemt eerst links en rechts -3x. Vervolgens telt zij links en rechts 5 erbij en dat geeft 3x + 10 = 21 en dit is fout. Vera moet -5 er van af halen in plaats van optellen. Dat geeft:$3x = 11$$x = \frac{11}{3}$ Hassan telt links rechts 5x op. Vervolgens haalt hij links en rechts 10 eraf. Als laatst deelt hij beide kanten door -16.Anne telt links rechts 3x op. Vervolgens telt zij 6 erop. Tenslotte deelt zij ook beide kanten door -16. Kortom: het maakt niet uit waar je start. Als je de juiste stappen zet komt je op het juiste antwoord. Oranje is een horizontale lijn dus een formule zonder hellingsgetal en een variabele. Hierbij hoort: $y=7$.Rood is een stijgende grafiek, dus een positief hellingsgetal. Het startgetal is niet af te lezen. Het startgetal is een negatief getal dus $y=3x-5$.Blauw is een dalende grafiek, dus een negatief hellingsgetal dus $y=-x+6$.Groen: de grafiek snijdt de y-as in 3, dus het startgetal is 3. Dus $y=2x+3$. Lees uit de grafiek af dat de grafieken gelijk zijn bij $x=5$ (het snijpunt).Voor x-waardes groter dan $5$ ligt de lijn van $y=x-3$ boven die van $y=2$.Conclusie: $x>5$. Lees uit de grafiek af dat de grafieken gelijk zijn voor $x=1$.Rechts van dit punt ligt de lijn van $y=-3x$ onder die van $y=x-3$.Conclusie: $x>1$. We schrijven steeds om naar de vorm $y=ax+b$, waarbij a en b de richtingscoëfficiënt en het startgetal zijn. Zorg dat $y$ vooraan komt te staan:$4x-5y=12$$-5y=12-4x$$y=\frac{12-4x}{-5}=2\frac{2}{5}-\frac{4}{5}x$Richtingscoëfficiënt is $-{4}{5}$ en startgetal $2\frac{2}{5}$ (dit zijn de $a$ en de $b$ uit de formule $y=ax+b$)Zorg dat $y$ vooraan komt te staan:$7x+y=-8$$y=-7x-8$Richtingscoëfficiënt is $-7$ en startgetal $-8$Zorg dat $y$ vooraan komt te staan:$0,3y+12=x$$0,3y=x-12$Deel nu door $0,3$:$y=3,33x-40$Richtingscoëfficiënt is $3,33$ en startgetal $-40$. 3x+13=283x+13=283x+13=28Doe −13-13−13 aan beide kanten: 3x=153x=153x=15Deel door 3: x=5x=5x=5 16x+96=016x+96=016x+96=0Doe −96-96−96: 16x=−9616x=-9616x=−96Nu delen door 16: x=−6x=-6x=−6 48=8x−1648=8x-1648=8x−16Doe +16+16+16: 64=8x64 = 8x64=8xDelen door 888: x=8x= 8x=8  −16−x=−5x+8-16-x=-5x+8−16−x=−5x+8Doe +16+16+16: −x=−5x+24-x= -5x + 24−x=−5x+24Nu beide kanten +5x+5x+5x: 4x=244x = 244x=24Deel door 444: x=6x=6x=6 $5(4x+2)+10=140$Haakjes uitwerken: $20x+10+10=140$$20x+20 = 140$Doe $-20$ aan beide kanten: $20x=120$Deel door 20: $x=6$$6(x-2)-3x= 4(x-2)$Werk de haakjes uit: $6x-12-3x=4x-8$$3x-12 = 4x-8$Beide kanten $+12$: $3x = 4x +4$En $-4x$: $-x = 4$Dus $x=-4$$26-2(5-x)=6x$Werk de haakjes uit: $26-10+2x=6x$ $16 + 2x=6x$ Doe $-2x$: $16 = 4x$Deel door $4$: $x=4$$6x+2x-12=15-4x$$8x-12=15-4x$(8x+4x) $12x=27$ (15+12)$x=2,25$ $3(4-x)+7x=16x-2(3x-5)-6$Werk eerst de haakjes weg:$12-3x+7x=16x-6x+10-6$ (let op de plus die je krijgt van $-2 \cdot -5 = +10$)Alle $x$ naar links en alle getallen naar rechts:$-3x+7x-16x+6x = 10 -6 -12$$-6x = -8$Deel nu nog door het getal dat voor de $x$ staat:$x=\frac{-8}{-6} = 1\frac{1}{3}$ $x+2=3-1\frac{1}{3}x$Werk de breuk weg. Ook bij $1\frac{1}{3}$ kun je daarvoor gewoon $\times 3$ doen, dan krijg je $4$:$3x+6=9-4x$Alle $x$ naar links, getallen naar rechts, en herleiden:$3x+4x = 9 -6$$7x=3$Deel door het getal voor $x$:$x=\frac{3}{7}$ $35-2(5x+5)=7(4x+3)+15$Werk de haakjes weg:$35-10x-10 = 28x + 21 + 15$Herleid en breng alle $x$ naar links:$-10x - 28x = 21 + 15 -35 + 10$$-38x = 11$Deel door het getal voor $x$:$x=-\frac{11}{38}$ (die breuk kan niet simpeler) $2(x-1) - x = 6x + 30$Herleid en breng alle $x$ naar links:$2x-2 -x = 6x +30$$x-2 = 6x +30$Doe $+2$: $x = 6x +32$En $-6x$: $x-6x = 32$$-5x = 32$Deel door $-5$: $x= \frac{32}{5} = -6\frac{2}{5}$ Stap 1: stel ze gelijk.$5x-3 = x+6$Stap 2: los op om $x$ te vinden.$5x-3 = x+6$$5x-x=6+3$$4x=9$$x=\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$Stap 3: vul de gevonden $x$ in bij een vergelijking om de y-coördinaat te vinden: $y=x+6 = 2\frac{1}{4}+6 = 8\frac{1}{4}$Stap 4: Controleer: invullen in $y=5x-3$ geeft $5 \times 2\frac{1}{4} -3 = 11\frac{1}{4} - 3 = 8\frac{1}{4}$. Klopt.Conclusie: snijpunt is $(2\frac{1}{4}, 8\frac{1}{4})$. Stel gelijk en los op: −16+3x=19−2x-16+3x = 19-2x−16+3x=19−2xAlle xxx naar links en getallen naar rechts, en herleiden:−16+3x+2x=19-16+3x +2x = 19−16+3x+2x=195x=19+165x = 19 + 165x=19+165x=355x = 355x=35 Deel door het getal voor xxx:x=7x = 7x=7Schets de grafieken: Rechts van het snijpunt ligt de lijn y=−16+3xy=-16+3xy=−16+3x boven de lijn y=19−2xy=19-2xy=19−2x, dus het antwoord is: x>7x > 7x>7. Stel gelijk en los op:−13=2x−4(1−4x)-13 = 2x-4(1-4x)−13=2x−4(1−4x)Haakjes uitwerken: −13=2x+16x−4-13 = 2x+16x-4−13=2x+16x−4 Herleid en zorg dat alle xxx links staan: −13= 18x−4-13 =  18x -4−13= 18x−4−18x=9-18x = 9−18x=9Deel door het getal voor de xxx: x=−12x = -\frac{1}{2}x=−21​.Schets de lijnen: y=13y=13y=13 is een horizontale lijnWerk de haakjes van de andere lijn uit om deze goed te kunnen schetsen: 2x−4(1−4x)=2x+16x−4=18x−42x-4(1-4x) = 2x +16x - 4 = 18x-42x−4(1−4x)=2x+16x−4=18x−4Rechts van het snijpunt ligt de lijn y=18x−4y=18x-4y=18x−4 boven de lijn y=13y=13y=13, dus de oplossing is x>−12x > -\frac{1}{2}x>−21​. Stel gelijk en los op:4x+2=3+5x4x+2 = 3 +5x4x+2=3+5xxxx naar links, getallen naar rechts: 2−x=32-x = 32−x=3−x=1-x = 1−x=1Deel  door het getal voor de xxx: x=1x = 1x=-1.Schets de grafieken: Links van het snijpunt ligt de lijn y=4x+2y=4x+2y=4x+2 onder de lijn y=3+5xy=3+5xy=3+5x, dus de oplossing is: x<1x < 1x<1. Stel gelijk en los op:12(x−2)=x−3(4+x)12(x-2) = x - 3(4+x)12(x−2)=x−3(4+x)Haakjes uitwerken en herleiden: 12x−24=x−12−3x12x-24 = x - 12 -3x12x−24=x−12−3x12x−24=−2x−1212x-24 = -2x - 1212x−24=−2x−12Alle xxx naar links en getallen naar rechts: 12x+2x=−12+2412x + 2x = -12 + 2412x+2x=−12+2414x=1214x = 1214x=12Nu nog delen door het getal voor de xxx:x=1214x = \frac{12}{14}x=1412​, dus x=67x=\frac{6}{7}x=76​.Schets de grafieken. Daartoe werken we eerst de haakjes uit: 12(x−2)=12x−2412(x-2) = 12x-2412(x−2)=12x−24x−3(4+x)=−2x−12x - 3(4+x) = -2x -12x−3(4+x)=−2x−12Schets wordt: Rechts van het snijpunt ligt de lijn y=12(x−2)y=12(x-2)y=12(x−2) boven de lijn y=x−3(x−4)y=x-3(x-4)y=x−3(x−4), dus de oplossing is: x>67x>\frac{6}{7}x>76​. Ze kan maximaal 95 euro besteden, dus de kosten moeten kleiner dan 95 euro zijn. Ongelijkheid is dus: $1,75x+70 < 95$Stel gelijk en los op:$1,75x+70 = 95$Alle $x$ links en getallen rechts:$1,75x = 25$Deel door getal vóór $x$:$x = 14,28…$Schets: Links van het snijpunt ligt de lijn $1,75x+70$ onder de lijn $95$, dus de oplossing is $x < 14,28…$Ze kan alleen hele rondjes rijden, dus maximaal 14 rondjes. Druk eerst $y$ uit in $x$:$y-4 = 4x$ geeft $y = 4x+4$De tweede lijn staat al goed.Nu kun je gelijkstellen en oplossen:$4x+4 = 2 + x$$3x=-2$$x=-\frac{2}{3}$Vul in om de $y$ te vinden (mag bij beide vergelijkingen):$y=2+x$ geeft $y=2-\frac{2}{3}=1\frac{1}{3}$Dus oplossing: $(-\frac{2}{3},1\frac{1}{3})$. Druk eerst $y$ uit in $x$.$2y=x+2$ geeft $y=\frac{1}{2}x+1$$2x-y=2$ geeft $-y = 2–2x$, dus $y=2x-2$Stel de formules gelijk:$\frac{1}{2}x+1 = 2x-2$Vermenigvuldig met $2$ om eenvoudiger te kunnen oplossen: $x+2 = 4x-4$$-3x = -6$$x = 2$Vul in om de $y$ te vinden. We doen dit bij de tweede vergelijking (maar je mag ook de eerste kiezen): $y = 2x -2 = 2 \times 2 - 2 = 2$Dus snijpunt is $(2,2)$. Bij het snijpunt met de y-as is $x=0$. Dat vullen we in de vergelijking van de lijn in om y te vinden:$0 - 2y = 8$$-2y = 8$$y = \frac{8}{-2} = -4$.Coördinaten van het snijpunt zijn dus $(0, -4)$.We weten al de y-coördinaat van het punt, dus die kunnen we invullen in de vergelijking van de lijn om $p$ te vinden:$k: x-2y = 8$$x-2 \cdot 10 = 8$$x - 20 = 8$$x=28$Dus $p=28$.We hebben per lijn twee punten nodig waar we de lijn doorheen kunnen trekken. Zorg eerst voor tabellen. De waardes bij $x=0$ en $y=0$ zijn het eenvoudigst te vinden, dus zorg altijd voor een tabel met deze vorm:$x$$0$$y$$0$In dit geval krijgen we bij $k$ de volgende tabel:$x$$0$$8$$y$$-4$$0$En bij $l$:$x$$0$$2$$y$$1$$0$Nu kun je de grafiek tekenen, met de gevonden punten. Zie hieronder. (Het maakt niet zo veel uit van waar tot waar je assen lopen, maar zorg uiteraard dat de oorsprong en de snijpunten met de assen in je grafiek staan).  $A: q = 15 - 2p$ en vul op de plek van $p$ formule $B$ in: $p = -3r +4$. $q  = 15 - 2(-3r+4)$ (Let op de haakjes!)Haakjes uitwerken geeft: $q= 15 +6r - 8 = 7 +6r$Dus $A: q = 7 + 6r$. $A : y = 1\frac{1}{2}t - 8$ en vul op de plek van $t$ formule $B$ in: $t = 12 + 6x$.$y = 1\frac{1}{2}(12+6x) - 8$Haakjes uitwerken geeft: $y=18 + 9x - 8 = 10 + 9x$Dus $A: y = 10 + 9x$.