Kern Wiskunde deel A+B - Hoofdstuk 7 - Meetkundig redeneren oefentoetsen & antwoorden

a)Als twee evenwijdige lijnen snijden met een andere lijn, ontstaan gelijke hoeken. In onze schets hieronder zijn dus de hoek bij D en bij A gelijk.Omgekeerd geldt ook dat als $\angle A = \angle D$, dat de twee lijnen (in onze schets de rode lijnen) evenwijdig zijn. b) Als een figuur wordt vergroot, worden alle afmetingen met hetzelfde getal vermenigvuldigd: de factor.c) Wanneer de afmetingen van een figuur met een factor $k$ worden vermenigvuldigd, wordt de oppervlakte $k^2$ keer zo groot en de inhoud $k^3$ keer zo groot.d) Ja, want de hoekensom van een driehoek is altijd hetzelfde, namelijk 180 graden. Daarom moet de derde hoek, als de eerste twee hoeken gelijk zijn, ook altijd gelijk zijn.Kijk bijvoorbeeld naar onderstaande twee driehoeken. Als $\angle A = \angle D = 30 \degree$, en $\angle B = \angle E = 90 \degree$, dan moet ook $\angle C = \angle F = 180 - 90 - 30 = 60 \degree$ zijn. Werkwijze:kijk eerst welke hoeken even groot zijn. Je mag dit ook opmeten. Dan weet je vervolgens ook welke zijden overeenkomstig zijn. Tip: je kunt al meteen zien dat de scherpe hoek (hier met het rode symbool) in beide driehoeken even groot is, dus dat zijn overeenkomstige hoeken. a)  Vierhoek ABCD is een vergroting van vierhoek HIJK. De vergrotingsfactor is 6. Alle zijdes worden dus zes keer zo groot.Dat betekent dat de omtrek ook zes keer zo groot wordt.b) De vorm en de hoeken van figuren ABC en XYZ zijn gelijkFiguur XYZ is dus een vergroting van figuur ABCDe lengtematen van XYZ zijn kleiner dan van figuur ABCDe vergrotingsfactor is dus kleiner dan 1.  Omdat je dan de derde zijde zo kunt kiezen dat die een andere lengte heeft. Een goede schets laat twee driehoeken zien met twee zijdes met dezelfde verhouding, en een derde zijde die afwijkt. De twee driehoeken hebben dan ook een duidelijk andere vorm.Hieronder geven we een voorbeeld. De verhouding van zijdes AB:DE en BC:EF is 1:1, maar zijdes AC en DF hebben een heel andere lengte.Er moeten dus altijd drie zijden dezelfde verhouding hebben om gelijkvormigheid van driehoeken aan te tonen. a) $\angle G_1$ = 180⁰  - 90⁰ = 90⁰ (gestrekte hoek $G_{12}$)$\angle H_1$ =180⁰  - 90⁰  - 43⁰  = 47⁰  (hoekensom driehoek $DGH$)b) $\angle E_1$ = 180⁰  - 43⁰  - 62⁰ = 75⁰  (hoekensom driehoek $DEF$)$\angle E_3$ = $\angle$E₁ = 75⁰  (overstaande hoeken)$\angle E_2$ = 180⁰  - $\angle E_1$ = 180⁰  - 75 ⁰ = 105⁰  (gestrekte hoek)c) $\angle H_3$ = $\angle E_2$ = 105⁰  (Z-hoeken)$\angle H_2$ = 180⁰  -$\angle H_1$ - $\angle H_3$ = 180⁰  - 47⁰  - 105⁰  = 28⁰  (gestrekte hoek)Bij deze opgave zijn meerdere oplossingsstrategieën mogelijk om tot het juiste antwoord te komen. Bijvoorbeeld ook: hoekensom in de vierhoek H₃I₂ FE₁. $\angle ADE = \angle BED $ (Z-hoeken)$\angle ADE = \angle BDE$ (bissectrice)Hieruit volgt dat $\angle BED = \angle BDE$. Om de hoogte te berekenen moeten we zijde AE berekenen. Voor het gemak schetsen we eerst de gelijkvormige driehoeken naast elkaar. Zijde AC = AB + BC = 25,8 m.  De verhoudingen van deze driehoeken kunnen we in een verhoudingstabel opschrijven:ACAEBCBDInvullen van de lengtes geeft:25,8AE1,81,5Kruislings vermenigvuldigen geeft:$AE \times 1,8 = 25,8 \times 1,5$$AE = \frac{25,8 \times 1,5}{1,8} = 21,5$.Dus de lengte van de boom is 21,5 meter. Er zijn meerdere manieren om dit uit te rekenen. Je mag dus ook een andere berekening gebruiken.De diameter van de gele ring is 3 keer zo groot als die van de kleine zwarte cirkel, dus de oppervlakte is 9 keer zo groot (als de zwarte cirkel er niet vanaf gehaald wordt).De diameter van de zwarte ring is 5 keer zo groot als die van de kleine zwarte cirkel, dus de oppervlakte van heel de figuur is $5^2=25$ keer zo groot.De zwarte ring is dus de oppervlakte van heel de figuur min alles wat in de gele cirkel zit, dus $25-9 = 16$.De zwarte cirkel past dus 16 keer in de zwarte ring qua oppervlakte. a) Bij een vergrotingsfactor van $6$ wordt het oppervlakte $6^2=36 \times$ zo groot. Dus opp. $A_6B_6C_6$ = $vergrotingsfactor^2$ x opp. $A_1B_1C_1$ =$\rm 36 \times 5,75 = 207 \, cm^2$b) Bij deze vraag gaan we terugrekenen naar de vergrotingsfactor als de oppervlakte bekend is. We rekenen allereerst uit dat de oppervlakte $92 : 5,75 = 16 \times$ zo groot is geworden. Nu kijken we hoeveel groter dan de zijden moeten zijn.Bedenk dat als de afmetingen met een factor $k$ worden vermenigvuldigd, de oppervlakte $k^2$ keer zo groot wordt. $k^2$ is hier 16, dus dan moet $k=4$ zijn.De zijdes zijn dus 4 keer zo groot bij driehoek DEF. Maak een tabel en zet de overeenkomende zijden erin. AB = 8,2AE = 7,6BE = 6,1DC = 2,9DE = 2,7CE = 2,1Ga na of de tabel een verhoudingstabel is.Reken de verhoudingen uit:8,2 : 2,9 = 2,827…7,6 : 2,7 = 2,620…6,1 : 2,1 = 2,904…De verhoudingen zijn niet gelijk, dus het zijn geen gelijkvormige driehoeken. a) $\triangle ADB$ is gelijkvormig met $\triangle ABC$, want: $\angle A = \angle A$ (dezelfde hoek)$\angle D_1 = \angle B$ (allebei rechte hoeken)Dus de driehoeken zijn gelijkvormig (dit is gelijkvormigheidskenmerk hh).b) Maak een verhoudingstabel:$AD$$AB$$AB$$AC$Invullen geeft:$AD$$8$$8$$17$Kruislings vermenigvuldigen geeft: $AD = \frac{8 \times 8}{17} \approx 3,8$.