Toets Wiskunde

Kern Wiskunde deel A+B - Hoofdstuk 7 - Meetkundig redeneren oefentoetsen & antwoorden

1e editie

Deze toets behandelt de volgende onderwerpen: Gelijkvormigheid, oppervlakte, inhoud en vergrotingen, gelijkvormige driehoeken.

Kern Wiskunde deel A+B
Toets Wiskunde
Kern Wiskunde deel A+B
Online maken
Toets afdrukken
a)Als twee evenwijdige lijnen snijden met een andere lijn, ontstaan gelijke hoeken. In onze schets hieronder zijn dus de hoek bij D en bij A gelijk.Omgekeerd geldt ook dat als $\angle A = \angle D$, dat de twee lijnen (in onze schets de rode lijnen) evenwijdig zijn. b) Als een figuur wordt vergroot, worden alle afmetingen met hetzelfde getal vermenigvuldigd: de factor.c) Wanneer de afmetingen van een figuur met een factor $k$ worden vermenigvuldigd, wordt de oppervlakte $k^2$ keer zo groot en de inhoud $k^3$ keer zo groot.d) Ja, want de hoekensom van een driehoek is altijd hetzelfde, namelijk 180 graden. Daarom moet de derde hoek, als de eerste twee hoeken gelijk zijn, ook altijd gelijk zijn.Kijk bijvoorbeeld naar onderstaande twee driehoeken. Als $\angle A = \angle D = 30 \degree$, en $\angle B = \angle E = 90 \degree$, dan moet ook $\angle C = \angle F = 180 - 90 - 30 = 60 \degree$ zijn. Werkwijze:kijk eerst welke hoeken even groot zijn. Je mag dit ook opmeten. Dan weet je vervolgens ook welke zijden overeenkomstig zijn. Tip: je kunt al meteen zien dat de scherpe hoek (hier met het rode symbool) in beide driehoeken even groot is, dus dat zijn overeenkomstige hoeken. a)  Vierhoek ABCD is een vergroting van vierhoek HIJK. De vergrotingsfactor is 6. Alle zijdes worden dus zes keer zo groot.Dat betekent dat de omtrek ook zes keer zo groot wordt.b) De vorm en de hoeken van figuren ABC en XYZ zijn gelijkFiguur XYZ is dus een vergroting van figuur ABCDe lengtematen van XYZ zijn kleiner dan van figuur ABCDe vergrotingsfactor is dus kleiner dan 1.  Omdat je dan de derde zijde zo kunt kiezen dat die een andere lengte heeft. Een goede schets laat twee driehoeken zien met twee zijdes met dezelfde verhouding, en een derde zijde die afwijkt. De twee driehoeken hebben dan ook een duidelijk andere vorm.Hieronder geven we een voorbeeld. De verhouding van zijdes AB:DE en BC:EF is 1:1, maar zijdes AC en DF hebben een heel andere lengte.Er moeten dus altijd drie zijden dezelfde verhouding hebben om gelijkvormigheid van driehoeken aan te tonen. a) $\angle G_1$ = 180⁰  - 90⁰ = 90⁰ (gestrekte hoek $G_{12}$)$\angle H_1$ =180⁰  - 90⁰  - 43⁰  = 47⁰  (hoekensom driehoek $DGH$)b) $\angle E_1$ = 180⁰  - 43⁰  - 62⁰ = 75⁰  (hoekensom driehoek $DEF$)$\angle E_3$ = $\angle$E₁ = 75⁰  (overstaande hoeken)$\angle E_2$ = 180⁰  - $\angle E_1$ = 180⁰  - 75 ⁰ = 105⁰  (gestrekte hoek)c) $\angle H_3$ = $\angle E_2$ = 105⁰  (Z-hoeken)$\angle H_2$ = 180⁰  -$\angle H_1$ - $\angle H_3$ = 180⁰  - 47⁰  - 105⁰  = 28⁰  (gestrekte hoek)Bij deze opgave zijn meerdere oplossingsstrategieën mogelijk om tot het juiste antwoord te komen. Bijvoorbeeld ook: hoekensom in de vierhoek H₃I₂ FE₁. $\angle ADE = \angle BED $ (Z-hoeken)$\angle ADE = \angle BDE$ (bissectrice)Hieruit volgt dat $\angle BED = \angle BDE$. Om de hoogte te berekenen moeten we zijde AE berekenen. Voor het gemak schetsen we eerst de gelijkvormige driehoeken naast elkaar. Zijde AC = AB + BC = 25,8 m.  De verhoudingen van deze driehoeken kunnen we in een verhoudingstabel opschrijven:ACAEBCBDInvullen van de lengtes geeft:25,8AE1,81,5Kruislings vermenigvuldigen geeft:$AE \times 1,8 = 25,8 \times 1,5$$AE = \frac{25,8 \times 1,5}{1,8} = 21,5$.Dus de lengte van de boom is 21,5 meter. Er zijn meerdere manieren om dit uit te rekenen. Je mag dus ook een andere berekening gebruiken.De diameter van de gele ring is 3 keer zo groot als die van de kleine zwarte cirkel, dus de oppervlakte is 9 keer zo groot (als de zwarte cirkel er niet vanaf gehaald wordt).De diameter van de zwarte ring is 5 keer zo groot als die van de kleine zwarte cirkel, dus de oppervlakte van heel de figuur is $5^2=25$ keer zo groot.De zwarte ring is dus de oppervlakte van heel de figuur min alles wat in de gele cirkel zit, dus $25-9 = 16$.De zwarte cirkel past dus 16 keer in de zwarte ring qua oppervlakte. a) Bij een vergrotingsfactor van $6$ wordt het oppervlakte $6^2=36 \times$ zo groot. Dus opp. $A_6B_6C_6$ = $vergrotingsfactor^2$ x opp. $A_1B_1C_1$ =$\rm 36 \times 5,75 = 207 \, cm^2$b) Bij deze vraag gaan we terugrekenen naar de vergrotingsfactor als de oppervlakte bekend is. We rekenen allereerst uit dat de oppervlakte $92 : 5,75 = 16 \times$ zo groot is geworden. Nu kijken we hoeveel groter dan de zijden moeten zijn.Bedenk dat als de afmetingen met een factor $k$ worden vermenigvuldigd, de oppervlakte $k^2$ keer zo groot wordt. $k^2$ is hier 16, dus dan moet $k=4$ zijn.De zijdes zijn dus 4 keer zo groot bij driehoek DEF. Maak een tabel en zet de overeenkomende zijden erin. AB = 8,2AE = 7,6BE = 6,1DC = 2,9DE = 2,7CE = 2,1Ga na of de tabel een verhoudingstabel is.Reken de verhoudingen uit:8,2 : 2,9 = 2,827…7,6 : 2,7 = 2,620…6,1 : 2,1 = 2,904…De verhoudingen zijn niet gelijk, dus het zijn geen gelijkvormige driehoeken. a) $\triangle ADB$ is gelijkvormig met $\triangle ABC$, want: $\angle A = \angle A$ (dezelfde hoek)$\angle D_1 = \angle B$ (allebei rechte hoeken)Dus de driehoeken zijn gelijkvormig (dit is gelijkvormigheidskenmerk hh).b) Maak een verhoudingstabel:$AD$$AB$$AB$$AC$Invullen geeft:$AD$$8$$8$$17$Kruislings vermenigvuldigen geeft: $AD = \frac{8 \times 8}{17} \approx 3,8$.

Deze toets bestellen?

Voordeligst
Lidmaatschap ToetsMij
€ 12,99/mnd
  • Snel nog even wat toetsen oefenen? Kies dan onze meest flexibele optie.
  • Je kunt maandelijks opzeggen.
  • Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard
3 maanden ToetsMij
€ 12,99
€ 10,99/mnd
  • Voordelig en flexibel. Ideaal als je maar een paar maanden toetsen hoeft te gebruiken.
  • Betaal per kwartaal en bespaar hiermee 2 euro per maand.
  • Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard
1 jaar ToetsMij
€ 12,99
€ 7,50/mnd
  • Favoriete keuze van meer dan 70% van de gebruikers.
  • Betaal slechts 90 euro per jaar en bespaar hiermee 65 euro.
  • Geniet van een volledig jaar toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard

Dit zeggen leerlingen en ouders

10

Cijfers omhoog

Onze zoon had in februari zeker 12 minpunten. Hij is gestart met oefenen via Toets mij en heeft een geweldige eindsprint getrokken en afgelopen week bijna het onmogelijke waargemaakt. Er zijn nog maar 2 minpunten over en nog niet alle toetsen zijn terug. Het heeft onze zoon enorm geholpen, omdat er breed getoetst wordt en de vraagstelling, zoals van hem begrepen, overeenkomt met de toets. Als je de oefentoetsen goed kunt maken, beheers je de stof echt goed!

AP
9.0

Fijn dat leerlingen alvast een keer een toets kunnen oefenen die eruit ziet zoals op school.

Wij hebben sinds kort Toetsmij, omdat onze dochter het erg lastig heeft met Wiskunde. Op deze manier kan ze het hoofdstuk oefenen met een toets die qua vraagstelling overeenkomt met de toetsen op school. Nu kan ze dit dus eerst oefenen voordat ze de echte toets moet doen. Als docent Engels die werkt met Of Course en All Right kan ik bevestigen dat de toetsen grotendeels overeenkomen met de vraagwijze van de methode zelf. Dat is dus heel fijn voor leerlingen om te oefenen. We hadden heel even een dingetje met het nakijken, want de uitwerkingen werden niet goed weergegeven. Even een mailtje en binnen een dag reactie en ICT ging meteen aan de slag met het herstellen van de uitwerkingen. Super contact, goede dienstverlening! Aanrader!

Lelani van den Berg
10

Zéér tevreden!!

Lid geworden voor mijn zoon in leerjaar 1 van (toen 13) inmiddels 15. Hij zit nu in leerjaar 3 HAVO. Elk boek is makkelijk te vinden en alsmede mailt met een probleem omdat hij Duits krijgt uit een boek van leerjaar 2 word dit zelfs op zondag binnen een half uur opgelost en toegevoegd aan ons account! Zo’n toffe service zie je niet vaak meer! Dus wij zijn zéér tevreden. Sinds we het nu weer gebruiken (tijdje niet gebruikt) scoort hij weer voldoendes en zelf voor wiskunde een 8.8!

Linda Ockers

Zoek in meer dan 10.000 toetsen

Echte toetsvragen, precies aansluitend op jouw lesmethode en leerjaar. Voor klas 1 t/m 6 van vmbo-t t/m gymnasium.

Ik zit in het
en doe
ik wil beter worden in