Nova Natuurkunde MAX deel B - Hoofdstuk 6 - Spiegels en lenzen oefentoetsen & antwoorden

a) De spiegelwet is de wet die gebruikt wordt om lichtstralen te construeren die op een spiegel vallen. Deze volgen de zogenaamde spiegelwet en die luidt: $\angle i = \angle t$ ofwel de hoek van inval ($\angle i$) is gelijk aan de hoek van hoek van terugkaatsing ($\angle t$), waarbij de hoek wordt genomen ten opzichte van de normaal (de hulplijn die loodrecht op het oppervlakte van de spiegel staat).b) Alle lijnen die je gebruikt om beelden te construeren noem je constructiestralen. In een constructiestraal wordt ook de richting van de straal meegenomen. Die wordt weergegeven door een pijl in de straal.c) De lenzenformule luidt: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b}$, waarbij$f$ is de brandpuntsafstand in meter (m).$v$ is de voorwerpafstand in meter (m).$b$ is de beeldafstand in meter (m).Bij deze afstanden wordt de afstand gemeten van het punt op de hoofdas tot het midden van de lens. d) Diffuse terugkaatsing betekent dat licht van een lichtbron in allerlei richtingen weerkaatst. Een mooi voorbeeld is de zon die schijnt op een witte muur, doordat de lichtstralen naar meerdere kanten weerkaatst wordt de gehele kamer verlicht. a) Dit is een divergerende lens.Beide kanten zijn hol en daarmee maakt dit een holle lens. Holle lenzen zijn divergerend.Een divergerende lens zorgt ervoor dat de evenwijdig inkomende lichtstralen naar buiten worden afgebogen.b) Dit is een convergerende lens. De linker bolling heeft een sterkere bolling dan de rechter “holling”. Daarmee kun je zeggen dat de lens een holbolle lens is. En een holbolle lens heeft de eigenschappen van een bolle lens.Bolle lenzen zijn convergerend.Een convergerende lens zorgt ervoor dat de evenwijdig inkomende lichtstralen naar binnen worden afgebogen.c) Dit is een convergerende lens. Beide kanten zijn bol, het is een dubbelbolle lens. En dubbelbolle lenzen zijn altijd convergerend.Een convergerende lens zorgt ervoor dat de evenwijdig inkomende lichtstralen naar binnen worden afgebogen. a) Een reëel beeld dat kan worden geprojecteerd. Het beeld is omgekeerd. Zie onderstaande tekening. b) Een virtueel beeld dat niet omgekeerd wordt. Zie onderstaande tekening.c) Een reëel beeld dat even groot is als het voorwerp, maar wel omgekeerd is. Zie onderstaande tekening. Deze vraag kun je op twee manieren oplossen. De eerste is met gebruik van de spiegelwet en de andere is met behulp van het construeren van een beeld en dan controleren of Jan het beeld kan zien in de spiegel.De spiegelwet luidt: hoek van inval is gelijk aan hoek van terugkaatsing. Omdat de lichtstralen reflecteren op zijn voeten die dan via de spiegel naar zijn ogen gaan, moet je een lichtstraal tekenen vanuit zijn voeten.Met de hoek van inval kun je dan een terugkaatsende lichtstraal tekenen en kijken waar deze terecht komt op het lichaam van Jan. Om de terugkaatsende lichtstraal te kunnen tekenen zul je de hoek van inval eerst moeten bepalen met een geodriehoek. Die hoek meet je ten opzichte van de normaal (de stippellijn). De hoek is 53o.De spiegelwet zegt dat dan de hoek van terugkaatsing ook 53o moet zijn. Met je geodriehoek aan de andere kant kun je nu de terugkaatsende lichtstraal tekenen. Je ziet dat de terugkaatsende lichtstraal niet in de ogen terecht komt maar flink daar buiten. Dus Jan zal op een krukje moeten gaan staan om zijn voeten in de spiegel te kunnen zien.Een andere en iets makkelijker methode is met behulp van een beeld van Jan. Hierdoor hoef je niet te gokken met hoeken. Je kunt vrij snel zien wat Jan allemaal in de spiegel kan zien.Het spiegelbeeld van Jan staat achter de spiegel op precies dezelfde afstand als dat Jan voor de spiegel staat. Je meet dus met je geodriehoek de afstand van Jan tot de spiegel (let op: je moet dit wel loodrecht doen op de spiegel, denk aan de spiegelwet; als de lichtstraal op 90o invalt zal het ook op 90o terugkaatsen. Zijn oog staat op precies 7 cm (in de tekening) voor de spiegel dus komt het spiegelbeeld ook 7 cm achter de spiegel (houd je er wel rekening mee dat je meet vanaf de voorkant van de spiegel, het reflecterende deel…). Teken nu Jan achter de spiegel op 7 cm. Teken nu de lichtstralen die van de boven- en onderkant van de spiegel in Jan zijn ogen komen. Denk daarbij dat de pijl dus in de richting van Jan gaan.En trek de pijlen nu door naar het spiegelbeeld (stippellijn omdat het geen “echte” lichtstralen zijn achter de spiegel). Je ziet dat Jan dus alles boven de knieën ziet en geen voeten kan waarnemen. Want alles tussen de gestippelde lijnen kan Jan waarnemen. a) Gegeven is dat $S = -2.0 \, dpt$Gegeven: $S = -2.0 \, dpt$Gevraagd: Brandpuntafstand $f$Formule: $S = \frac{1}{f} \rightarrow f = \frac{1}{S}$Berekening: $f = \frac{1}{S} = \frac{1}{-2.0} = -0.50$Conclusie: $f = -0.50 \, m$. De min duidt op een holle lens, een negatieve lens, voor iemand die bijziend is.   b) De rode lichtstraal breekt door een lens heen. Je moet hiervoor de wet van Snellius toepassen: $\frac{\sin{i}}{\sin{r}} = \frac{n_{glas}}{n_{lucht}}$, de stappen die je maakt zijn:Stap 1: teken de normaal (vanuit middelpunt van de bolling naar raakpunt lichtstraal op de lens)Stap 2: meet met je geodriehoek de hoek van inval (dit is de hoek tussen de lichtstraal en de normaal. In deze som $i = 15 \degree$ Stap 3: Bereken met de wet van Snellius de hoek van breking:Gegeven: $n_{glas}$ is 1,51 (tabel 18 Binas); $n_{lucht}$ is 1 (tabel 18 Binas, afgerond); i$ is 15o.Gevraagd: hoek van breking $r$ Formule: $\frac{\sin{i}}{\sin{r}} = \frac{n_{glas}}{n_{lucht}}$Berekening: $\frac{\sin{15}}{\sin{r}} = \frac{1.51}{1} \rightarrow \frac{0.259}{\sin{r}} = 1.51 \rightarrow \sin{r} = \frac{0.259}{1.51} = 0.172$$r = \sin^{-1}{0.172} = 9.88 \degree$Conclusie: $r = 9.9 \degree$Stap 4: Teken de lichtstraal onder een hoek van 9,9o ten opzichte van de normaal.Stap 5: Teken een normaal loodrecht op het vlakke gedeelte en meet de hoek van inval. Die hoek is $i = 20 \degree$.Stap 6: Herhaal stap 3, maar nu met de andere hoek en besef dat de lichtstraal nu van binnen naar buiten gaat en dus $n_{glas}$ en $n_{lucht}$ omgedraaid zijn:Gegeven: $n_{glas} = 1.51$ (tabel 18 Binas); $n_{lucht} = 1$ (tabel 18 Binas, afgerond); $i = 20 \degree$.Gevraagd: hoek van breking $r$ Formule: $\frac{\sin{i}}{\sin{r}} = \frac{n_{glas}}{n_{lucht}}$Berekening:  $\frac{\sin{20}}{\sin{r}} = \frac{1}{1.51} \rightarrow \frac{0.342}{\sin{r}} = 0.662 \rightarrow \sin{r} = \frac{0.342}{0.662} = 0.516$$r = \sin^{-1}{0.516} = 31 \degree$Conclusie: $r = 31 \degree$Stap 7: Teken de uitgaande lichtstraal. En je bent klaar. PAS OP: als jouw getallen niet overeen komen kan het zijn dat jij de rekenmachine op radialen hebt staan. Bij optica is het belangrijk dat je reken machine is ingesteld op GRADEN.c) Bij spiegelen is de spiegelwet van toepassing, deze luidt: $\angle i = \angle t$. De stappen die je volgt zijn: Stap 1: Teken de normaal, loodrecht op het oppervlakte van de spiegel en rakend aan de lichtstraal.Stap 2: Meet de hoek van inval, in dit geval $i = 25 \degree$ Stap 3: Teken de gereflecteerde lichtstraal maar nu met een hoe van $25 \degree$ aan de andere kant van de normaal. d) Bij breking door een lens waarbij de lichtstralen niet evenwijdig aan de hoofdas zijn teken je een zogenaamde bijas. Deze bijas heeft dezelfde richting als de lichtstralen maar gaat door de oorsprong van de lens en wordt niet gebroken. Daarna verleg je het brandpunt op de bijas, maar wel recht onder het originele brandpunt. De stappen zijn:Stap 1: Teken de bijasStap 2: Verleg het brandpunt (op de bijas maar recht onder het originele brandpunt), dit noem je het bijbrandpunt. Stap 3: Construeer de lichtstralen door het bijbrandpunt.  a) De drie constructiestralen zijn de hulplijnen die je gebruikt om een beeld te construeren bij lenzen. De eerste lijn loopt evenwijdig aan de hoofdas en buigt na de lens af naar het brandpunt. De tweede lijn loopt van het beeld door het centrum/midden van de lens en wordt niet afgebogen. En de derde lijn (die niet strikt noodzakelijk is om een beeld te kunnen maken) loopt van het voorwerp eerst door het voorste brandpunt en dan na de lens evenwijdig aan de hoofdas. Het laatste wat je moet doen is het beeld tekenen. Van loodrecht op de hoofdas tot het snijpunt van de drie constructiestralen. b) Net als bij vraag 5a gebruik je de drie constructiestralen. Maar dit maal gebruik je hulplijnen (stippellijn) om de constructiestralen goed te kunnen tekenen.De eerste lijn loopt evenwijdig aan de hoofdas en buigt na de lens af naar het brandpunt. Teken een stippellijn, links van lens in dezelfde richting als de constructielijn. De tweede lijn loopt van het beeld door het centrum/midden van de lens en wordt niet afgebogen. Trek nu ook weer de lijn met behulp van een stippellijn links van de constructie lijn door. En de derde lijn (die niet strikt noodzakelijk is om een beeld te kunnen maken) loopt van het voorwerp eerst door het voorste brandpunt en dan na de lens evenwijdig aan de hoofdas. En ook hier teken je weer een stippellijn als hulplijn links van het voorwerp. Het laatste wat je moet doen is het beeld tekenen. Van loodrecht op de hoofdas tot het snijpunt van de drie constructiestralen.Het beeld staat nu VOOR de lens en kan dus niet geprojecteerd worden. Je spreekt dan van een virtueel beeld. c) In deze vraag wordt gewerkt met een dioptrie en je moet de lenzenformule toepassen. Omdat je niet de brandpuntsafstand weet, zul je die moeten berekenen via de formule voor dioptrie.Gegeven: $S = + 3.0 \, dpt$; $v = 45 \, cm = 0.45 \, m$Gevraagd: Bereken $b$ Formules: $S = \frac{1}{f} \rightarrow f = \frac{1}{s}$ en $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b} \rightarrow \frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{v}$Berekenen:Eerst de brandpuntsafstand: $f = \frac{1}{s} = \frac{1}{3.0} = 0.3333 \, m$Deze vervolgens invullen in de tweede formule: $\frac{1}{b} = \frac{1}{f} = \frac{1}{v} = \frac{1}{0.333} - \frac{1}{0.45} = 0.778$Er staat nu $\frac{1}{b} = 0.778$, dit moeten we nog omzetten naar: $b = …$ en dat doe je door de som “om te draaien”: $b = \frac{1}{0.778} = 1.285$Je kunt ook de toets $x^{-1}$ op je rekenmachine gebruiken.Conclusie: $b = 1.3 \, m$Denk aan significantie. Alle gebruikte getallen in de opgave hebben een significantie van 2 dus het antwoord moet ook in een significantie van 2.d) Deze som is vergelijkbaar aan som 5c. Alleen wordt nu de voorwerpafstand gevraagd en let op het ene gegeven staat in centimeter terwijl de ander grootheid in meters staat. Makkelijkst is alles terug te rekenen naar standaardeenheid.Gegeven: $f = 3.00 \, cm = 0.0300 \, m$; $b = 2.0 \, m$Gevraagd: De voorwerpafstand $v$.Formule: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b} \rightarrow \frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{v}$Berekening: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{b} = \frac{1}{0.03} - \frac{1}{2} = 32.8333$Er staat nu $\frac{1}{v} = 32.8333$, dit moeten we nog omzetten naar: $v = …$ en dat doe je door de som “om te draaien”: $v = \frac{1}{32.83333} = 0.030456$Conclusie: $v = 0.030 \, m = 3.0 \, cm$Je merkt dat de voorwerpafstand dus gelijk is aan de brandpuntsafstand. Dit komt omdat we een significantie gebruiken van 2 (omdat de beeldafstand ook een significantie van 2 heeft). In het echt staat het voorwerp dus heel dicht tegen de lens aan.e) Uit de vorige opgave weten we nu de beeldafstand en de voorwerpafstand. Daarmee kun je de vergrotingsfactor mee uitrekenen. Omdat je ook weet hoe lang het beeld is, kun je vervolgens deze gebruiken om de lengte van het voorwerp te berekenen. Je zult zien dat het gaat om een verhouding en dat je dus eigenlijk de lineaire vergroting niet persé hoeft uit te rekenen.Gegeven: $v = 3.0 \, cm = 0.030 \, m$; $b = 2.0 \, m$;, $BB’ = 50 \, cm = 0.50 \, m$Gevraagd: de lengte van het voorwerp $VV’$Formule: $N = \frac{b}{v} = \frac{BB’}{VV’}$Berekening: $N = \frac{2}{0.03} = 66.67$, nu kun je het tweede deel van de formule gebruiken:$N = \frac{BB’}{VV’} \rightarrow VV’ = \frac{BB’}{N} = \frac{0.5}{66.67} = 0.0074999$Of je kunt een verhoudingstabel gebruiken en dan wordt het: $\frac{b}{v} = \frac{BB’}{VV’} \rightarrow \frac{2}{0.03} = \frac{0.5}{VV’} \rightarrow 2 \cdot VV’ = 0.5 \cdot 0.03 \rightarrow VV’ = \frac{0.015}{2} = 0.075$Conclusie: Het voorwerp heeft een lengte van $VV’ = 0.0075 \, m = 7.5 \, mm$. a) De twee formules zijn: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b}$ en $N = \frac{b}{v} = \frac{BB’}{VV’}$.Om de beeldafstand ($b$) heb je de eerste formule nodig, omdat je de vergroting ($N$) niet hebt. Gegeven zijn: $f = 2.50 \, cm$ en $v = 6.00 \, cm$De te gebruiken formule is: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b}$Als je deze omvormt krijg je: $\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{v}$Eerst breng je $\frac{1}{v}$ naar de andere kant. Omdat je die term naar de andere kant van de = brengt moet je het teken veranderen. Dus +  wordt –De formule ziet er dan zo uit: $\frac{1}{f} - \frac{1}{v} = \frac{1}{b}$.Vervolgens mag je de formule omdraaien. Dus de linkerkant van de = breng je naar rechts en de rechterkant breng je naar links. Omdat je dat voor beide kanten doet hoef je geen tekens te veranderen.Dan ga je het invullen: $\frac{1}{b} = \frac{1}{2.50} - \frac{1}{6.00} = 0.400 - 0.167 = 0.233$Je moet nu nog $b$ uitrekenen (want je hebt nu $\frac{1}{b} = 0.233$)Hiervoor kun je de toets $x^{-1}$ op je rekenmachine gebruiken. Je krijgt dan $b = 4.28574$. Of je kunt op je rekenmachine 1 delen door je antwoord; $b = \frac{1}{0.233} = 4.28574$Denk aan significante cijfers; alle getallen die in de opgave staan hebben een significantie van 3, dus het antwoord moet ook in een significantie van 3. Dus 4,29Het antwoord is: $b = 4.29 \, cm$ en dat klopt met de vraag!b) Om $VV’$ uit te rekenen heb je de tweede formule nodig: $N = \frac{b}{v} = \frac{BB’}{VV’}$.Je hebt de volgende gegevens: $v = 6.00 \, cm$, $b = 4.29 \, cm$, $BB’ = 2.00 \, cm$.Je hebt geen waarde voor de vergroting ($N$). Merk op dat de vergroting dus berekent kan worden met de beeld- en voorwerpafstand én met de grootte van voorwerp en beeld. Hierdoor kun je VV’ uitrekenen ZONDER eerst N te hoeven uit te rekenen.Je vormt de formule om tot: $VV’ = \frac{v \cdot BB’}{b}$, met behulp van de balansmethode die je bij wiskunde hebt geleerd.Je mag de N weg laten, dus: $\frac{b}{v} = \frac{BB’}{VV’}$Vermenigvuldigen met VV’: $VV’ \cdot \frac{b}{v} = BB’$Vermenigvuldigen met v: $VV’ \cdot b = v \cdot BB’$En dan delen door b: $VV = \frac{v \cdot BB’}{b}$Je kunt het nu invullen en uitrekenen: $VV’ = \frac{6.00 \cdot 2.00}{4.29} = 2.7972$Dit getal is nog niet significant. Alle waardes staan in 3 significantie. Dus het antwoord moet ook in 3 significante cijfers: $VV’ = 2.80$Je kunt ook via de vergroting berekenen:$N = \frac{b}{v} = \frac{4.29}{6.00} = 0.715$$N = \frac{BB’}{VV’} \rightarrow 0.715 = \frac{2.00}{VV’}$$VV’ = \frac{2.00}{0.715} = 2.80$Het antwoord is dus: $VV’ = 2.80 \, cm$.c) Om $N = \frac{b}{f} - 1$ heb je een aantal stappen nodig. De eerste stap is begrijpen dat je de twee formules nodig hebt en dat je deze samenbrengt.De formule $N = \frac{b}{v}$ , kun je omvormen totdat je $v$ vrijmaakt. $v$ staat immers niet in de formule die je moet maken. Je mag (trucje) de $N$ en $v$ met elkaar omdraaien, dan krijg je: $v = \frac{b}{N}$.Vervolgens vul je die in de formule: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b}$  en dan krijg je $\frac{1}{f} = \frac{1}{(\frac{b}{N})} + \frac{1}{b}$Je moet nu de breuk $\frac{1}{)\frac{b}{N})}$ vereenvoudigen. Dit doe je door de noemer om te draaien. Dit mag omdat de teller 1 is. Je krijgt dan: $\frac{N}{b}$De formule ziet er dan als volgt uit: $\frac{1}{f} = \frac{N}{b} + \frac{1}{b}$Je ziet dat de $b$ in de noemer staat van de twee breuken. Door nu met $b$ te vermenigvuldigen kun je de $b$ uit de noemer halen: $b \cdot \frac{1}{f} = \frac{b \cdot N}{b} + \frac{b}{b} \rightarrow \frac{b}{f} = N + 1$Je brengt nu de “1” naar de andere kant (let op een tekenwisseling): $\frac{b}{f} - 1 = N$En de formule omdraaien en je hebt het antwoord: $N = \frac{b}{f} - 1$Ter controle (=extra) $N = \frac{4.29}{2.50} - 1 = 1.716 - 1 = 0.716$ en daarmee weet je dat het klopt, het is namelijk erg dicht bij de berekening die je bij vraag b) hebt gedaan.