Kern Wiskunde deel A+B - Hoofdstuk 8 - Algebra oefentoetsen & antwoorden

 $(ab)^p = a^p \cdot b^p$$(\frac{a}{b})^p = \frac{a^n}{b^n}$$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$(a^p)^q = a^{p \cdot q}$Bij een merkwaardig product kun je herleidingen in één keer opschrijven. Je hoeft dus geen tussenstappen te doen. Bij 2, 3 en 4 is dit het geval. Bij 1 heb je wel te maken met tussenstappen. $(\sqrt{a})^2 = a$$\sqrt{a^2} = a$$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$Kwadraatafsplitsen betekent dat je een kwadratische vergelijking (tweeterm of drieterm) als een kwadraat schrijft met één x binnen de haakjes.$\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{d} + \frac{c}{d} \cdot \frac{b}{b} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd}$ Bijvoorbeeld: $2^3 \cdot 2^5 = 2^8$. Er zijn uiteraard meerdere antwoorden mogelijk.We schrijven het helemaal uit: $(-a)^4=-a \cdot -a \cdot -a \cdot -a = a^4$, want $ - \times - = +$.Een kwadraat betekent dat je iets keer zichzelf doet. Als we dat hier uitschrijven krijgen we: $(a^3)^2 = a^3 \cdot a^3 = a^{3+3} = a^6$. We werken steeds de haakjes uit om toe te werken naar de algemene vorm $y=ax^2 + bx + c$:Formule 1:$y=3(x+2)^2+10$$y=3(x+2)(x+2)+10$ (of sla deze stap over en gebruik meteen dat $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$)$y=3(x^2+4x+4)+10$ (let op: de haakjes moeten blijven staan!)$y=3x^2+12x+12+10$$y=3x^2+12x+22$Formule 2:$y=\frac{1}{4}(x-1)(x+5)$$y=\frac{1}{4}(x^2-x+5x-5)$ (laat de haakjes nog staan, want alles moet nog keer $\frac{1}{4}$)$y=\frac{1}{4}(x^2+4x-5)$$y=\frac{1}{4}x^2+x-1\frac{1}{4}$Formule 3:$y=-(2-x)^2$$y=-(2-x)(2-x)$$y=-(4-4x+x^2)$$y=-x^2+4x-4$Formule 4: deze staat al in de goede vorm.Formule 5: $y=x(2x-4)$$y=2x^2-4x$. $36x^2-24x+4$$36a^2-48a+16$$64r^2-160rs+100s^2$ $-18xy + 12xy = -6 xy$$18a^2+24a^2=42a^2$$-3a\cdot-4-2a = 12a-2a=10a$$6d^6$$-9a^9$$30x^3y^2$ $(2^5)^2 \cdot 2^{3}$$2^{10} \cdot 2^{3}$$2^{13}$$3^6 \cdot \frac{3^8}{3^2}$$3^6 \cdot 3^{8-2}$$3^6 \cdot 3^6$$3^{12}$$\frac{2^{2} \cdot 2^5}{2^{3}} \cdot 2$Eerst de bovenkant van de breuk:$\frac{2^{2+5}}{2^{3}} \cdot 2$$\frac{2^7}{2^3} \cdot 2$Nu de breuk zelf.$2^{7-3} \cdot 2$$2^{4} \cdot 2$Gebruik dat $2 = 2^1$:$2^{4} \cdot 2^1$$2^{5}$Schrijf $25$ als macht van $5$:$5^4 \cdot 5^2 \cdot \frac{1}{5}$De breuk is een bijzonder geval van de regel $\frac{g^a}{g^b}=g^{a-b}$, want $1=5^0$, dus $\frac{1}{5}=\frac{5^0}{5^1}=5^{-1}$:$5^4 \cdot 5^2 \cdot 5^{-1}$$5^{5}$  $6a^2-12a^3+32a^2=$$-12a^3 + 38a^2$ $6x+12y+6x+3y=$$ 12x+ 15y$ $2a(ab+8b+7a+56) = $$2a^2b + 16ab + 14a^2 + 112a$ $p^2 +3p-4p-12 + p^2 -4p +4= $$2p^2-5p-8$ $-2xy+(x+y)^2-(x^2+y^2) = $$-2xy+x^2+2xy+y^2-x^2-y^2 =$$0$$4(p+10)(p-3)-5(6-2p) = $$4(p^2 - 3p + 10p - 30) - 5(6-2p) =$$4p^2 -12p + 40p - 120 - 30 + 10p = $$4p^2  +38p - 150$ $3 \sqrt\frac{15p}{5}+2\cdot 3\sqrt{3p}$$3\sqrt{3p}+6\sqrt{3p}$$9 \sqrt{3p}$  $\frac{3\sqrt{96a^2b}}{2\sqrt{12ab}}+5\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6a}$$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{96a^2b}{12ab}}+10\sqrt{18a}$$\frac{3}{2}\sqrt{8a}+10\cdot3\sqrt{2a}$$\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{2a} + 30\sqrt{2a}$$3\sqrt{2a}+30\sqrt{2a}$$33\sqrt{2a}$ $\sqrt{6x}(\sqrt{20xy}+5\sqrt{2x})$$\sqrt{120x^2y} + 5\sqrt{12x^2}$$\sqrt{4 \cdot 30x^2y} + 5 \sqrt{4 \cdot 3x^2}$$2 \sqrt{30x^2y}+10 \sqrt{3x^2}$ $\sqrt{\frac{2}{5}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{6}}$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{6}}$$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}$$\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$$\frac{1}{1}=1$ $\frac{\sqrt{450x^2y^3}}{\sqrt{3xy^3}}$$\sqrt{150x}$$\sqrt{25 \cdot 6x}$$5 \sqrt{6x}$ $(x+5)^2-25$$(x+5)^2=25$$x+5 = 5 \vee x+5 = -5$$x=0 \vee x=-10$Tip: vind je kwadraat afsplitsen lastig? Bedenk dat $(a+b)$^2=a^2+2ab+b^2$. Deze rekenregel gebruiken we bij kwadraatafsplitsen, maar dan juist om de termen binnen haakjes te zetten. Bij deze opgave kies je voor $(x+5)^2$, want als je dat uitwerkt krijg je: $x^2+10x+25$. Nu heb je 25 te veel, en die moet je er weer afhalen. Daarom is  $x^2+10x = (x+5)^2-25$.$(x+\frac{1}{2})^2-1-4 =0 $$(x+\frac{1}{2})^2 =5$$x+\frac{1}{2} =\sqrt{5} \vee x+\frac{1}{2} =- \sqrt{5}$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{5} \vee x=-\frac{1}{2} - \sqrt{5}$$(x+1)^2-1+9=0 $ $(x+1)^2=-8$Kan niet, dus deze vergelijking heeft geen oplossingen. (Het kwadraat kan immers nooit $<0$ zijn).  $(x-2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+2\frac{1}{4}=0$ (Let op: omdat $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$,  doe je $(x \, min \ 2\frac{1}{2})^2$, en vervolgens ook $min \,  6\frac{1}{4}$.$(x-2\frac{1}{2})^2-4=0$$x-2\frac{1}{2}=\sqrt{4} \vee x-2\frac{1}{2}=-\sqrt{4}$$x=4\frac{1}{2} \vee x= \frac{1}{2}$ $(5x)^{3} \cdot 3x^6 + \frac{8x^{10}}{4x}$Werk haakjes weg en vereenvoudig de breuk:$125x^3 \cdot 3x^6 + 2x^9$ (want $5^3 = 125$ en in de breuk deel je één $x$ weg en houd je $x^9$ over)Dus je krijgt: $375 x^9 + 2x^9 = 377x^9$ $\frac{1}{3} \cdot (3x)^4 \cdot x^2$Werk de haakjes uit: $ \frac{1}{3} \cdot 3^4 x^4 \cdot x^2$$ \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot x^6 = 27x^6$$(2x-5)^2$$ 4x^2 -20x + 25$ $ 5\sqrt{9x} \cdot \sqrt{2x^3}$Breng alles onder één wortel:$5 \sqrt{18x^4}$ $ \frac{\sqrt{3x^5}}{\sqrt{2x^4}}$Schrijf als één wortel van een breuk: $\sqrt{\frac{3x^5}{2x^4}}$Vereenvoudig nu de breuk. Dat geeft: $\sqrt{6x}$. $ \frac{8x^6 + x^4 \cdot 6x^2}{2x^2}$Doe eerst de vermenigvuldiging: $ \frac{8x^6 + 6x^6}{2x^2}$$ \frac{14x^6}{2x^2}$6x^4$. $\sqrt{6x^3} \cdot \sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{6x^2}{3x}}$We vereenvoudigen eerst de breuk binnen de wortel: $\sqrt{6x^3} \cdot \sqrt{3x} \cdot \sqrt{2x}$Nu brengen we alles onder één wortel (mag zonder tussenstap): $\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x^3 \cdot x \cdot x}$Vereenvoudigen geeft: $\sqrt{36x^5} = 6\sqrt{x^5}$.