Getal en Ruimte 13e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 5 - Lijnen en hoeken oefentoetsen & antwoorden

a) Dit is een lijn, en een lijn heeft geen beginpunt en ook geen eindpunt maar loopt eigenlijk altijd maar door. Daarom staan er links en rechts geen letters. Lijnen hebben een naam, en dit is lijn $g$.b) De lengte van de lijn kun je niet geven, want hij begint eigenlijk nergens en hij eindigt ook nergens. (Beetje vreemd he?)c)  Als je een tekening maakt, doe je dat met potlood. Eindpunten van lijnen en hoeken van driehoeken en vierhoeken enzo krijgen een Hoofdletter, en alle informatie die in de som wordt gegeven moet je in de tekening zetten, dus ook de lengte als je die krijgt!(Tip: een lijn geven we een naam met een kleine letter; een lijnstuk geven we ook een naam, maar dan gebruiken we de letters die bij de uiteinden staan; dus de lijn uit opgave a) noemen we dan g, maar het lijnstuk dat je getekend hebt noemen we AB omdat we het begin- en het eindpunt daarvan wel weten.)Kijk nog een keertje goed naar de verschillen tussen een lijn en een lijnstuk in de tekening hierna.d)  Een scherpe hoek is een hoek die kleiner is dan $90^{\circ}$. Een stompe hoek is een hoek die groter is dan $90^{\circ}$ en kleiner dan $180^{\circ}$. a) Onjuist. Een rechte hoek is $90^{\circ}$.b) Onjuist. Een gestrekte hoek is $180^{\circ}$.c)  Dat klopt, in elke driehoek zijn de hoeken samen $180^{\circ}$.d) Onjuist, de hoeken in een vierhoek zijn altijd samen $360^{\circ}$. a) Om vijf uur staat de grote wijzer precies op 12. En de kleine wijzer precies op de 5. Tussen 12 en 1, tussen 1 en 2 enz… zit steeds 360 : 12 = $30^{\circ}$.De hoek tussen de grote en de kleine wijzer is dus 5 x 30 = $150^{\circ}$.Tip: zet altijd in je eindantwoord wat het is, dus $^{\circ}$.b) De kleine wijzer staat voorbij de 2. De grote wijzer staat precies op de 3.Gerekend vanaf de 12 maakt de grote wijzer een hoek van $90^{\circ}$, en de kleine wijzer een hoek van:   $2\space\cdot\space30 + \frac{1}{4}\space\cdot 30=67,5^{\circ}$De hoek tussen de wijzers is dan:  $90\space–\space 67,5 = 22,5^{\circ}$.c) Teken zelf de klok en de juiste stand van de wijzers.De grote wijzer staat precies op de 8, de kleine wijzer tussen de 3 en de 4.Gerekend vanaf 12 is de hoek van de grote wijzer:  $8\space\cdot\space30 = 240^{\circ}$.De hoek van de kleine wijzer is:  $3\space\cdot\space30\space+\space\frac{40}{60}\space\cdot 30=110^{\circ}$.De hoek tussen de wijzers is dan:  $240\space–\space 110 = 130^{\circ}$. a) Gebruik de hulplijntjes op je passer en leg die evenwijdig aan lijn a met de rand bij punt K. Teken lijn b.Haal de geodriehoek weg en zet de naam van de lijn erbij, en pijltjes in de lijnen om aan te geven dat ze evenwijdig zijn.b) Gebruik de loodlijn in de geodriehoek zoals in de tekening en teken lijn c.Haal de geodriehoek weg, en zet de rechte hoek tekens en ook de kleine letter “c” bij de lijn die je net hebt getekend. c)  Ja, lijn c staat ook loodrecht op lijn a omdat lijn a en lijn b evenwijdig lopen.d) Na de laatste stap krijg je de figuur hieronder.Let op, dat je een lijnstuk LM moet tekenen, dus dat moet echt beginnen in punt L en eindigen in punt M. Je mag de lijn dus niet doortrekken. a) Stap 1: Leg de geodriehoek zo dat het nulpunt van de geodriehoek op de hoek ligt die je wilt meten, en de lange zijde van de geodriehoek precies op één van de benen van de hoek ligt. Het andere been van de hoek moet onder de geodriehoek liggen.Stap 2: Lees dan af op de rand van de geodriehoek hoe groot de hoek is.De hoek is $73^{\circ}$. Omdat je weet dat dit een scherpe hoek is, weet je ook dat het $73^{\circ}$ moet zijn en niet $107^{\circ}$Tip: Je had de geodriehoek ook best langs het andere been mogen leggen, dat maakt voor het antwoord niet uit.b) Stap 1: Leg de geodriehoek zo dat het nulpunt van de geodriehoek op de hoek ligt en de lange zijde van de geodriehoek precies op één van de benen van de hoek ligt. Het andere been van de hoek moet onder de geodriehoek liggen.Stap 2: Lees de grootte van de hoek af. De hoek is $125^{\circ}$. Hier kies je de binnenste schaalverdeling van de boog. Let op: als je de schuine zijde van de geodriehoek langs het andere been had gelegd, zou je de buitenste schaalverdeling van de boog gebruiken. a) Stap 1: teken een lijnstuk van ongeveer 7 cm, horizontaal is het makkelijkst.                                           Stap 2: Leg de geodriehoek zo op de lijn, dat het nulpunt op een van de hoekpunten komt te liggen en de lijn die je net getekend hebt ligt dan precies langs de lange zijde van de geodriehoek. Omdat een hoek van 143∘143^{\circ}143∘ een stompe hoek is, moet je op de geodriehoek aan de linkerkant op de rand naar 143∘143^{\circ}143∘ zoeken. Zet daar een puntje.Stap 3: Haal de geodriehoek weg en teken het andere been door het hoekpunt en het getekende punt bij stap 2. Zet in de tekening hoe groot de hoek is.b) Stap 1: teken weer een lijnstuk van ongeveer 7 cm.Stap 2: Leg de geodriehoek weer zo op de lijn, dat het nulpunt op een van de hoekpunten komt te liggen en de lijn die je net getekend hebt ligt dan weer precies langs de lange zijde van de geodriehoek. Omdat een hoek van 30∘30^{\circ}30∘ een scherpe hoek is, moet je op de geodriehoek aan de rechterkant op de rand naar 30∘30^{\circ}30∘ zoeken. Zet daar een puntje.Stap 3: Als je de geodriehoek weghaalt kun je de hoek weer afmaken. Vergeet niet om erbij te zetten hoe groot de hoek is. a)  Stap 1: Teken lijnstuk $AB$. Zet er meteen de hoofdletters voor de hoeken bij en de lengte van het lijnstuk.Stap 2: Leg het nulpunt van de geodriehoek op $A$. De zijde $AB$ moet langs de lange zijde van de geodriehoek liggen. Meet $42^{\circ}$ af en zet daar een stip. Dit is een scherpe hoek.Stap 3: Teken $\angle A$.Stap 4: Doe hetzelfde met $B$. Die hoek is ook scherp. Teken de lijn, en waar ze elkaar snijden is hoekpunt $C$.Stap 5: Gum de lijnen niet uit zodat je docent kan zien hoe je het hebt gedaan.Vergeet niet om hoofdletters bij de hoeken te zetten, en ook hoe groot de hoeken zijn die je weet.b)  Als je 2 hoeken van een driehoek weet, dan kun je de derde uitrekenen.De hoeken van een driehoek zijn samen $180^{\circ}$.Dus $\angle C$ = 180 – 65 – 42 = $73^{\circ}$.Tip: Er staat in de opgave dat je de hoek moet berekenen. Dat betekent dat je de hoek niet met je geodriehoek mag meten.Vergeet ook niet de hele berekening op te schrijven. Vaak krijg je daarvoor nog een extra punt. a)  Stap 1: Teken lijnstuk $KL$, net als bij de vorige som en zet er meteen 6 cm bij. Want alles wat je in de som krijgt aan informatie moet je ook in de tekening zetten.Stap 2: Leg het nulpunt van de geodriehoek op $K$. De zijde $KL$ moet langs de lange zijde van de geodriehoek liggen. Meet $135^{\circ}$ af, dat is een stompe hoek.Stap 3: Teken $\angle K$.Stap 4: Doe hetzelfde met $L$. Die hoek is scherp. Teken de lijn, en waar ze elkaar snijden is hoekpunt $M$.Stap 5: Gum de overbodige lijnen niet uit. Zorg ervoor dat alle hoofdletters bij de hoeken staan, en dat je in de hoeken die je weet schrijft hoeveel graden ze zijn.b)  Als je 2 hoeken van een driehoek weet, dan kun je de derde uitrekenen.De hoeken van een driehoek zijn samen $180^{\circ}$.Dus $\angle C$ = 180 – 135 – 23 = $22^{\circ}$.Tip: Er staat in de opgave dat je de hoek moet berekenen. Dat betekent dat je de hoek niet met je geodriehoek mag meten.Vergeet ook niet de hele berekening op te schrijven. Vaak krijg je daarvoor nog een extra punt. a) $\angle K_1$ en $\angle K_3$$\angle K_2$ en $\angle K_4$b) $\angle K_2$ is gelijk aan $32^{\circ}$, dus $\angle K_4$ is ook gelijk aan $32^{\circ}$.$\angle K_12$ is gelijk aan $180^{\circ}$. $\angle K_2$ is gelijk aan $32^{\circ}$, dus $\angle K_1$ is gelijk aan $180^{\circ}-32^{\circ}=148^{\circ}$. $\angle K_3$ is ook gelijk aan $148^{\circ}$. $\angle S_1$ = $\angle S_5 = 12^{\circ}$ (Overstaande hoeken)$\angle S_2$ + $\angle S_3 = 90^{\circ}-12^{\circ}=78^{\circ}$ (rechte hoek)$\angle S_2$ = $\angle S_3 = 78^{\circ}:2=39^{\circ}$ (gelijke hoeken)$\angle S_6$ = $\angle S_2 = 39^{\circ}$ (overstaande hoeken)$\angle S_7$ = $180^{\circ}-\angle S_5-\angle S_6=180^{\circ}-12^{\circ}-39^{\circ}=129^{\circ}$ (gestrekte hoek) Tip: Je ziet achter elke berekening tussen haakjes de regel die je gebruikt. Vraag je docent of je die bij het proefwerk ook moet vermelden. $\angle B_1$ = $\angle B_2 = 23^{\circ}$ (Gelijke hoeken)Dus $\angle B\space=\space46^{\circ}$$\angle A_2$ in driehoek ABC is $72^{\circ}$$\angle C = 180\space-\space72\space-\space46\space=\space62^{\circ}$ (hoekensom driehoek)$\angle S_2$ in driehoek ABS = $180\space-\space72\space-\space23\space=\space85^{\circ}$ (hoekensom driehoek)$\angle S_1$ = $180\space-\space85\space= 95^{\circ}$ (gestrekte hoek)$\angle S_3$ = $\angle S_1 = 95^{\circ}$ (overstaande hoeken) $\angle P_1$ = $\angle P_2 = 34^{\circ}$ (Gelijke hoeken)Dus $\angle S_1$ in driehoek PSR $= 180\space-\space34\space-\space41\space=\space105^{\circ}$ (hoekensom driehoek)$\angle S_3$ = $\angle S_1\space=105^{\circ}$ (overstaande hoeken)$\angle S_2$ = $180\space-\space105\space= 75^{\circ}$ (gestrekte hoek)$\angle T_1 = 180\space-\space34\space-\space75\space=\space71^{\circ}$ (hoekensom driehoek)$\angle T_2 = 180\space-\space71\space= 109^{\circ}$ (gestrekte hoek)$\angle V_2 = 360\space-\space109\space-\space90\space-\space105=\space56^{\circ}$ (hoekensom vierhoek)$\angle U = 90^{\circ}$ en dat kun je gewoon aflezen uit de tekening.