Overal Natuurkunde 5e ed - Hoofdstuk 6 - Arbeid en energie oefentoetsen & antwoorden

a) De term arbeid wordt gebruikt om aan te geven hoeveel inspanning er wordt geleverd om iets gedaan te krijgen. Dit kan een kracht zijn die wordt uitgeoefend gedurende een bepaalde weg: $W = F \cdot s$. De eenheid van arbeid is gelijk aan energie: Joule. Vaak wordt ook Newton-meter gebruikt als eenheid (Nm)b) De drie vormen van mechanische energie zijn: veerenergie, zwaarte-energie en kinetische energie. Als er sprake is van een beweging dan spreek je over mechanische energiesoorten.c) Kinetische energie komt van het woord Kinetica en dat is een oud Grieks woord voor beweging. Kinetische energie wordt ook wel eens bewegingsenergie genoemd.d) Bij wrijving ontstaat warmte en warmte is een energievorm. Wrijf je handen maar eens over elkaar. Dit gaat gepaard met wrijving en je handen worden daardoor warm.e) Elke stof bevat energie, bij verbranding komt deze energie vrij in de vorm van licht en warmte. Omdat elke stof anders is heeft elke stof een eigen stookwaarde (zie tabel 28B van Binas). Daarmee is stookwaarde een stofeigenschap.f) Vermogen betekent de macht om iets te kunnen doen. In economie is dat het geld dat jij bezit en in de psychologie is dat jouw mogelijkheden iets te bereiken in het leven. In de natuurkunde wordt vermogen gedefinieerd als de energie die nodig is om iets voor elkaar te krijgen per seconde. Je komt vermogen in de natuurkunde bij veel onderwerpen tegen, zoals: bij elektriciteit (P=UI), bij snelheid (P=Fv) en bij energie (P=E/t). Het vermogen wordt uitgedrukt in Watt (W) a) Een rendement van 55% (η = 55) betekent dat maar 55% van de verbranding van het aardgas (Ein) nuttig wordt gebruikt (Enuttig). Dus 55% van de inkomende energie wordt gebruikt om het eten te verwarmen, de overige energie, in de vorm van licht en (rest)warmte heeft geen functie voor het koken van je eten. Het is niet zo dat deze energie weg is. De restwarmte warmt de omgeving op.b) Energie blijft volgens de wet op behoud van energie gelijk. Als jij sport verbrandt je in je lichaam stoffen die jouw energie geven. Een deel van die energie gebruik je om je spieren te laten werken (voor snelheid of voor kracht), het andere deel van de energie (dat je zou “verbruiken”) wordt gebruikt om je lichaam op temperatuur te houden. a) Bij een eenhedenanalyse kijk je of de eenheden (Binas, tabel 4) overeenkomen.De eenheid van vermogen is Watt (W).Arbeid is een vorm van energie en wordt uitgedrukt in Joule (J).De eenheid van tijd is seconde (s).De eenheid van kracht is newton (N).De eenheid van snelheid is m/s. Vervolgens ga je de eenheden in de formule zetten:$[P] = \frac{[E]}{[t]} \rightarrow W = \frac{J}{s}$   (1)$[P] = [F] \cdot [v] \rightarrow W = N \cdot m/s$   (2)$[W] = [F] \cdot [s] \rightarrow J = N \cdot m$   (3)Als je nu in formule (2) de $N \cdot m$ vervangt door de $J$ uit formule (3) krijg je: $W = \frac{J}{s}$. En je ziet dat dat gelijk is aan formule (1) en daarmee heb je bewezen dat de twee formules tot dezelfde eenheid komen.Noot: merk op dat de symbolen voor de grootheden tussen rechte haken staan. Dit doe je door onderscheid te maken tussen de symbolen voor grootheden en eenheden.Je mag ook in de grondeenheden werken: dus in plaats van Joule, $kg m^2 s^{-2}$ en in plaats van Newton, $kg m s^{-2}$. Je krijgt dan dezelfde conclusie, namelijk dat de eenheden van vermogen uit de formules hetzelfde worden: $[P] = kg m^2 s^{-3}$.b) De vraag kun je ook door een eenhedenanalyse uitwerken. Mooier is om te laten zien dat je inzicht kunt tonen hoe het werkt. Het elektrische vermogen bestaat uit de spanning keer de stroom. De spanning is energie per lading en de stroom is hoeveel lading er per seconde passeert. Als je weet dat er zoveel lading met een bepaalde energie per lading langskomt kun je stellen dat je dus eigenlijk kijkt naar hoeveel energie er per seconde langs komt. En het vermogen is niets anders dan de energie die per seconde nodig is. (P=E/t)Het mechanisch vermogen wordt gedefinieerd als de kracht keer de snelheid. We weten ook dat de arbeid gedefinieerd wordt als de kracht keer de weg (W=Fs). Als je nu de weg verdeelt in stukjes seconde heb je de snelheid. Dus kun je stellen dat het vermogen gelijk is aan de kracht keer de afstand gedeeld door de tijd. En dat is weer hetzelfde als kracht keer snelheid.Het vergelijk tussen beide: elektronen stromen als gevolg van een spanning van min naar plus. De hoeveelheid elektronen per seconde (zeg hiervoor de stroomsnelheid) keer de spanning (zeg de elektrische “kracht”) bepaalt het elektrisch vermogen. Dus met een omweg kun je zeggen dat kracht keer snelheid het vermogen bepaalt en daarmee, met een omweg, kun je zeggen dat de beide vermogens tot hetzelfde leiden.Een andere manier is een eenhedenanalyse:$[P] = [U] \cdot [I] = [F] \cdot [v]$ $\rightarrow$$[U] = \frac{[E]}{[Q]}$ en $[I]= \frac{[Q]}{[t]}$ Dus $[P] = \frac{[E]}{[Q]} \cdot \frac{[Q]}{[t]}$ De Q valt weg!Dan houd je over: $[P] = [E] \cdot [t]$ De verdere analyse heb je dan bij a) al gedaan! a) Op de vrachtwagen werken vier krachten: de zwaartekracht, de normaalkracht, de wrijvingskracht en de zogenaamde voortstuwende kracht (van de motor).Van de zwaartekracht weet je dat deze naar beneden gericht is. De grootte van de zwaarte kracht bereken je met $F=mg$.$m = 8,5 \ ton = 8.500 \ kg$; $g = 9,81 \ ms^2$.$F_z = mg = 8500 \cdot 9,81 = 83.385 \ N$De normaalkracht staat loodrecht op het wegdek en is gelijk van de loodrecht-component van de zwaartekracht. Deze is te bereken met: $F_{\perp}=F_z \cdot \cos \alpha$ (in dit geval de 5o)$F_N=F_{\perp}=F_z\cdot \cos \alpha =83385\cdot \cos(5) =83068 \ N$De wrijvingskracht is gegeven: $F_w = 2500 \, N$.Omdat de vrachtwagen een constante snelheid heeft, is de resultante kracht in de bewegingsrichting nul (Eerste wet van Newton). Dus de voortstuwende kracht Fv is gelijk aan de wrijvingskracht PLUS de langs-component van de zwaartekracht.De langs-component is te berekenen met $F_{\parallel}=F_z\cdot \sin \alpha$Dus $F_{\parallel}=F_z\cdot \sin \alpha = 83385 \cdot \sin(5) = 7267 \ N$$F_v = F_w + F_{\parallel} = 2500 + 7267 = 9767 \ N$Een goede krachten-tekening houdt rekening met aangrijpingspunt, grootte en richting. Voor de grootte gebruik je een schaal. In dit geval zou de schaal 1:2000 kunnen zijn. Dit betekent dat 1 cm gelijk staat aan 20000 N. De zwaartekracht (Fz) grijpt aan in het massamiddelpunt van de vrachtwagen en heeft bij een schaal van 1:2000 een lengte van 4,2 cm, naar beneden gericht.De normaalkracht (FN) grijpt aan loodrecht op het wegoppervlak onder de vrachtwagen. Je mag ook de normaalkracht verdelen over de wielen. In dat geval grijpt de normaalkracht aan op het punt tussen de wielen en het wegdek. Bij één pijl heeft de normaalkracht een lengte van 4,1 cm.De wrijvingskracht grijpt aan aan de voorkant van de vrachtwagen en heeft een richting tegengesteld aan de bewegingsrichting. De lengte, op schaal, is 0,1 cm.De voortstuwende kracht grijpt aan op de voorkant van de vrachtwagen en heeft dezelfde richting als de beweging. De lengte van deze pijl is 0,5 cm.De tekening ziet er dan als volgt uit:b) In a) heb je de voortstuwende kracht berekend. Je weet de weg, want die staat in de tekst dus ben je nu in staat om de arbeid te berekenen.Gegeven: $F_v = 9767 \ N$$s = 1,5 \ km = 1.500 \ m$Gevraagd: De arbeid $W$.Formule: $W = F \cdot s$Berekening: $W = F \cdot s= 9767 \cdot 1500 = 14650500$Conclusie: $W=1,5 \cdot 10^7 \ J = 15 \ MJ$In de tekst is de significantie van van het minste aantal cijfers 2 dus je antwoord moet ook in 2 significante cijfers c) Om de hoeveelheid liters te berekenen heb je de stookwaarde van diesel nodig, deze vind je in BINAS (tabel 28B). Houd ook rekening met het rendement. Niet alle energie die vrijkomt bij de verbranding van diesel wordt nuttig gebruikt, slechts 67%!Gegeven: $W = E_{nuttig} = 15 \cdot 10^6 \ J$$r_v = 36 \cdot 10^9 \ Jm^{-3}$ $\eta = 67\%$Gevraagd: hoeveelheid liter (=dm3) diesel.Formule: $\eta=100\%\cdot \frac{E_{nuttig}}{E_{in}}$ en $E_{in}=r_v\cdot V$De formules kun je omschrijven tot: $E_{in}=100\%\cdot \frac{E_{nuttig}}{\eta}$ en $V=\frac{E_{in}}{r_v}$Als je alles tot één formule wilt terugbrengen krijg je: $V=100\%\cdot \frac{E_{in}}{r_v\cdot \eta}$ (Je mag ook eerst de getallen invullen en daarmee verder rekenen)Berekening: Reken eerst $E_{in}$ uit (zodat je weet hoeveel energie er uit de diesel gehaald moet worden.)$E_{in}=100\%\cdot \frac{E_{nuttig}}{\eta}=100\cdot \frac{15\cdot 10^6}{67}=22388060 \ J$Nu kun je het volume berekenen (let op dit gaat in m3).$V=\frac{E_{in}}{r_v}=\frac{22388060}{36\cdot 10^9}=6,219\cdot 10^{-4} \ m^3$Dit antwoord moet je nog omzetten naar liters. Je weet dat 1 m3 = 1.000 dm3. Dus je moet het antwoord nog vermenigvuldigen met 1000$V=6,219\cdot 10^{-4} \ m^3 \cdot 1000 = 6,219 \cdot 10^{-1} \ L$Conclusie: $V=6,2\cdot 10^{-1} \ L = 0,62 \ L$ (significantie van 2) a) De wet van behoud van energie stelt dat dat de totale energie voor een gebeurtenis gelijk is aan de energie na de gebeurtenis. Als er geen wrijving zou zijn zou de zwaarte-energie in punt 1, gelijk moeten zijn aan de zwaarte-energie in punt 5. In de tekst staat immers dat de knikker stil ligt in punt 5. Maar omdat punt 5 lager ligt dan punt 1 is er een verschil in zwaarte-energie en zou je dus ergens energie “verloren” moeten zijn, en dat kan alleen als er sprake is van wrijving.b) In een energie-stroomdiagram geef je de energievormen aan, die ze op die punten hebben. Bijvoorbeeld in punt 1 heeft de knikker alleen zwaarte-energie. Terwijl in punt 3 de knikker nog snelheid (en dus kinetische energie) heeft én zwaarte-energie heeft.Letop: in punt 2 staat dat de knikker alleen kinetische energie heeft, terwijl de knikker nog 20 cm boven de grond zit en dus ook zwaarte-energie heeft. Er is voor gekozen om in punt 2 als laagste punt te definiëren en daarmee de hoogte relatief te maken aan punt 2. Dit is van belang voor de volgende vraag.c) Tot punt 4 heeft de knikker geen wrijving ervaren en verloopt de beweging nagenoeg zonder wrijving. In berekeningen met energie-soorten, zonder wrijving, is het niet van belang wat er tussen wat er tussen die twee punten gebeurd is. Je mag de energie berekenen voor de gebeurtenis en de energie na de gebeurtenis en vervolgens je berekeningen daarop maken.In punt 1 is er alleen zwaarte-energie (de bal wordt losgelaten en heeft dus geen snelheid). In punt 4 heeft de bal kinetische energie en zwaarte-energie. Let op de hoogte is relatief aan de hoogte van punt 2.Gegeven: $m = 35 \, g = 0.035 \, kg$$h_1 = 150 - 20 = 130 \, cm = 1.30 \, m$$h_4 = 45 - 20 = 25 \, cm = 0.25 \, m$$g = 9.81 \, m/s^2$Gevraagd: Snelheid in punt 4: $v_4$Formule: $E_{z1} = E_{z4} + E_{kv4} \rightarrow mgh_1 = mgh_4 + \frac{1}{2} mv_4^2$Merk op dat overal een $m$ staat in de formules. Je mag dus alles delen door $m$ en dan wordt de formule: $gh_1 = gh_4 + \frac{1}{2} v_4^2$Wil je de formule herschrijven tot $v_4 = …$  volg dan de volgende extra stappen:Draai de formule om en breng $gh_4$ naar de andere kant. Je krijgt dan: $\frac{1}{2} v_4^2 = gh_1 - gh_4$Vermenigvuldig beide kanten met 2 om de $\frac{1}{2}$ weg te werken voor de $v_4$, je krijgt dan $v_4^2 = 2(gh_1 - gh_4)$En werk het kwadraat weg door de beide kanten de wortel te nemen. (Een wortel van een kwadraat wordt het origineel), je krijgt dan $v_4 = \sqrt{2g(h_1 - h_4)}$Berekenen: $gh_1 = gh_4 + \frac{1}{2} v_4^2 \rightarrow 9.81 \cdot 1.30 = 9.81 \cdot 0.25 + \frac{1}{2} v_4^2$$12.753 = 2.4525 + \frac{1}{2} v_4^2 \rightarrow \frac{1}{2} v_4^2 = 10.3005 \rightarrow v_4^2 = 2 \cdot 10.3005 = 20.601$$v_4 = \sqrt{20.601} = 4.5388$Als je de herschreven formule zou gebruiken wordt de berekening: $v_4 = \sqrt{2g(h_1 - h_4)} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot (1.30 - 0.25)} = \sqrt{20.601} = 4.5388$Je had ook punt 4 als referentie mogen gebruiken (dus geen $E_z$), in dat geval wordt de formule: $E_{z1} = E_{k4} \rightarrow mgh_1 = \frac{1}{2} mv_4^2 \rightarrow v_4 = \sqrt{2gh_1}$$h_1 = 1.50 - 0.45 = 1.05 \, m$$v_4 = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 1.05} = \sqrt{20.601} = 4.5388$Conclusie: $v_4 = 4.54 \, m/s$ (significantie van 2 als je met de massa hebt gerekend en anders een significantie van 3 als je zonder de massa hebt gerekend).d) We kijken nu naar het verschil tussen punt 1 en punt 5. Volgens het energie-stroomdiagram is er alleen sprake van zwaarte-energie in beide punten. Het verschil is de warmte die is ontstaan tijdens de wrijving. Met andere woorden, je hoeft alleen het verschil tussen de beide zwaarte-energieën uit te rekenen om achter de warmte te komen.Gegeven: $m = 0.035 \, kg$$\Delta h = h_1 - h_5 = 1.50 - 1.00 = 0.50 \, m$$g = 9.81 \, m/s^2$Gevraagd: $Q$ (de warmte cq. wrijvingsenergie die vrijkomt)Formule: $E_{z1} = E_{z5} + Q  \rightarrow mgh_1 = mgh_5 + Q \rightarrow Q = mg(h_1 - h_5) = mg \Delta h$Berekening: $Q = mg \Delta h = 0.35 \cdot 9.81 \cdot 0.50 = 1.71675$Conclusie: $Q = 1.7 \, J$ (Significantie van 2 omdat massa de laagste significantie heeft) a) Om de arbeid te kunnen bepalen uit een grafiek/diagram gebruik je de oppervlakte onder de lijn. Omdat de kracht die Jan moet uitoefenen om te kunnen fietsen steeds varieert kunnen we deze niet simpel afleiden uit een rechte lijn. De enige methode die je hier kunt toepassen is het aantal blokjes te tellen, waarbij je vervolgens een schatting doet (het is bepalen) van het aantal blokjes. Je kunt ook proberen een gemiddelde kracht te bepalen. Beide methoden worden hier uitgelegd.Methode “hokjes tellen”. Tel eerst alle “volle” hokjes, dit zijn er 17.Maak vervolgens een schatting van “complete” vakjes door “incomplete” vakjes bij elkaar op te tellen. Je komt dan tot ongeveer 22 volle vakjes.Elk vakje is 2500 J. Dit bereken je door $W= F \cdot s$. Je weet $F=50\ N$ (kun je aflezen) en de $s = 0,5\ km = 500\ m$.Je hebt 22 vakjes dus de totale arbeid wordt dan $22 \cdot 2500 = 550000\ J$Het antwoord is: $W = 5,5\cdot 10^5\ J$.Methode “gemiddelde”.Bij deze methode bepaal je de gemiddelde kracht die Jan levert. Door een lijn te trekken in de grafiek die ongeveer het gemiddelde aangeeft kun je aflezen met welke kracht je kunt gaan rekenen. Uit de grafiek lees je af dat de gemiddelde kracht ongeveer 105 N is.Met dit gegeven kun je nu de arbeid uitrekenen:Gegeven: $F = 105/ N$; $s = 5,0\ km = 5000\ m$ Gevraagd: $W$Formule: $W = F \cdot s$Berekening: $W = 105 \cdot 5000 = 525000\ J$Conclusie: $W = 5,3 \cdot 10^5\ J$ b) In de grafiek is de waarde van de kracht weggelaten. Omdat de snelheid constant is, is de kracht die Jan uitoefent op de pedalen gelijk aan de kracht die de wrijving veroorzaakt (eerste Wet van Newton). Dus met het uitrekenen van de kracht die Jan uitoefent weten we meteen de wrijvingskracht. In Binas (tabel 35) wordt het vermogen geformuleerd met $P = F \cdot v$. De kracht kunnen we uitrekenen met de formule voor de arbeid: $W = F \cdot s$. We moeten deze twee formules samenvoegen om tot een goed antwoord te komen.Gegeven: E = W = 10000 J; s = 500 m; v = 25 km/h = 6,94 m/s (=25 / 3,6)Gevraagd: P (het vermogen)Formule: $W=F\cdot s$ en $P=F\cdot v$ → $F=\frac{P}{v}$Formules combineren: $W=\frac{P}{v}\cdot s$→$P=\frac{W\cdot v}{s}$Berekening: $P=\frac{W\cdot v}{s}=\frac{10000\cdot 6,94}{500}=138,8$Conclusie: $P = 1,4 \cdot 10^2 \ W$Significantie van 2 omdat de snelheid gegeven is in 2 significante cijfers en de rest in meer significante cijfers.