Getal en Ruimte wisA 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 7 - Statistiek en beslissingen oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is fout. Tussen μ−σ\mu -\sigma μ−σ en μ\mu μ ligt ongeveer 34% van de waarnemingsgetallen en tussen μ\mu μ en μ+σ\mu +\sigma μ+σ ligt ongeveer 34% van de waarnemingsgetallen. Dus tussen μ−σ\mu -\sigma μ−σ en μ+σ\mu +\sigma μ+σ ligt ongeveer 68% van de waarnemingsgetallen.Deze bewering is fout. Een grotere steekproef is betrouwbaarder. Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is dan smaller. De top ligt bij 200, dit is de modus.Minder dan 50% van de oppervlakte ligt voor de modus, dus de mediaan ligt rechts van de modus.Het is een rechts-scheve verdeling, dus het gemiddelde ligt rechts van de mediaan.Modus-mediaan-gemiddelde Voor het schetsen van de relatieve cumulatieve verdelingskromme, moet je op een aantal dingen letten. De gegeven verdelingskromme gaat van 0 naar 1000, dus de te schetsen relatieve cumulatieve verdelingskromme gaat van 0% bij 0 naar 100% bij 1000. Daarnaast zien we dat de modus ongeveer 200 is (de top van de gegeven verdelingskromme), dit betekent dat het steilste stuk van de verdelingskromme bij 200 ligt. De gegeven verdeling is een rechts-scheve verdeling, dus de mediaan ligt ongeveer bij 300, want daar kun je de oppervlakte onder de grafiek verdelen in ongeveer twee gelijke stukken. Voor de cumulatieve kromme betekent dit dat 50% bij ongeveer 300 ligt. Als laatste laten we de cumulatieve kromme op het einde iets minder steil lopen, want de gegeven kromme is rechts-scheef, wat betekent dat er op het einde weinig waarnemingsgetallen zijn. We beginnen met het maken van een schets. We gebruiken daarbij de vuistregels van de normale verdeling.We zien dat 13,5% + 2,5% = 16% van de vrouwen langer is dan 181 cm.Eerst maar weer een schets. We zien dat 13,5% + 34% = 47,5% van de vrouwen langer is tussen 151 en 171 cm.Dat zijn 5000100⋅47,5=2375\frac{5000}{100}\cdot 47,5=23751005000​⋅47,5=2375 vrouwen125100⋅100\frac{125}{100}\cdot 100%=2,5%100125​⋅100% = 2.5% De vrouwen zijn kleiner dan 151 cm.  Er lopen zowel mannen als vrouwen mee met de marathon. De tijden van de mannen zijn over het algemeen sneller dan die van de vrouwen. De modale klasse is de klasse met de hoogste frequentie.Dit is de klasse $\left[ 280,\left. \,290 \right\rangle  \right.$.De mediaan vinden we bij de middelste waarneming.Er zijn 103 deelnemers, dus vinden we de mediaan bij de 52e waarneming.Dit is in de klasse $\left[ 270,\left. \,280 \right\rangle  \right.$. De linker top is kleiner dan de rechter top, dus het gemiddelde ligt links van de mediaan.De gemiddelde snelheid is sneller dan de mediaan. Het is een links-scheve verdeling.In het algemeen ligt het gemiddelde meer richting de staart dan de mediaan.Het gemiddelde ligt links van de mediaan. De verdeling is links-scheef, dus boxplot I Het gaat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de proportie, dus maken we gebruik van de formule $\left[ \hat{p}-2\sqrt{\frac{\hat{p}\left( 1-\hat{p} \right)}{n}};\ \hat{p}+2\sqrt{\frac{\hat{p}\left( 1-\hat{p} \right)}{n}} \right]$.$\hat{p}=\frac{165}{1500}=0,11$ en $n=1500$.Invullen geeft  $\left[ 0,11-2\sqrt{\frac{0,11\left( 1-0,11 \right)}{1500}};\ 0,11+2\sqrt{\frac{0,11\left( 1-0,11 \right)}{1500}} \right]$Dit geeft het 95%-betrouwbaarheidsinterval  $\left[ 0,094;\ 0,126 \right]$.$\hat{p}=\frac{682}{6200}=0,11$ en $n=6200$.Invullen geeft  $\left[ 0,11-2\sqrt{\frac{0,11\left( 1-0,11 \right)}{6200}};\ 0,11+2\sqrt{\frac{0,11\left( 1-0,11 \right)}{6200}} \right]$Dit geeft het 95%-betrouwbaarheidsinterval  $\left[ 0,102;\ 0,118 \right]$.Bij $n=6200$ hoort een kleiner interval dan bij $n=1500$.Een grotere steekproef geeft een betrouwbaarder resultaat. Een groter onderzoek kost over het algemeen meer tijd en geld. Voor de suikerbieten van boer Koekoek geldt:$n=100$, $\bar{X}=1006$ en $S=22,4$.Voor de suikerbieten van boer Harms geldt:$n=100$, $\bar{X}=998$ en $S=22,4$.We gaan nu de 95%-betrouwbaarheidsintervallen vergelijken.We gebruiken de formule $\left[ \overline{X}-2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}};\overline{X}+2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \right]$Koekoek:$\overline{X}-2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=1006-2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=1001,52$$\overline{X}+2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=1006+2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=1010,48$Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is [1001,52 ; 1010,48]. Harms:$\overline{X}-2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=998-2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=993,52$$\overline{X}+2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=998+2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=1002,48$Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is $\left[ 993,52;\ 1002,48 \right]$.De beide betrouwbaarheidsintervallen overlappen elkaar. Op basis van deze gegevens kan boer Koekoek dus niet met zekerheid zeggen dat zijn suikerbieten de grootste zijn.De breedte van het betrouwbaarheidsinterval is $1008,24-1003,76=4,48$.De breedte van het betrouwbaarheidsinterval is ook $4\sigma $.$\sigma =\frac{S}{\sqrt{n}}$ met $S=22,4$Dit alles geeft $4\cdot \frac{22,4}{\sqrt{n}}=4,48$We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer: ${{Y}_{1}}=4\cdot \frac{22,4}{\sqrt{X}}$ en ${{Y}_{2}}=4,48$Optie: Calc $\to $ intersect geeft $X=400$Boer Koekoek heeft 400 suikerbieten gewogen.