Newton LRN-line Katern 4 Relativiteitstheorie - Hoofdstuk K4 - Relativiteitstheorie oefentoetsen & antwoorden

Een afstand van 1 ls is de afstand die het licht aflegt in 1 seconde, dus $2.998 \cdot 10^8 \ m$. Een referentiesysteem is een omgeving ten opzichte waarvan je een beweging beschrijft. Een inertiaalstelsel is een referentiesysteem waarin geen versnellingen plaatsvinden. Lengtecontractie treedt op als twee inertiaalstelsels ten opzichte van elkaar bewegen. Volgens de waarnemer in het ene inertiaalstelsel, treedt er lengtekrimp op bij een voorwerp in het andere inertiaalstelsel. Tijddilatatie is een ander woord voor tijdrek. Hiermee wordt bedoeld dat voor een waarnemer in het ene inertiaalstelsel alle processen in het andere inertiaalstelsel langzamer verlopen als dat stelsel hem met een grote snelheid nadert of zich van hem verwijdert.  Zie het ruimtetijddiagram hieronder. $v = 2.4 \cdot 10^8 \ m/s = 0.8 \ c$. Dus in het ruimtetijddiagram legt de wereldlijn van het ruimteschip 4 ls af in een tijd van 5 s. Zie figuur hieronder. Als eerst teken je de wereldlijn van waarnemer 2 in het ruimtetijddiagram. Vervolgens tegen je het lichtsignaal vanaf het coördinaat (0.0) tot waarnemer 2. Aflezen geeft dan dat het tijdverschil tussen het lichtsignaal en het ruimteschip gelijk is aan 1.1 s. Zie ruimtetijddiagram hieronder.  Om de gammafactor te berekenen, kan je het beste de snelheid omrekenen in een aantal c. DIt doe je door de snelheid te delen voor de lichtsnelheid.  Gegeven: v = $1.98 \cdot 10^8 \ m/s = 0.66 c$Gevraagd: $\gamma$ = ? Formule: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$Berekening: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{(0.66c)^2}{c^2}}}$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.4356}} = 1.33$De gammafactor is 1.33Door de grote snelheid, wordt de massa van het proton ook groter. Gegeven: $\gamma = 1.33$$m_0 = 1.673 \cdot 10^{-27} \ kg$Gevraagd: m = ? Formule: $m = \gamma m_0$Berekening: $m = 1.33 \cdot 1.673 \cdot 10^{-27} = 2.23 \cdot 10^{-27} \ kg$De massa van het proton is bij deze snelheid $2.23 \cdot 10^{-27} \ kg$. Een proton in rust heeft een zogenaamde rustenergie vanwege zijn massa. Daarbovenop komt nog energie vanwege de snelheid die het deeltje heeft gekregen. Het verschil tussen de totale energie en de rustenergie is de energie die aan het proton moet worden toegevoegd. Gegeven: $E_0 = 938.272 \ MeV$ $\gamma = 3.3$Gevraagd: $E_{toegevoegd} = ?$ Formule: $E_{toegevoegd} = E - E_0$$E = \gamma \cdot E_0$ Berekening: $E = 3.3 \cdot 938.272 = 3096 MeV$$E_{toegevoegd} = 3096 - 938.272 = 2158 MeV$Conclusie: Er moet $2.2 \cdot 10^3$ MeV energie aan een proton in rust worden toegevoegd om deze gammafactor te krijgen.   In het ruimtetijddiagram is te zien dat zowel Aron als Roan 1 ls afleggen in 4 seconden. De snelheid van beiden is dus 0.25 c. Nora neemt een lengte van 2 ls waar. Dit is een lengte in een ander inertiaalstelsel, dus L’. Gegeven: v = 0.25 c; L’ = 2 ls Gevraagd: L = ? (ls) Formule: $L’ = \frac{L}{\gamma}$ en $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$Berekening: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0.25c)^2}{c^2}}}$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.0625}} = 1.03$$L = L’ \cdot \gamma = 2 \cdot 1.03 = 2.07 \ ls$ De afstand tussen de twee ruimteschepen is volgens Roan gelijk aan 2.07 ls. Aron meet een lengte in zijn eigen inertiaalstelsel, dit is dus L. Gegeven: L = 200 m en $\gamma = 1.03$ Gevraagd: L’ = ? Formule: $L = \frac{L}{\gamma}$Berekening: $L = \frac{200}{1.03} = 194.2 \ m$ Conclusie: De lengte van het ruimteschip is volgens Nora gelijk aan $1.9 \cdot 10^2 \ m$. In het ruimtetijddiagram maak je eerst een ruimte-as volgens Aron en Roan. Vervolgens tegen je de twee signalen die vanuit Nora naar Roan gaan (zie groene lijnen). Met de blauwe stippellijnen kan je vervolgens aangeven op welk tijdstip Roan de signalen ontvangt. De tijd tussen de signalen is volgens Roan 2.6 s. Zie de uitwerking hieronder. Zie het ruimtetijddiagram hieronder.