Nova Natuurkunde MAX (release 2.2) - Hoofdstuk 7 - Trillingen en golven oefentoetsen & antwoorden

Resonantie is met meetrillen van een systeem met een periodieke aandrijfkracht. Er is sprake van resonantie wanneer de aandrijffrequentie gelijk is aan de eigenfrequentie van het systeem.  Bij een transversale golf bewegen de deeltjes (die de golf doorgeven) loodrecht op de bewegingsrichting van de golf. Bij een longitudinale golf bewegen de deeltjes in dezelfde richting als de bewegingsrichting van de golf. Wanneer een geluidsbron naar je toe beweegt, worden de golven meer samengedrukt. Door dit dopplereffect wordt de golflengte kleiner. Door middel van de formule $v = f \cdot \lambda$ is te zien dat golflengte en frequentie omgekeerd evenredig met elkaar zijn. De frequentie wordt dus groter. De toonhoogte van de sirene klinkt dus hoger op het moment dat deze naar je toe komt rijden. Een ontvangstantenne ontvangt elektromagnetische golven. De elektronen in de antenne gaan het sterkst meetrillen met het elektrische veld als er een staande golf in de antenne past. Een uiteinde van de ontvangst antenne is aangesloten op een geleider, die vervolgens het ontvangen signaal doorgeeft. De antenne kan worden opgevat als een systeem met een open en gesloten uiteinde. Om deze reden hebben ontvangstantennes vaak een lengte van een kwart golflengte. De amplitude is de afstand tussen de top van de golf en de evenwichtsstand. In dit geval is de amplitude dus 0.50 m. De golflengte is de lengte van een golf. In het figuur is de zien dat drie golflengtes samen een lengte hebben van 5.0 m. De golflengte is dus $5.0 / 3 = 1.67 \ m$. Bij de grondtoon past er een halve golflengte op het koord. Bij iedere boventoon komt er een halve golflengte bij. Er zijn zes halve golflengtes te zien, dus dit is de 5de boventoon.  Zie uitwerking hieronderGegeven: $m = 150 \ g = 0.150 \ kg$ $u = 3.00 \ cm = 0.0300 \ m$ Gevraagd: $C$ = ? (N/m) Formule: $F = Cu \longrightarrow C = \frac{F}{u}$Aangezien het blokje stil hangt, is de zwaartekracht gelijk aan de veerkracht. Dus geldt er: $F = mg$ met $g = 9.81 \ m/s^2$ (zie binas T7A) Berekening: $F = 0.150 \cdot 9.81 = 1.47 \ N$$C = \frac{F}{u} = \frac{1.47}{0.0300} = 49 \ N/m$Conclusie: C = 49.0 N/m. Let op: er moest antwoord gegeven worden in drie significante cijfers. Zie uitwerking hieronder:Gegeven: $m = 150 \ g = 0.150 \ kg$ $u = 3.00 \ cm = 0.0300 \ m$ $C = 49.0 \ N/m$Gevraagd: $f$ = ? (Hz) Formule: $f = \frac{1}{T}$$T = 2 \pi \sqrt[]{\frac{m}{C}}$Berekening: $T = 2 \pi \sqrt[]{\frac{m}{C}} = 2 \pi \sqrt[]{\frac{0.150}{49.0}} = 0.35 \ s$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.35} = 2.86 \ Hz%$Conclusie: De eigenfrequentie is 2.86 Hz.  Zie uitwerking hieronderGegeven: In de vraag zijn er nog geen gegevens gegeven, wel is er een grafiek waar de amplitude en de trillingstijd uit afgelezen kan worden.  Gevraagd: $f$ = ? (Hz)Formule: $f = \frac{1}{T}$Berekening: Eerst moet de trillingstijd afgelezen worden. Uit de figuur kan je aflezen dat er drie trillingen worden uitgevoerd in 4.5 s. De trillingstijd is dus $4.5 / 3 = 1.5 \ s$. Let erop dat je altijd zo veel mogelijk trillingen afleest. Eventuele afleesfouten verdeel je zo over meerdere trillingen, waardoor je de trillingstijd preciezer kan bepalen. $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1.5} = 0.67 \ Hz$Conclusie: De frequentie is 0.67 Hz. Deze vraag kan op twee manieren beantwoord worden. Beide manieren zullen hieronder worden uitgewerkt. Manier 1:Gegeven: $T$ = 1.5 s; $f$ = 0.67 HzGevraagd: $v_{max}$ = ? (m\s)Formule: $v_{max} = \frac{2 \pi A}{T}$Berekening: Aflezen amplitude uit figuur: A = 10 cm = 0.10 m $v_{max} = \frac{2 \pi A}{T} = \frac{2 \pi \cdot 0.10}{1.5} = 0.42 \ m/s$Conclusie: De maximale snelheid waarmee het voorwerp trilt in 0.42 m/s. Manier 2: De snelheid van de trilling is maximaal als het voorwerp door de evenwichtsstand beweegt. Door de helling van de raaklijn te bepalen bij de evenwichtsstand, kan je de maximale snelheid berekenen. Zie figuur hieronder: Berekening: $v_{max} = \frac{10 - - 10}{2.3 - 1.82} = 0.42 \ m/s$Conclusie: De maximale snelheid waarmee het voorwerp trilt is 0.42 m/s.De gereduceerde fase geeft aan welk gedeelte van een trilling heeft plaatsgevonden. Op tijdstip t = 1.7 s is de trilling in de uiterste (positieve) stand. Er heeft dus ¼ trilling plaatsgevonden. Het gereduceerde faseverschil is ¼. In het figuur is te zien dat er tussen de golven een gereduceerd faseverschil van 0.5 is. Bij een faseverschil van 0.5 is er sprake van destructieve interferentie. Het voorwerp zal dus niet gaan trillen.   Zie figuur hieronder. Hierin zijn de grondtoon en de eerste 5 boventonen getekend. Bij de 3de boventoon is te zien dat er zich een knoop bevindt op ¼ van de snaar. Dus de 3de boventoon trilt niet mee. De toon met de laagste frequentie, heeft de hoogste golflengte. De toon met de grootste golflengte heeft ook de grootste snaar nodig voor de grondtoon. In deze opgave wordt dus gevraagd naar de lengte van de snaar die de laagste frequentie geeft.  Gegevens:$l_{hoogst}$ = 0.40 m $f_{hoogst}$ = 2093.00 Hz$f_{laagst}$ = 32.70 Hz $n$ = 1 (want grondfrequentie) Gevraagd: $l_{laagst}$ = ? (m) Formule: Aangezien de snaren even dik, strak gespannen en van hetzelfde materiaal gemaakt zijn, zal de golfsnelheid in beide snaren gelijk zijn. Door gebruik te maken van de formule: $v = f \lambda$ kan deze berekend worden. Daarnaast is er sprake van staande golven op een snaar, dus geldt de formule: $l = n \frac{1}{2} \lambda$. Berekening: Golflengte hoogste toon: $l = n \frac{1}{2} \lambda \longrightarrow \lambda = \frac{2l}{n} = \frac {2 \cdot 0.40}{1} = 0.80 \ m$$v = f \lambda = 2093.00 \cdot 0.80 = 1674.4 \ m/s$Golflengte laagste toon: $v = f \lambda \longrightarrow \lambda = \frac{v}{f} = \frac{1674.4}{32.70} = 51.2 \ m$$l = n \frac{1}{2} \lambda = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 51.2 = 25.6 \ m$Conclusie: De lengte van de snaar is 25.6 m, dit is veel groter dan er in een vleugel past.  Het eerste wat je bij dit soort vragen doet, is alle grootheden in de formule vervangen door eenheden. Eventueel kan je hier tabel 4 van je Binas voor gebruiken. Eenheden zet je altijd tussen vierkante haken. Houd de eenheden overzichtelijk door duidelijk een onderscheid te maken in boven de deelstreep en onder de deelstreep. $\frac{[m]}{[s]} = \sqrt[]{\frac{[N] \cdot [m]}{[kg]}}$In deze situatie hebben we te maken met een wortel. Deze werken we weg door beide kanten te kwadrateren $\frac{[m] \cdot [m]}{[s] \cdot [s]} = \frac{[N] \cdot [m]}{[kg]}$Vervolgens kijk je of je eenheden kan wegstrepen of dat er samengestelde eenheden zijn (ook hiervoor kan je tabel 4 gebruiken). In dit geval kunnen we aan beide kanten een $[m]$ wegstrepen. Daarnaast is $[N]$ een samengestelde eenheid. Deze kunnen we anders noteren, namelijk als $\frac{[kg] \cdot [m]}{[s] \cdot [s]}$. $\frac{[m]}{[s] \cdot [s]} = \frac{[N]}{[kg]}$$\frac{[m]}{[s] \cdot [s]} = \frac{[kg] \cdot [m]}{[s] \cdot [s] \cdot [kg]}$Bovenstaande stap herhaal je tot je niet meer verder komt. We kunnen hier dus $[kg]$ boven en onder de deelstreep wegstrepen$\frac{[m]}{[s] \cdot [s]} = \frac{[m]}{[s] \cdot [s]}$Aan beide kanten van het =-teken staan dezelfde eenheden, dus het klopt. Zie uitwerking hieronder.  Gegevens:$l$ = 90 cm = 0.90 m $m$ = 5.7 g = $5.7 \cdot 10^{-3}$ kg $f$ = 220 Hz $n$ = 1 (want grondtoon) Gevraagd: $F_s$ = ? (N) Formules: In de opgave hiervoor heb je een nieuwe formule gekregen. Daarmee weet je zeker dat je die in deze opgave zal moeten gebruiken. Dus: $v = \sqrt[]{\frac{F_s l}{m}}$Hierin is $v$ nog niet gegeven, deze zal nog moeten worden uitgerekend met de formule: $v = \lambda f$. Hierin is $\lambda$ nog niet gegeven. Aangezien er sprake is van een staande golf, geldt de formule: $l = n \frac{1}{2} \lambda$ Berekening:  $l = n \frac{1}{2} \lambda \longrightarrow \lambda = \frac{2l}{n} = \frac {2 \cdot 0.90}{1} = 1.80 \ m$$v = f \lambda = 220 \cdot 1.80 = 396 \ m/s$$v = \sqrt[]{\frac{F_s l}{m}} \longrightarrow v^2 = \frac{F_s l}{m} \longrightarrow F_s = \frac{v^2 m}{l} = \frac{396^2 \cdot 5.7 \cdot 10^{-3}}{0.90} = 993 \ N$Conclusie: $F_s = 9.9 \cdot 10^2 \ N$. In de gegevens is te zien dat zowel de lengte, als massa gegeven zijn in het minste aantal significante cijfers, namelijk 2. De waarde bij $n$ = 1 is een telwaarde. Hier hoeft dus geen rekening mee gehouden te worden in de significantie. Het antwoord moet dus in twee significante cijfers gegeven worden. Bij deze opgave begin je bij de oorspronkelijke formule: $v = \sqrt[]{\frac{F_s l}{m}}$ en wil je toewerken naar $v = \sqrt[]{\frac{F_s}{\rho \cdot A}}$. Hierin is te zien dat de lengte $l$ en massa $m$ niet meer voorkomen. Deze zullen we dus moeten substitueren met een andere formule of wegstrepen. Voor massa is er een andere formule bekend (zie Binas T35C1), namelijk $m = \rho V$. Deze substitueren we in de eerste formule. Hieruit volgt:$v = \sqrt[]{\frac{F_s l}{\rho V}}$$V$ is het volume (de inhoud) van een draad. Een draad heeft de vorm van een cilinder. In Binas T36B vinden we de formule: $V = \pi r^2 h$. Oftewel, de oppervlakte van een cirkel keer de lengte van het draad: $V = A \cdot l$. Deze formule substitueren we in de oorspronkelijke formule. $v = \sqrt[]{\frac{F_s l}{\rho A l}}$Nu is te zien dat de lengte $l$ boven en onder de deelstreep weggestreept kan worden. Dit geeft dan inderdaad de gewenste formule. $v = \sqrt[]{\frac{F_s}{\rho A}}$Om de noot te bepalen, is het nodig om de frequentie van de toon te weten (zie Binas T15C)Gegeven:$l = 80 \ cm = 0.80 \ m$ $d = 0.94 \ mm = 0.94 \cdot 10^{-3} \ m$roestvrij staal, dus $rho = 7.8 \cdot 10^3 \ kg/m^3$ (zie Binas T9)$F_s = 949 \ N$ $ n = 1$ (want grondtoon)Gevraagd: noot = ?, dus $f$ = ? (Hz) Formule: In de opgave hiervoor heb je een nieuwe formule gekregen. Daarmee weet je zeker dat je die in deze opgave zal moeten gebruiken. Dus: $v = \sqrt[]{\frac{F_s}{\rho \cdot A}}$Hierin is $A$ nog niet bekend, deze kan berekend worden door middel van: $A = \pi r^2$, waarin $r = \frac{1}{2}d$. Om bij frequentie te komen kan vervolgens gebruik gemaakt worden van de formule $v = \lambda f \longrightarrow f = \frac{v}{\lambda}$Voor $\lambda$ geldt: $\lambda = \frac{2l}{n}$Berekening:$r = \frac{1}{2}d = \frac{1}{2} 0.94 \cdot 10^{-3} = 4.7 \cdot 10^{-4} \ m$$A = \pi r^2 = \pi \cdot (4.7 \cdot 10^{-4})^2 = 6.94 \cdot 10^{-7} \ m^2$$v = \sqrt[]{\frac{F_s}{\rho \cdot A}} = \sqrt[]{\frac{949}{7.8 \cdot 10^3 \cdot 6.94 \cdot 10^{-7}}} = 418.7 \ m/s$$\lambda = \frac{2l}{n} = \frac{2 \cdot 0.80}{1} = 1.60 \ m$ $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{418.7}{1.60} = 261.7 \ Hz$. Conclusie: De toon heeft een frequentie van 261.7 Hz. Opzoeken in Binas T15C geeft dat deze frequentie hoort bij de toon c1.