Getal en Ruimte 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 8 - Ruimtemeetkunde oefentoetsen & antwoorden

Een piramide Gebruik de hokjes van het ruitjespapier, die zijn 1 bij 1 centimeter.Teken eerst zijde $AB$ van 5 cm lang.Teken vervolgens zijde $BF$ van 3 cm lang. Teken $EF$ van 5 cm lang en maak de rechthoek af. Teken nu het zijvlak. $BC$ is 4 centimeter lang, neem voor de diepte ongeveer de helft van de echte lengte en eindigt op een roosterpunt. Teken dus nu één vakje omhoog en twee naar rechts. Teken $FG$ op dezelfde manier en verbind $C$ en $G$.Teken het bovenvlak door vanuit $E$ ribbe $EH$ te tekenen, 2 naar rechts en één omhoog. Verbind $H$ met $G$.Teken de overige ribben als stippellijnen, deze kun je namelijk eigenlijk niet zien. Teken vanuit $A$ weer een ribbe van 2 naar rechts en 1 omhoog. Verbind tot slot de punten $H$ en $D$, en de punten $C$ en $D$.Antwoord: De inhoud van een balk berekenen met de formule: $I=lengte\times breedte \times hoogte$$I=5\times 4\times 3=60 cm^3$Gebruik het volgende schema om om te rekenen.$60 cm^3=60 ml$Van milliliter naar liter is drie keer delen door 10.$60:10:10:10=0,06 L$Antwoord: 0,06 L Stap 1: Teken een cirkel met straal 4,5 cm met je passer. Stap 2: Teken in deze cirkel een middellijn.Stap 3: Teken een cirkel met straal 2 op de middellijn die raakt aan het linkerdeel van de cirkel.Antwoord: De figuur is een prisma.Stap 1: We berekenen eerst de oppervlakte van het grondvlak en bovenvlak.Schets het grondvlak en zet de maten die je weet erbij.Om de oppervlakte van dit figuur te berekenen kunnen we twee dingen doen. Manier 1: inlijstenTeken een vierkant om de figuur. Bereken eerst de oppervlakte van het vierkant.opp vierkant=lengte⋅breedte=90⋅90=8100 cm2opp\ vierkant=lengte\cdot breedte=90\cdot 90=8100\ cm^2opp vierkant=lengte⋅breedte=90⋅90=8100 cm2Bereken vervolgens de oppervlakte van de driehoek die je nu te veel rekent.opp driehoek=12⋅zijde⋅hoogte=12⋅65⋅65=2112,5 cm2opp\ driehoek=\frac{1}{2}\cdot zijde\cdot hoogte=\frac{1}{2}\cdot 65\cdot 65=2112,5\ cm^2opp driehoek=21​⋅zijde⋅hoogte=21​⋅65⋅65=2112,5 cm2De oppervlakte van de figuur is nu opp=8100−2112,5=5987,5 cm2opp=8100-2112,5=5987,5\ cm^2opp=8100−2112,5=5987,5 cm2Manier 2: opdelen Deel de figuur op in vormen waarvan je wel de oppervlakte kunt berekenen.Deel 1 is een rechthoek, opp rechthoek=lengte⋅breedteopp\ rechthoek=lengte\cdot breedteopp rechthoek=lengte⋅breedteopp 1=90⋅25=2250 cm2opp\ 1=90\cdot 25=2250\ cm^2opp 1=90⋅25=2250 cm2Deel 2 is een rechthoek, opp rechthoek=lengte⋅breedteopp\ rechthoek=lengte\cdot breedteopp rechthoek=lengte⋅breedteopp 2=65⋅25=1625 cm2opp\ 2=65\cdot 25=1625\ cm^2opp 2=65⋅25=1625 cm2Deel 3 is een driehoek, opp driehoek=12⋅zijde⋅hoogteopp\ driehoek=\frac{1}{2}\cdot zijde\cdot hoogteopp driehoek=21​⋅zijde⋅hoogteopp 3=12⋅65⋅65=2112,5 cm2opp\ 3=\frac{1}{2}\cdot 65\cdot 65=2112,5\ cm^2opp 3=21​⋅65⋅65=2112,5 cm2De oppervlakte van de gehele figuur is de oppervlakte van alle delen opgeteld: 2250+1625+2112,5=5987,5cm22250+1625+2112,5=5987,5 cm^22250+1625+2112,5=5987,5cm2De oppervlakte van het grondvlak en het bovenvlak is 5987,5cm25987,5 cm^25987,5cm2Stap 2: Vervolgens de oppervlakte van de zijvlakken.We beginnen met zijvlakken AELFAELFAELF en EDKLEDKLEDKLDeze zijvlakken zijn even groot.opp rechthoek=lengte×breedteopp\ rechthoek=lengte\times breedteopp rechthoek=lengte×breedteopp AELF=opp EDKL=90×55=4950cm2opp\ AELF=opp\ EDKL=90\times 55=4950cm^2opp AELF=opp EDKL=90×55=4950cm2Ook de zijvlakken ABGFABGFABGF en CDKHCDKHCDKH zijn even groot. opp rechthoek=lengte×breedteopp\ rechthoek=lengte\times breedteopp rechthoek=lengte×breedteopp ABGF=opp CDKH=25×55=1375cm2opp\ ABGF=opp\ CDKH=25\times 55=1375cm^2opp ABGF=opp CDKH=25×55=1375cm2Tot slot vlak BCHGBCHGBCHGopp rechthoek=lengte×breedteopp\ rechthoek=lengte\times breedteopp rechthoek=lengte×breedteopp BCHG=91,9×55=5054,5cm2opp\ BCHG =91,9\times 55=5054,5cm^2opp BCHG=91,9×55=5054,5cm2Stap 3: Tel de oppervlakten van alle vlakken op.5054,5+1375+1375+4950+4950+5987,5+5987,5=29679,5 cm25054,5+1375+1375+4950+4950+5987,5+5987,5=29679,5\ cm^25054,5+1375+1375+4950+4950+5987,5+5987,5=29679,5 cm2Antwoord: 29679,5 cm229679,5\ cm^229679,5 cm2 Stap 1: Bereken de lengten van de zijden van het vlak. AB=4 cmAB=4\ cmAB=4 cm dit kun je aflezen. De lengte van BGBGBG moet je berekenen, hiervoor teken je eerst zijvlak BCGFBCGFBCGF.Gebruik het schema. We weten de twee rechthoekszijden. We kwadrateren ze en vullen ze in. Tel de rechthoekszijden op.We weten nu de sz2sz^2sz2. Het kwadraat werken we weg met de wortel. sz=80=9sz=\sqrt{80}=9sz=80​=9De lengte van BG=9 cmBG=9\ cmBG=9 cmStap 2: We tekenen een rechthoek van 4 cm bij 9 cm. Let op de hoekpunten en de lengte van de zijden.Antwoord:Gebruik de verlengde stelling van Pythagoras.Stap 1: Kijk over welke drie ribben je van EEE naar CCC kunt. Dit zijn je rechthoekszijden.EA,AB,BCEA, AB, BCEA,AB,BC bijvoorbeeld. Vul de lengte van deze zijden in in de Pythagorastabel.Stap 2: Gebruik de PythagorastabelKwadrateer de rechtehoekszijden Tel de zijden bij elkaar op.Trek de wortel van de uitkomst.sz=96=9,8sz=\sqrt{96}=9,8sz=96​=9,8Antwoord: 9,8 centimeter EEE ligt ten opzichte van de xxx-as even ver als punt AAA, EEE heeft dus ook xxx-coördinaat 8.EEE ligt ten opzichte van de yyy-as even ver als punt BBB, EEE heeft dus net als BBB y-coördinaat 12. EEE ligt 3,75 meter boven de grond, dus de zzz-coördinaat van EEE is 3,75.(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) geeft (8,12;3,75)(8,12; 3,75)(8,12;3,75)Antwoord: (8,12;3,75)(8,12; 3,75)(8,12;3,75)Schets eerst voorgevel BCFJEBCFJEBCFJE.Stap 1: We hebben een rechthoekige driehoek nodig om een hoek te kunnen berekenen met behulp van SOSCASTOA. We tekenen hiervoor hulplijn EKEKEK loodrecht op de stippellijn door hoek JJJStap 2: Gebruik de maten die je weet om de lengten van de zijden van de driehoek te berekenen.JK=7,5−3,75=3,75JK=7,5-3,75=3,75JK=7,5−3,75=3,75EK=8:2=4EK=8:2=4EK=8:2=4Stap 3: Gebruik SOSCASTOA om de helft van hoek JJJ te berekenen. We weten de aanliggende en overstaande zijde dus we gebruiken TOA.tan⁡(half J)=overstaandeaanliggende\tan(half\ J)=\frac{overstaande}{aanliggende}tan(half J)=aanliggendeoverstaande​tan⁡(half J)=43,75\tan(half\ J)=\frac{4}{3,75}tan(half J)=3,754​half J=tan⁡−1(43,75)=46,84…∘half\ J=\tan^{-1}(\frac{4}{3,75})=46,84…^\circhalf J=tan−1(3,754​)=46,84…∘Heel hoek JJJ is dus 2×46,84…=94∘2\times 46,84…=94^\circ2×46,84…=94∘Antwoord: 94∘94^\circ94∘ De inhoud van een cilinder berekenen we met de formule $inhoud\ cilinder=oppervlakte\ grondvlak\times hoogte$Het grondvlak heeft een vorm van een cirkel dus $opp\ grondvlak=\pi\times straal^2$De oppervlakte van het grondvlak kunnen we berekenen: $opp\ grondvlak=\pi\times 1,10^2=3,80…m^2$Verder weten we dat de inhoud 10000 liter is. De oppervlakte van het grondvlak hebben we nu in vierkante meters berekend, terwijl liter gelijk aan kubieke decimeter is. We rekenen dus eerst de oppervlakte van het grondvlak om naar vierkante decimeters. $3,80…m^2=380,13…dm^2$Nu vullen we in de inhoudsformule in wat we weten.$10000=380,13…\times hoogte$Om de hoogte te berekenen delen we de inhoud door de oppervlakte van het grondvlak.$10000:380,13…=26,30… \ dm$We moeten het antwoord geven in meters, hiervoor delen we één keer door 10, dit geeft 2,63 meter.Antwoord: 2,63 meter.Voor inhoudvergroting gebruiken we de volgende formule:$inhoud\ beeld=vergrotingsfactor^3\times inhoud\ origineel$We vullen de vergrotingsfactor en de inhoud van het origineel in.$inhoud\ beeld=1,68^3\times 10000=47416,32\ liter$Antwoord: 47416,32 liter