Overal Natuurkunde 5.1 ed - Hoofdstuk 8 - Hemelmechanica oefentoetsen & antwoorden

Aangezien alle hemellichamen rond de aarde lijken te bewegen, veronderstelden ze vroeger dat de aarde het middelpunt van het heelal was. Dit noem je het geocentrisch wereldbeeld. De sterrenkundige Copernicus kwam met een beter model: het heliocentrisch wereldbeeld:De aarde draait om haar asDe zon is het middelpunt van het heelalDe aarde en de andere planeten draaien in cirkelbanen rond de zonMet de volgende formule kan de gravitatiekracht worden berekend: $F_g = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2}$Hierin is: $F_g$ is de gravitatiekracht in newton (N)$G$ is de gravitatieconstante: $6.67430 \cdot 10^{-11}$ N m2 kg-2$m$ is de massa van voorwerp 1 in kilogram (kg)$M$ is de massa van voorwerp 2 in kilogram (kg)$r$ is de afstand tussen de zwaartepunten van de voorwerpen in meter (m)Een komeet is een licht hemellichaam dat bestaat uit een klomp ijs en vast koolstofdioxide met stukjes gesteente en stof erin en dat verdampt wanneer het te dicht bij de zon komt. Met de volgende formule kan de gravitatie-energie worden berekend: $E_g = -G \cdot \frac{m \cdot M}{r}$Hierin is: $E_g$ is de gravitatie-energie in Joule (J) $G$ is de gravitatieconstante: $6.67430 \cdot 10^{-11}$ N m2 kg-2$m$ is de massa van het voorwerp in kilogram (kg) $M$ is de massa van de planeet in kilogram (kg)$r$ is de afstand tussen het voorwerp en de planeet in meter (m)Een open baan is een mogelijke baan van een voorwerp in het gravitatieveld van de zon waarbij de totale energie positief of nul is.Een gesloten baan is een mogelijke baan van een voorwerp in het gravitatieveld van de zon waarbij de totale energie negatief is.  Het juiste antwoord is antwoord A. Hieronder wordt een toelichting gegeven:De formule om de baansnelheid te berekenen is: $V_{baan} = \frac{2 \pi \cdot r}{T}$De formule om de gravitatiekracht te berekenen is: $F_g = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2}$De formule om de middelpuntzoekende kracht te berekenen is: $F_{mpz} = \frac{mv^2}{r}$Wanneer de gravitatiekracht en de middelpuntzoekende kracht aan elkaar worden gelijk gesteld krijgen we de volgende vergelijking: $F_g = F_{mpz}$$G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$Invullen van $V_{baan}$ in de formule van $F_{mpz}$ levert de volgende vergelijking op:$G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} = \frac{m \cdot (\frac{2 \pi r}{T})^2}{r}$Haakjes wegwerken aan de rechterkant levert de volgende vergelijking op: $G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} =\frac{m \cdot \frac{4 \pi^2 \cdot r^2}{T^2}}{r}$ herleiden naar $G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} = \frac{m \cdot 4 \pi^2}{T^2}$Beide kanten met $r^2$ vermenigvuldigen levert de volgende vergelijking op: $G \cdot m \cdot M = \frac{m \cdot 4 \pi^2 \cdot r^3}{T^2}$De planeet massa (kleine $m$) valt weg aan beide kanten. Beide kanten delen door $4 \pi^2$ levert de volgende vergelijking op: $\frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4 \pi^2}$Met bovenstaande vergelijking kan de baansnelheid worden berekend. De gravitatiekracht moet dus worden gelijkgesteld aan de middelpuntzoekende kracht. Antwoord A was hier dus het juiste antwoord. Let op dat je ook zelf deze afleiding in formules kunt maken. Gebruik het kader aan het begin van deze toets om deze vraag te beantwoorden. Gegevens: $r = 6.371 \cdot 10^6 + 36 \cdot 10^6 = 42 \cdot 10^6$ m$G = 6.67430 \cdot 10^{-11}$ N m2 kg-2$M = 5.972 \cdot 10^{24}$ kgGevraagd:$T =$ ?Formule: $\frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4 \pi^2}$ omschrijven naar $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$Berekening: $T^2 = \frac{4 \pi ^2 r^3}{GM} = \frac{4 \pi ^2 \cdot (42 \cdot 10^6)^3}{ 6.67430 \cdot 10^{-11} \cdot 5.972 \cdot 10^{24}} = 7.53 \cdot 10^9$$T = \sqrt{7.53 \cdot 10^9} = 8.7 \cdot 10^4$ sConclusie:De berekende omlooptijd komt overeen met $\frac{8.6 \cdot 10^4}{3.60 \cdot 10^3} = 24$ uur en is de tijd waarin de aarde één keer rond zijn as draait. De conclusie die getrokken kan worden is dus dat de baan geostationair is. Als Elysium even groot lijkt als de maan, moeten de twee gegeven driehoeken gelijkvormig zijn. Er geldt dan voor de hoogte waarop Elysium zich moet bevinden:$\frac{D_M}{D_{Elysium}} = \frac{h_m}{h_{Elysium}} = \frac{3.5 \cdot 10^6}{64 \cdot 10^3} = \frac{3.8 \cdot 10^8}{h_{Elysium}}$$h_{Elysium} = \frac{3.8 \cdot 10^8 \cdot 64 \cdot 10^3}{3.5 \cdot 10^6} = 6.9 \cdot 10^6$ m$h_{Elysium} = 6.9 \cdot 10^3$ kmConclusie: $h_{Elysium}$ is lager dan de geostationaire baan Het juiste antwoord is antwoord II.Toelichting: Een bewoner in de ring ervaart hierdoor wel een normaalkracht waardoor het lijkt alsof hij op het aardoppervlak staat. Deze normaalkracht werkt als middelpuntzoekende kracht. Dus geldt er $F_N = F_{mpz}$. De normaalkracht is altijd naar boven toe gericht. In afbeelding II is enkel en alleen de normaalkracht getekend van de bewoner zoals is aangegeven in de opgave. Gebruik het kader aan het begin van deze toets om deze vraag te beantwoorden. Gegevens: $r = 32 \cdot 10^3$ m$T = \frac{360 \cdot 3.2}{3.0} = 384$ sGevraagd:$v =$ ?Formule: $v = \frac{2 \pi r}{T}$Berekening: $v = \frac{2 \pi r}{T} = \frac{2 \pi \cdot 32 \cdot 10^3}{384} = 5.2 \cdot 10^2$ m/sConclusie:De berekende snelheid ($5.2 \cdot 10^2$ m/s) is minder dan de benodigde snelheid ($5.8 \cdot 10^2$ m/s).  Gebruik het kader aan het begin van deze toets om deze vraag te beantwoorden. Gegevens: De naaldjes zijn gemaakt van koper, dus de dichtheid van koper moet worden opgezocht in Binas Tabel 9. $p_{koper} = 8.96 \cdot 10^3$ kg/m3 $I = 1.8$ cm $= 0.018$ m$m = 40$ µg $= 40 \cdot 10^{-9}$ kgGevraagd:$d =$ ?Formule: $m = p \cdot l \cdot A$$A = \frac{1}{4} \pi d^2$Dus de formule wordt dan: $m = p \cdot l \cdot \frac{1}{4} \pi d^2$Berekening: Invullen van de formule $m = p \cdot l \cdot \frac{1}{4} \pi d^2$ levert de volgende vergelijking op:$40 \cdot 10^{-9} = 8.96 \cdot 10^3 \cdot 0.018 \cdot \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot d^2$Dat wiskundig oplossen:$40 \cdot 10^{-9} = 126.669 \cdot d^2$$126.669 \cdot  d^2 = 40 \cdot 10^{-9}$$d^2 = \frac{40 \cdot 10^{-9}}{126.669} = 3.1578 \cdot 10^{-10}$ m $d = \sqrt{3.1578 \cdot 10^{-10}} = 1.8 \cdot 10^{-5}$ m $= 18$ µmConclusie:De diameter van een naaldje is $18$ µm en de diameter van een mensenhaar is $50$ µm. Een naaldje is dus dunner dan een mensenhaar. Er wordt in totaal $\frac{2.0 \cdot 10^4}{8} = 2500$ byte per seconde verbruikt. Omrekenen van byte naar megabyte: $2500$ byte per seconde $= 2.5 \cdot 10^{-3}$ megabyte per seconde.Voor een foto van $5$ megabyte is dan $\frac{5}{2.5 \cdot 10^{-3}} = 2 \cdot 10^3$ s $= 0.6$ uur nodig. Gegevens: $G = 6.67430 \cdot 10^{-11}$ N m2 kg-2$M = 5.972 \cdot 10^{24}$ kg$h = 3.70 \cdot 10^6$ m$r_{aarde} = 6.371 \cdot 10^6$ mGevraagd:$T =$ ?Formules:$v = \sqrt{G \cdot \frac{M}{r}}$$r = h + r_{aarde}$$v = \frac{2 \pi r}{T}$ omschrijven naar $T = \frac{2 \pi r}{v}$Berekening: Stap 1 - Berekenen van de straal:$r = h + r_{aarde} = 3.70 \cdot 10^6 + 6.371 \cdot 10^6 = 10.071 \cdot 10^6$ mStap 2 - Berekenen van de snelheid:$v = \sqrt{G \cdot \frac{M}{r}} = \sqrt{6.67430 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{ 5.972 \cdot 10^{24}}{10.071 \cdot 10^6}} = 6.291 \cdot 10^3$ m/s Stap 3 - Berekenen van de omlooptijd:$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi \cdot 10.071 \cdot 10^6}{6.291 \cdot 10^3} = 1.01 \cdot 10^4$ s Conclusie:De omlooptijd van een naaldje is dus $1.01 \cdot 10^4$ sDe juiste antwoorden worden hieronder weergegeven. Zin 1: de naaldjes bevonden zich lager dan de geostationaire baan. Zin 2: de middelpuntzoekende kracht op een naaldje was gelijk aan de gravitatiekracht op een naaldje. Toelichting: Er waren veel naaldjes nodig om gedurende langere tijd signalen te kunnen versturen. Een enkel naaldje was maar kort binnen bereik van de zender op aarde. Dit was omdat de omlooptijd van een naaldje om de aarde korter was dan de tijd Taarde die de aarde nodig heeft voor een rotatie om haar eigen as.De naaldjes bevonden zich dus lager dan de geostationaire baan. Hierdoor geldt de volgende vergelijking: Fmpz = Fg waarin dus de middelpuntzoekende kracht gelijk is aan de gravitatiekracht op de naaldjes. Gebruik het kader aan het begin van deze toets om deze vraag te beantwoorden. Gegevens: $r = 6.371 \cdot 10^3$ kmGevraagd:Het gemiddelde aantal naaldjes per km2 = ?Formule: $A = 4 \pi r^2$Berekening: $A = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (6.371 \cdot 10^3)^2 = 5.101 \cdot 10^8$ km2Het gemiddelde aantal naaldjes per km2 is dan $\frac{480 \cdot 10^6}{0.20 \cdot 5.101 \cdot 10^8} = 4.7$Conclusie: Er komen gemiddeld $4.7$ naaldjes per km2.