Kern Wiskunde A/C deel 2 - Hoofdstuk 5 - Machten, exponenten en logaritmen oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is fout. De grafiek is puntsymmetrisch in de oorsprong.Deze bewering is juist.Deze bewering is fout. De exponent van een macht kan negatief zijn, dus de logaritme van een getal kan ook negatief zijn. $y={{\left( \frac{81{{x}^{1.3}}}{27{{x}^{-1.4}}} \right)}^{3}}\cdot 2{{x}^{1.7}}$ $y={{\left( 3{{x}^{2.7}} \right)}^{3}}\cdot 2{{x}^{1.7}}$ :$\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}$$y={{3}^{3}}\cdot {{\left( {{x}^{2.7}} \right)}^{3}}\cdot 2{{x}^{1.7}}$ :${{\left( ab \right)}^{m}}={{a}^{m}}{{b}^{m}}$$y=27\cdot {{x}^{8.1}}\cdot 2{{x}^{1.7}}$ :${{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{mn}}$en ${{3}^{3}}=27$$y=54{{x}^{9.8}}$ :${{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$$y=\frac{6x}{\sqrt[5]{32x}}$ $y=\frac{6x}{{{\left( 32x \right)}^{\tfrac{1}{5}}}}$ :$\sqrt[n]{a}={{a}^{\tfrac{1}{n}}}$$y=\frac{6x}{{{32}^{\tfrac{1}{5}}}\cdot {{x}^{\tfrac{1}{5}}}}$ :${{\left( ab \right)}^{m}}={{a}^{m}}{{b}^{m}}$$y=\frac{6x}{2\cdot {{x}^{\tfrac{1}{5}}}}$:${{32}^{\tfrac{1}{5}}}=2$$y=3{{x}^{^{\tfrac{4}{5}}}}$ :$\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}$en $\frac{6}{2}=3$${{\left( 2{{m}^{3}}{{n}^{-1}} \right)}^{-4}}$ :${{\left( ab \right)}^{m}}={{a}^{m}}{{b}^{m}}$$={{2}^{-4}}{{\left( {{m}^{3}} \right)}^{-4}}{{\left( {{n}^{-1}} \right)}^{-4}}$:${{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{mn}}$$={{2}^{-4}}{{m}^{-12}}{{n}^{4}}$:${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$$=\frac{1}{{{2}^{4}}}\cdot \frac{1}{{{m}^{12}}}\cdot {{n}^{4}}$:${{2}^{4}}=16$$=\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{{{m}^{12}}}\cdot {{n}^{4}}$$=\frac{{{n}^{4}}}{16{{m}^{12}}}$$8\cdot {{s}^{\tfrac{4}{5}}}\cdot {{t}^{-3}}$:$\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{\tfrac{m}{n}}}$ en ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$$=8\cdot \sqrt[5]{{{s}^{4}}}\cdot \frac{1}{{{t}^{3}}}$ Van $t=31$ naar $t=116$ neemt $N$ toe van $172$ naar $1403$. De groeifactor per $116-31=85$ tijdseenheden is ${{g}_{85}}=\frac{1403}{172}$De groeifactor per één tijdseenheid is dan $g={{\left( \frac{1403}{172} \right)}^{\frac{1}{85}}}=1.0250\ldots $We ronden nog niet af, want we moeten nog verder rekenen met het tussenantwoord.We hebben nu $N=b\cdot 1.0250{{\ldots }^{t}}$. Voor het berekenen van de $b$ hebben we een punt op de grafiek, dus een $t$ met bijbehorende $N$, nodig. We kunnen er twee aflezen uit de figuur. Het maakt niet uit welke we kiezen, want beide punten liggen op de grafiek. We kiezen de eerste: $N=172$ voor $t=31$. $t=31$ en $N=172$ invullen in $N=b\cdot 1.0250{{\ldots }^{t}}$ geeft:$172=b\cdot 1.0250{{\ldots }^{31}}$Dus $b=\frac{172}{1.0250{{\ldots }^{31}}}=79.999\ldots $De formule is $N=80\cdot {{1.025}^{t}}$ Een toename van 2.2% geeft een factor van 1.022We hebben te maken met een verdubbeling, dus gaan we de vergelijking ${{1.022}^{x}}=2$ oplossen.GR: Invoer:  ${{Y}_{1}}={{1.022}^{X}}$ en ${{Y}_{2}}=2$Optie: Calc $\to $  intersect geeft $X=31.85\cdots $De verdubbelingstijd is 32 dagen.Een halveringstijd van 3.2 dagen geeft ${{g}^{3.2}}=\tfrac{1}{2}$.De vergelijking oplossen geeft:${{g}^{3.2}}=\tfrac{1}{2}$$g={{\left( \tfrac{1}{2} \right)}^{\frac{1}{3.2}}}$$g=0.805\cdots $De procentuele afname is $\left( 1-0.805\cdots  \right)\cdot 100%\approx 19.5%$ per dag. Bij Expo Union hoort een exponentieel verband met een beginwaarde van 28000 en een groeifactor van 1.06 per jaar.${{S}_{E}}=28000\cdot {{1.06}^{t}}$Bij Linea Recta hoort een lineair verband met een beginwaarde van 38000 en een toename van 1200 per jaar.${{S}_{L}}=38000+1200t$Expo Union:${{S}_{E}}=28000\cdot {{1.06}^{5}}\approx 37470.32$Linea Recta${{S}_{L}}=38000+1200\cdot 5=44000$Je verdient na vijf jaar het meest bij Linea Recta. We moeten de ongelijkheid ${{S}_{E}}>{{S}_{L}}$ , oftewel $28000\cdot {{1.06}^{t}}>38000+1200t$ oplossen.We gaan eerst de vergelijking $28000\cdot {{1.06}^{t}}=38000+1200t$ oplossen.GR: Invoer:  ${{Y}_{1}}=28000\cdot {{1.06}^{X}}$ en ${{Y}_{2}}=38000+1200X$Optie: Calc $\to $  intersect geeft $X=9.916\cdots $We maken een schets.Na 10 jaar verdien je bij Expo Union meer dan bij Linea Recta. $A$ is in honderden meters. Een afstand van $250$ meter geeft dus $A=2.5$ Invullen van $A=2.5$geeft:$G=94\cdot {{\left( 0.57 \right)}^{\frac{2.5+2}{3}}}\approx 40$ dB $G=30$ geeft de vergelijking $30=94\cdot {{\left( 0.57 \right)}^{\frac{A+2}{3}}}$We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer:   ${{Y}_{1}}=94\cdot {{\left( 0.57 \right)}^{\frac{X+2}{3}}}$ ${{Y}_{2}}=30$Optie: Calc $\to $  intersect geeft $X=4.095\cdots $Uitkomst: De afstand is dus $410$meter. $G=94\cdot {{\left( 0.57 \right)}^{\frac{A+2}{3}}}$$G=94\cdot {{\left( 0.57 \right)}^{\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}}}$$G=94\cdot {{\left( 0.57 \right)}^{\frac{2}{3}}}\cdot {{\left( 0.57 \right)}^{\frac{1}{3}A}}$$G=94\cdot {{\left( 0.57 \right)}^{\frac{2}{3}}}\cdot {{\left( {{\left( 0.57 \right)}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{A}}$$G\approx 64.622\cdot {{\left( 0.829 \right)}^{A}}$Halveren, dus ${{0.83}^{A}}=0.5$We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer:   ${{Y}_{1}}={{0.83}^{X}}$ ${{Y}_{2}}=0.5$Optie: Calc $\to $  intersect geeft $X=3.720\cdots $Uitkomst: De afstand moet $372$ meter toenemen.De afstand neemt met $200$ meter toe. We vervangen $A$ door $A+2$. We krijgen $G=65\cdot {{0.83}^{A+2}}$Dit is te herleiden tot:$G=65\cdot {{0.83}^{A+2}}$$G={{0.83}^{2}}\cdot 65\cdot {{0.83}^{A}}$$G=0.6889\cdot 65\cdot {{0.83}^{A}}$De afname is dus $\left( 1-0.6889 \right)\cdot 100%\approx 31.1%$ In 2000 waren er 15.9 miljoen inwoners.In 2022 waren er 17.6 miljoen inwoners.De groeifactor per 22 jaar is dan:${{g}_{22\text{ jaar}}}=\frac{17.6}{15.9}$Dit geeft een groeifactor per jaar van:${{g}_{1\text{ jaar}}}={{\left( \frac{17.6}{15.9} \right)}^{\frac{1}{22}}}=1.00462\ldots $Dit is een groei van $\left( 1.00462\ldots -1 \right)\cdot 100%\approx 0.5%$ per jaarVerdubbelen, dus we willen weten wanneer ${{1.005}^{t}}=2$.We gebruiken de grafische rekenmachine om deze vergelijking op te lossen.GR: Invoer:  ${{Y}_{1}}={{1.005}^{X}}$ en ${{Y}_{2}}=2$Optie: Calc $\to $  intersect geeft $X=150.12\cdots $Een verdubbeling van de bevolking duurt 151 jaar. De formule is van de vorm $N=b\cdot {{g}^{t}}$ , want het is een rechte lijn en een logaritmische schaalverdeling.We beginnen met de groeifactor.Twee “mooie” punten aflezen. Bijvoorbeeld $\left( 0.50 \right)$en $\left( 20.5000 \right)$.Nu:${{g}_{\text{20 dagen}}}=\frac{5000}{50}\Rightarrow {{g}_{\text{1 dag}}}={{\left( \frac{5000}{50} \right)}^{\frac{1}{20}}}=1.258\cdots $$N=b\cdot 1.258{{\cdots }^{t}}$We zien dat beginwaarde 50 is, immers de grafiek begint bij $\left( 0.50 \right)$.$N\approx 50\cdot {{1.259}^{t}}$