Getal en Ruimte 13e ed deel 1 - Hoofdstuk 2 - Gelijkvormigheid oefentoetsen & antwoorden

Om gelijkvormigheid aan te tonen zoek je twee hoeken die de twee driehoeken gemeen hebben. In $\triangle BEC$ is $\angle E=90^{\circ}$. In $\triangle ADC$ is $\angle D=90^{\circ}$. Dus $\angle E=\angle D$ ($90^\circ$)$\angle C=\angle C$ (Dit is logisch want hoek $C$ ligt in beide driehoeken)Dus $\triangle ADC \sim \triangle BEC$. Stap 1: Zoek gelijke hoeken.$\angle B=\angle E$ (beide rechte hoeken)$\angle C=\angle C$ (overstaande hoeken)Als twee hoeken in twee driehoeken gelijk zijn, weten we dat de derde ook gelijk moet zijn. Stap 2: Schrijf de gelijkvormigheid juist op.Dus $\triangle ABC$ is een vergroting van $\triangle DEC$Zorg ervoor dat hoeken die gelijk zijn op dezelfde plek staan. Hoek $A$ is gelijk aan hoek $D$ dus staan deze beide op dezelfde plek. Hoek $B$ is gelijk aan hoek $E$ dus staan deze beide op de tweede plek. Hoek $C$ is gelijk aan hoek $C$ dus deze staan op de derde plek. $\triangle ABC \sim \triangle DEC (hh)$Antwoord: $\triangle ABC \sim \triangle DEC (hh)$ We beginnen in de eerste twee kolommen, hier hebben we maar één variabele, dat is $x$. De laatste twee kolommen hebben we twee variabelen, $x$ en $y$ dus die kunnen we niet gebruiken.Stap 1: We gaan kruislings vermenigvuldigen.$(x+5)8=3\cdot 6x$ (diagonalen keer elkaar aan elkaar gelijkstellen)$8x+40=18x$ (haakjes uitwerken)$-10x=-40$ (alle getallen met $x$ naar links en alle losse getallen naar rechts)$x=4$ (beide kanten delen door $-10$Stap 2: Vul de uitkomst van $x$ in in de tabel. Nu kunnen we ook $y$ berekenen, we hebben niet meer twee variabelen in de laatste twee kolommen.We gaan weer kruislings vermenigvuldigen.$24\cdot 5=8(y-1)$ (diagonalen keer elkaar aan elkaar gelijkstellen)$120=8y-8$ (haakjes uitwerken)$-8y=-128$ (losse getallen naar rechts, getallen met $y$ naar links)$y=16$ (delen door $-8$)Antwoord: $x=4$ en $y=16$ Gelijke tekens betekent gelijke hoeken.$\angle P=\angle C$$\angle Q =\angle A$$\angle R =\angle B$Vul in.Zorg ervoor dat hoeken die gelijk zijn op dezelfde plek staan. Hoek $P$ is gelijk aan hoek $C$ dus staan deze beide op dezelfde plek. Hoek $Q$ is gelijk aan hoek $A$ dus staan deze beide op de tweede plek. Hoek $R$ is gelijk aan hoek $B$ dus deze staan op de derde plek. $\triangle PQR \sim \triangle CAB$ Antwoord: $\triangle PQR \sim \triangle CAB$ Stap 1: Maak een verhoudingstabel.$PQ$ en $AC$ zijn overeenkomende zijden. Zijde $QR$ en zijde $AB$ zijn ook overeenkomende zijden. Zet overeenkomende zijden onder elkaar. Vul de lengten in die je weet. Stap 2: Gebruik kruislings vermenigvuldigen om de gevraagde zijde te berekenen.$PQ=\frac{3\cdot 2}{5}=1.2$Antwoord: $PQ=1.2$ Stap 1: Toon gelijkvormigheid aan.$\angle E=\angle I$ (Z-hoeken)$\angle F=\angle H$ (Z-hoeken)Dus $\triangle EFG \sim \triangle IHG$ (hh) Let op dat je gelijke hoeken op gelijke plekken zet!Stap 2: Maak een verhoudingstabel. Vul in wat je weet. We kunnen nog niet kruislings vermenigvuldigen omdat we nog te weinig weten. Dit kunnen we oplossen door een zijde gelijk te stellen aan $x$. We stellen, $GI$, de zijde die we willen weten gelijk aan $x$, dan is $GE=25-x$Stap 3: Kruislings vermenigvuldigen.Met kolom 1 en 3 kunnen we kruislings vermenigvuldigen. $9x=16(25-x)$$9x=400-16x$ (haakjes uitwerken)$25x=400$ (alle waarden met $x$ naar links)$x=16$Antwoord: $GI=16$ We willen $x$ weten om de totale hoogte van het gebouw te kunnen berekenen.Stap 1: Maak een verhoudingstabel.Stap 2: Kruislings vermenigvuldigen. We gaan kruislings vermenigvuldigen in de eerste twee kolommen omdat hier $x$ in staat. $x=\frac{30\cdot 32}{12}=80$$x=80$Stap 3: Bereken de hoogte van het complex.$30+80+40=150$ decimeter.Antwoord: 150 decimeter.Stap 1: Vul de gevonden $x$-waarde van b in in de verhoudingstabel.Bereken $y$ door opnieuw kruislings te vermenigvuldigen.$y=\frac{32\cdot 40}{80}=16$Stap 2: Bereken de lengte van de schaduw.$12+32+16=60$Antwoord: 60 decimeter.  Stap 1: Zoek gelijkvormige driehoeken in de figuur en toon de gelijkvormigheid aan.$\angle D=\angle C$ (F-hoeken, dit zien we aan de evenwijdigheid van $DE$ aan $CB$)$\angle A=\angle A$ Als twee hoeken in twee driehoeken gelijk zijn, weten we dat de derde ook gelijk zijn. Dus $\triangle ACB$ is een vergroting van $\triangle ADE$ (gelijke hoeken op dezelfde plekken)$\triangle ACB \sim \triangle ADE$ (hh)Stap 2: Teken een tabel. Zet gelijkvormige zijden onder elkaar.Zet de grootste driehoek op de bovenste rij.Vul de maten in die je weet.Stap 3: Bereken CB.Gebruik kruislings vermenigvuldigen. $CB=\frac{9\cdot 3}{4}=6.75$Antwoord: $CB=6.75$ We willen de lengte van $AB$ berekenen. Hiervoor kunnen we de gelijkvormigheid van $\triangle AED$ en $\triangle ABC$ gebruiken.Stap 1: We tonen gelijkvormigheid aan.$\angle A$ in driehoek $ADE$ en $\angle A$ in driehoek $ABC$ zijn logischerwijs gelijk.$\angle E$ en $\angle B$ zijn beide rechte hoeken, (een zendmast staat loodrecht) deze hoeken zijn dus ook gelijk.Uit bovenstaande concluderen we dat $\triangle ABC \sim \triangle AED$ (hh)Stap 2: Vul de tabel in.$DE$ en $BC$ zijn overeenkomende zijden. Zijde $AE$ en zijde $AB$ zijn ook overeenkomende zijden. Zet overeenkomende zijden onder elkaar. Vul de lengten in die je weet. Gebruik kruislings vermenigvuldigen om $AB$ te berekenen.$AB=\frac{300\cdot 0.5}{0.04}=3750$Antwoord: 3750 meter. Stap 1: We tonen gelijkvormigheid aan.$\angle O$ in driehoek $PQO$ en $\angle O$ in driehoek $RSO$ zijn logischerwijs gelijk.$\angle P$ en $\angle R$ zijn beide rechte hoeken, deze hoeken zijn dus ook gelijk.Uit bovenstaande concluderen we dat $\triangle PQO \sim \triangle RSO$ Stap 2: Vul de tabel in.$PQ$ en $RS$ zijn overeenkomende zijden. Zijde $PO$ en zijde $RO$ zijn ook overeenkomende zijden. Zet overeenkomende zijden onder elkaar. Vul de lengten in die je weet. $OR=33-24=9$Gebruik kruislings vermenigvuldigen om $SO$ te berekenen.$SO=\frac{42\cdot 9}{33}=11.45…$Bereken $SQ$ door $SO$ van $QO$ af te trekken.$SQ=QO-SO=42-11.45…=30.55$Antwoord: 30.55 meter.