Getal en Ruimte 13e ed deel 1 - Hoofdstuk 5 - AlgebraÏsche vaardigheden oefentoetsen & antwoorden

De term boven de deelstreep noemen we de teller. De term onder de deelstreep noemen we de noemer.Hier is de noemer $3+y$Antwoord: $3+y$  $+$, bijvoorbeeld $a^2\cdot a^3=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{2+3}=a^5$$-$, bijvoorbeeld $a^3:a^2=a^{3-2}=a$$\cdot$. bijvoorbeeld $(a^2)^3=(a\cdot a)^3=(a \cdot a) \cdot (a \cdot a) \cdot (a \cdot a) = a^{2 \cdot 3}=a^6$ Werk de haakjes uit.$16a-10a^2-24+15a$Neem gelijksoortige termen samen en zet de termen met de hoogste macht vooraan.$-10a^2+31a-24$Antwoord: $-10a^2+31a-24$Schrijf eerst het kwadraat als dubbele haakjes. $(4x+5)(4x+5)$Werk de haakjes uit.$16x^2+20x+20x+25$Neem gelijksoortige termen samen en zet de termen met de hoogste macht vooraan.$16x^2+40x+25$Antwoord: $16x^2+40x+25$ In de teller en noemer zit de factor $s$, deze kunnen we dus wegdelen.$\frac{18m}{3}$De teller en noemer zijn beide deelbaar door 3.$\frac{6m}{1}=6m$Antwoord: $6m$ Zet de helen in de breuk.94\sqrt{\frac{9}{4}}49​​Stap 2: Gebruik de regel AB=AB\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}BA​​=B​A​​94=32\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}4​9​​=23​Antwoord: 32=112\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}23​=121​9⋅3=279\cdot 3=279⋅3=27 dus we kunnen schrijven:9⋅323\frac{\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}23​9​⋅3​​3323\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}23​33​​Zowel de teller als de noemer wordt met de factor 3\sqrt{3}3​ vermenigvuldigd, we kunnen dus 3\sqrt{3}3​ wegdelen.32\frac{3}{2}23​Antwoord: 1121\frac{1}{2}121​ Schrijf het kwadraat als dubbele haakjes.2(3b−3)(3b−3)−4(7+8b)(−3+5b)2(3b-3)(3b-3)-4(7+8b)(-3+5b)2(3b−3)(3b−3)−4(7+8b)(−3+5b) Werk beide dubbele haakjes uit.Schrijf nieuwe haakjes omdat er nog een getal voor de haakjes staat, dit getal moet ook nog vermenigvuldigd worden met wat tussen de haakjes staat. 2(9b2−9b−9b+9)−4(−21+35b−24b+40b2)2(9b^2-9b-9b+9)-4(-21+35b-24b+40b^2)2(9b2−9b−9b+9)−4(−21+35b−24b+40b2)Neem gelijksoortige termen tussen de haakjes samen.2(9b2−18b+9)−4(−21+11b+40b2)2(9b^2-18b+9)-4(-21+11b+40b^2)2(9b2−18b+9)−4(−21+11b+40b2)Werk nu ook de nieuwe haakjes uit.18b2−36b+18+84−44b−160b218b^2-36b+18+84-44b-160b^218b2−36b+18+84−44b−160b2Neem gelijksoortige termen samen.−142b2−80b+102-142b^2-80b+102−142b2−80b+102Antwoord: −142b2−80b+102-142b^2-80b+102−142b2−80b+102Dit is een merkwaardig product.Werk de haakjes uit.4c2+12c−12c−364c^2+12c-12c-364c2+12c−12c−36Je ziet nu dat de middelste twee termen tegen elkaar wegvallen, dat is altijd zo bij een merkwaardig product van deze vorm. Je had dus ook in één keer het antwoord op mogen schrijven.4c2−364c^2-364c2−36Antwoord: 4c2−364c^2-364c2−36 Stap 1: Ontbindt de teller en noemer in factoren.In de teller kunnen we 2 buiten haakjes halen.2(q+3)3q2+2q−21\frac{2(q+3)}{3q^2+2q-21}3q2+2q−212(q+3)​Het zou handig zijn als we in de noemer ook de factor q+3q+3q+3 tussen de haakjes krijgen.Om de eerste term 3q23q^23q2 te krijgen moet in ieder geval (3q…)(3q…)(3q…) tussen de tweede set haakjes komen te staan.Om de laatste term, −21-21−21 te krijgen moeten we de 3 uit de eerste haakjes vermenigvuldigen met −7-7−7We krijgen dan (q+3)(3q−7)(q+3)(3q-7)(q+3)(3q−7). Werk de haakjes nogmaals uit om te controleren of het klopt.2(q+3)(q+3)(3q−7)\frac{2(q+3)}{(q+3)(3q-7)}(q+3)(3q−7)2(q+3)​Stap 2: Kijk of er een factor is die je boven en onder weg kunt delen.De factor q+3q+3q+3 wordt zowel met de teller als de noemer vermenigvuldigd. Deze kunnen we dus wegdelen.2(3q−7)\frac{2}{(3q-7)}(3q−7)2​Verder kunnen we de breuk niet herleiden.Antwoord: 2(3q−7)\frac{2}{(3q-7)}(3q−7)2​Om breuken op te tellen of af te trekken moeten de breuken gelijknamig zijn.Stap 1: Maak de breuken gelijknamig. Vermenigvuldig de linkerteller en noemer met 2222(3m+1)2p−m+52\frac{2(3m+1)}{2p}-\frac{m+5}{2}2p2(3m+1)​−2m+5​ 6m+2)2p−m+52\frac{6m+2)}{2p}-\frac{m+5}{2}2p6m+2)​−2m+5​ Vermenigvuldig de rechterteller en noemer met ppp6m+2)2p−(m+5)p2p\frac{6m+2)}{2p}-\frac{(m+5)p}{2p}2p6m+2)​−2p(m+5)p​ 6m+2)2p−mp+5p2p\frac{6m+2)}{2p}-\frac{mp+5p}{2p}2p6m+2)​−2pmp+5p​ Stap 2: Trek de breuken van elkaar af.Nu de breuken gelijknamig zijn kunnen we de tellers van elkaar aftrekken, vergeet de haakjes niet!6m+2−(mp+5p)2p\frac{6m+2-(mp+5p)}{2p}2p6m+2−(mp+5p)​Stap 3: Werk de haakjes in de teller uit.6m+2−mp−5p2p\frac{6m+2-mp-5p}{2p}2p6m+2−mp−5p​Antwoord: 6m+2−mp−5p2p\frac{6m+2-mp-5p}{2p}2p6m+2−mp−5p​Gebruik de regel: Delen door de breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerd.Stap 1: Keer de tweede breuk om en maak van delen door keer.5b8c⋅3c14b\frac{5b}{8c}\cdot \frac{3c}{14b}8c5b​⋅14b3c​ Stap 2: Gebruik de regel voor het vermenigvuldigen van breuken: teller⋅tellernoemer⋅noemer\frac{teller\cdot teller}{noemer\cdot noemer}noemer⋅noemerteller⋅teller​5b⋅3c8c⋅14b\frac{5b\cdot 3c}{8c\cdot 14b}8c⋅14b5b⋅3c​ $\frac{13bc}{112bc}$Stap 3: Haal de variabelen uit de breuk.Zowel in de teller als in de noemer wordt met de factor bcbcbc vermenigvuldigd, we delen dus boven en onder door bcbcbc.$\frac{13}{112}$Antwoord: 13112\frac{13}{112}11213​We hebben hier een breuk in een breuk. We werken de breuk in de breuk weg door te vermenigvuldigen met de noemer van de breuk.Stap 1: Vermenigvuldig de teller en de noemer met 2p2p2p32p⋅2p60⋅2p\frac{\frac{3}{2p}\cdot 2p}{60\cdot 2p}60⋅2p2p3​⋅2p​3120p\frac{3}{120p}120p3​Stap 2: Vereenvoudig de breuk.We kunnen de teller en de noemer delen door 3. 140p\frac{1}{40p}40p1​Omdat de letter in de noemer van de breuk staat, kunnen we deze niet buiten de breuk halen. We kunnen de breuk dus niet korter schrijven dan dit. Antwoord: 140p\frac{1}{40p}40p1​ We vermenigvuldigen stap voor stap de twee termen. We beginnen bij de cijfers.−3⋅−11=33-3\cdot -11=33−3⋅−11=33 (Let op! −⋅−=+- \cdot -=+−⋅−=+)Vervolgens vermenigvuldigen we letter voor letter.x2x^2x2 kan niet vermenigvuldigd worden met een andere xxx, deze laten we staan.y⋅y3=y⋅y⋅y⋅y=y4y\cdot y^3=y\cdot y\cdot y\cdot y=y^4y⋅y3=y⋅y⋅y⋅y=y4 (eigenlijk tellen we dus de exponenten op, y⋅y3=y1⋅y3=y1+3=y4y\cdot y^3=y^1\cdot y^3=y^{1+3}=y^4y⋅y3=y1⋅y3=y1+3=y4z5⋅z4=z5+4=z9z^5\cdot z^4=z^{5+4}=z^9z5⋅z4=z5+4=z9Antwoord: 33x2y4z933x^2y^4z^933x2y4z9Alleen gelijksoortige termen kunnen we optellen, dat betekent dat achter twee cijfers precies dezelfde letters én machten staan. Ook al staat achter de 8 dezelfde letter en macht als achter de 2, namelijk b3b^3b3, toch kunnen we ze niet optellen. Achter de 2 staat ook nog a7a^7a7, dus er staat niet precies hetzelfde als achter de 8 De 2a7b32a^7b^32a7b3 en 5a7b35a^7b^35a7b3 kunnen we wel optellen, omdat de letters én de machten erachter hetzelfde zijn. Antwoord: 7a7b3+8b37a^7b^3+8b^37a7b3+8b3Stap 1: We werken eerst de haakjes uit. 20r3−4z−r3⋅9z−3z20r^3-4z-r^3\cdot 9z-3z20r3−4z−r3⋅9z−3zWe rekenen de keersom uit.20r3−4z−9r3z−3z20r^3-4z-9r^3z-3z20r3−4z−9r3z−3zStap 2: Gelijksoortige termen nemen we samen.−4z-4z−4z en −3z-3z−3z zijn gelijksoortig. Deze kunnen we dus samen nemen. Zowel de letter als de macht bij de letters zijn hetzelfde.Antwoord: 20r3−7z−9r3z20r^3-7z-9r^3z20r3−7z−9r3zStap 1: We werken de haakjes uit.(−5)2(a3)2−(−2)3(a4)3(-5)^2(a^3)^2-(-2)^3(a^4)^3(−5)2(a3)2−(−2)3(a4)3 25a3⋅2−−8a4⋅325a^{3\cdot 2}--8a^{4\cdot 3}25a3⋅2−−8a4⋅3 (denk aan −⋅−=+-\cdot -=+−⋅−=+ bij een oneven macht houd je een – over dus blijft je antwoord negatief)25a6+8a1225a^{6}+8a^{12}25a6+8a12 (−−=+--=+−−=+ en bij een macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten)Stap 2: Neem gelijksoortige termen samen.Ook al hebben 25 en 8 dezelfde letter, de letters hebben niet dezelfde macht. We kunnen de uitdrukking dus niet korter schrijven.Antwoord: 25a6+8a1225a^{6}+8a^{12}25a6+8a12Stap 1: We werken de haakjes uit.(−5)2(a3)2⋅(−2)3(a4)3(-5)^2(a^3)^2\cdot (-2)^3(a^4)^3(−5)2(a3)2⋅(−2)3(a4)3 25a3⋅2⋅−8a4⋅325a^{3\cdot 2}\cdot -8a^{4\cdot 3}25a3⋅2⋅−8a4⋅3 (denk aan −⋅−=+-\cdot -=+−⋅−=+ bij een oneven macht houd je een – over dus blijft je antwoord negatief)25a6⋅−8a1225a^{6}\cdot -8a^{12}25a6⋅−8a12 (−−=+--=+−−=+ en bij een macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten)Stap 2: Vermenigvuldig de machten. −200a6+12-200a^{6+12}−200a6+12 (bij het vermenigvuldigen van machten tellen we de exponenten op)−200a18-200a^{18}−200a18Antwoord: −200a18-200a^{18}−200a18Stap 1: Werk de haakjes uit.(−2)2(x4)2⋅y32x2y+5x6y2\frac{(-2)^2(x^4)^2\cdot y^3}{2x^2y}+5x^6y^22x2y(−2)2(x4)2⋅y3​+5x6y2 4x4⋅2⋅y32x2y+5x6y2\frac{4x^{4\cdot 2}\cdot y^3}{2x^2y}+5x^6y^22x2y4x4⋅2⋅y3​+5x6y2 (−⋅−=+-\cdot -=+−⋅−=+ dus (−2)2=4(-2)^2=4(−2)2=4)4x8⋅y32x2y+5x6y2\frac{4x^8\cdot y^3}{2x^2y}+5x^6y^22x2y4x8⋅y3​+5x6y2 (bij een macht van een macht vermenigvuldigen we de exponenten)Stap 2: Vermenigvuldig de machten in de teller. 4x8y32x2y+5x6y2\frac{4x^8y^3}{2x^2y}+5x^6y^22x2y4x8y3​+5x6y2Stap 3: Kijk wat je weg kunt delen.4x8y32x2y+5x6y2\frac{4x^8y^3}{2x^2y}+5x^6y^22x2y4x8y3​+5x6y22x6y2+5x6y22x^6y^2+5x^6y^22x6y2+5x6y2Stap 4: Neem gelijksoortige termen samen.7x6y27x^6y^27x6y2Antwoord: 7x6y27x^6y^27x6y2 Stap 1: Reken de keersommen uitGebruik A⋅B=A⋅B\sqrt{A}\cdot \sqrt{B}=\sqrt{A\cdot B}A​⋅B​=A⋅B​. 215+149−525−35152\sqrt{15}+14\sqrt{9}-5\sqrt{25}-35\sqrt{15}215​+149​−525​−3515​Stap 2: Schrijf de uitdrukking zo kort mogelijk.Reken de wortels die je uit kunt rekenen uit.215+14⋅3−5⋅5−35152\sqrt{15}+14\cdot 3-5\cdot 5-35\sqrt{15}215​+14⋅3−5⋅5−3515​Reken de keersommen uit. 215+42−25−35152\sqrt{15}+42-25-35\sqrt{15}215​+42−25−3515​215+17−35152\sqrt{15}+17-35\sqrt{15}215​+17−3515​Neem de gelijksoortige termen samen.Doordat 2152\sqrt{15}215​ en −3515-35\sqrt{15}−3515​ precies dezelfde wortel hebben mogen we ze van elkaar af trekken.−3315+17-33\sqrt{15}+17−3315​+17Antwoord: −3315+17-33\sqrt{15}+17−3315​+17Stap 1: Herschrijf 63\sqrt{63}63​Omdat 63=9⋅763=9\cdot 763=9⋅7 kunnen we schrijven:197−29⋅719\sqrt{7}-2\sqrt{9\cdot 7}197​−29⋅7​Gebruik de regel A⋅B=A⋅B\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{A}\cdot \sqrt{B}A⋅B​=A​⋅B​197−29⋅719\sqrt{7}-2\sqrt{9}\cdot \sqrt{7}197​−29​⋅7​Stap 2: Reken 9\sqrt{9}9​ uit.197−2⋅3⋅719\sqrt{7}-2\cdot 3\cdot \sqrt{7}197​−2⋅3⋅7​Stap 3: Schrijf de uitdrukking zo kort mogelijk. 197−6719\sqrt{7}-6\sqrt{7}197​−67​13713\sqrt{7}137​Antwoord: 13713\sqrt{7}137​Stap 1: Herschrijf de breuk in de wortel.Zet de helen in de breuk.254−28\sqrt{\frac{25}{4}}-2\sqrt{8}425​​−28​Gebruik AB=AB\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}BA​​=B​A​​254−28\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}-2\sqrt{8}4​25​​−28​Stap 2: Reken de wortels uit. 54−28\frac{5}{4}-2\sqrt{8}45​−28​Stap 3: Herschrijf −28-2\sqrt{8}−28​4⋅2=84\cdot 2=84⋅2=8 dus we kunnen schrijven:54−24⋅2\frac{5}{4}-2\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}45​−24​⋅2​Reken de wortel 4\sqrt{4}4​ uit. 54−2⋅2⋅2\frac{5}{4}-2\cdot 2\cdot \sqrt{2}45​−2⋅2⋅2​54−42\frac{5}{4}-4\sqrt{2}45​−42​Antwoord: 54−42\frac{5}{4}-4\sqrt{2}45​−42​Stap 1: Reken de keersom uit.Twee breuken vermenigvuldigen geeft teller⋅tellernoemer⋅noemer\frac{teller\cdot teller}{noemer\cdot noemer}noemer⋅noemerteller⋅teller​13⋅23⋅5−312\frac{13\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}}-3\sqrt{12}3​⋅5​13⋅2​​−312​13215−312\frac{13\sqrt{2}}{\sqrt{15}}-3\sqrt{12}15​132​​−312​Stap 2: Haal de wortel uit de noemer. Vermenigvuldig met 1515\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}15​15​​ om de wortel uit de noemer weg te werken.13215⋅1515−312\frac{13\sqrt{2}}{\sqrt{15}}\cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}-3\sqrt{12}15​132​​⋅15​15​​−312​132⋅1515⋅15−312\frac{13\sqrt{2}\cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15}\cdot \sqrt{15}}-3\sqrt{12}15​⋅15​132​⋅15​​−312​Als we een wortel met zichzelf vermenigvuldigen, valt de wortel weg. 133015−312\frac{13\sqrt{30}}{15}-3\sqrt{12}151330​​−312​Stap 3: Herschrijf 3123\sqrt{12}312​4⋅3=124\cdot 3=124⋅3=12 dus we kunnen schrijven:133015−34⋅2\frac{13\sqrt{30}}{15}-3\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}151330​​−34​⋅2​Reken 4\sqrt{4}4​ uit.133015−3⋅2⋅2\frac{13\sqrt{30}}{15}-3\cdot 2\cdot \sqrt{2}151330​​−3⋅2⋅2​133015−62\frac{13\sqrt{30}}{15}-6\sqrt{2}151330​​−62​Korter kunnen we de uitdrukking niet schrijven, er staat geen wortel meer in de noemer dus we zijn klaar. We halen de wortel in de teller wel nog buiten de breuk.Antwoord: 131530−62\frac{13}{15}\sqrt{30}-6\sqrt{2}1513​30​−62​