Kern Wiskunde deel A + B - Hoofdstuk 3 - Lineaire verbanden oefentoetsen & antwoorden

Een formule bij een lineair verband heeft altijd een startgetal en een hellingsgetal / richtingscoëfficiënt. De grafiek bij een lineair verband heeft de vorm van een rechte lijn. Alleen bij een recht evenredig verband, omdat anders de verhouding tussen de bovenste en onderste getallen niet hetzelfde is.Nee, want dit is geen lineaire vergelijking.In het geval dat de lijnen evenwijdig zijn en ze dezefde richtingscoëfficiënt hebben.Het verschil tussen een vergelijking en een ongelijkheid is dat er bij een vergelijking maar één oplossing is, terwijl er bij een ongelijkheid meerdere oplossingen zijn. De richtingscoëfficiënt is het getal dat voor de letter x staat, $-\frac{1}{3}$. Het startgetal van de lijn is 2. Let op! De – hoort bij de richtingscoëfficiënt.Een dalende lijn, de richtingscoëfficiënt is negatief, er staat een – voor. Lijn 3 is evenwijdig met de gegeven lijn. De richtingscoëfficiënten, het getal voor de $x$, zijn hetzelfde. Let op! Bij 2 is de richtingscoëfficiënt bijna hetzelfde, maar er staat geen – voor, dus zijn ze niet evenwijdig.  Stap 1: Bereken eerst de richtingscoëfficiënt. Doordat de horizontale as in stapjes van twee gaat kunnen we deze niet direct aflezen, maar moeten we hem berekenen.We nemen twee makkelijk af te lezen punten op de grafiek, bijvoorbeeld $(0,50)$ en $(2, 100)$Van 0 tot 2 is 2 dagen en van 50 tot 100 is 50 euro. Als het aantal dagen dus met 2 toeneemt, neemt de prijs met 50 toe. Per dag neemt de prijs dus met $50:2=25$ euro toe. richtingsgetal $=25$ Stap 2: Lees het startgetal af.Het startgetal is het snijpunt van de lijn met de verticale as.  startgetal $=50$Stap 3: Stel de formule op. Wat bij de verticale as staat, zetten we altijd voor de $=$. $h=…$.Vervolgens vullen we ons startgetal in.$h=50…$Daarna tellen we daar het richtingsgetal vermenigvuldigd met het aantal dagen bij op.$h=50+25\times a$Antwoord: $h=50+25a$ Het is een recht evenredig verband, want per cupcake maak je dezelfde vaste winst (en als je bijvoorbeeld twee keer zoveel cupcakes verkoopt maak je ook twee keer zoveel winst).  De winst per cupcake is €0,75 - €0,25 = €0,50Dus formule: $W = 0,50 \cdot a$.Je moet uitrekenen wanneer $W = 45$.Dus wanneer is $45 = 0,50a$. Deel door $0,50$ om $a$ te berekenen: $W = \frac{45}{0,50} = 90$Conclusie: hij moet 90 cupcakes verkopen. a.Stap 1: Werk eerst de haakjes uit.$7x+12=-2(3x+7)$$7x+12=-6x-14$Stap 2: Gebruik de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $7x\red{+12}=-6x-14$ $+12$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $-12$ af om deze naar rechts te werken. $7x+12\red{-12}=-6x-14\red{-12}$$7x=-6x-26$Stap 3: Alle waarden met $x$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$7x=\red{-6x}-26$, $-6x$ is een getal met $x$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $+6x$ te doen.$7x\red{+6x}=-6x-26\red{+6x}$$13x=-26$Stap 4:  Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $13$.$13x\red{:13}=-26\red{:13}$$x=-2$Antwoord: $x=-2$b.Stap 1: Werk de haakjes uit.$24-4(x-1)=3(x-14)$$24-4x+4=3x-42$$28-4x=3x-42$Stap 2: Gebruik de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $\red{28}-4x=3x-42$ $28$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $28$ af om deze naar rechts te werken. $28-4x\red{-28}=3x-42\red{-28}$$-4x=3x-70$Stap 3: Alle waarden met $x$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$-4x=\red{3x}-70$ $3x$ is een getal met $x$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $-3x$ te doen.$-4x\red{-3x}=3x-70\red{-3x}$$-7x=-70$Stap 4:  Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $-7$.$-7x\red{:-7}=-70\red{:-7}$$x=10$ (let op $-:-=+$)Antwoord: $x=10$c. Stap 1: Werk eerst de breuken weg.Om de breuken weg te werken vermenigvuldig je de hele vergelijking met de noemers van de breuken.Vermenigvuldig eerst de vergelijking met $3$.$6-(x-1)=\frac{3}{4}(x-14)$Vermenigvuldig de vergelijking vervolgens met $4$.$24-4(x-1)=3(x-14)$Tip: Je had ook gelijk de vergelijking kunnen vermenigvuldigen met $12$, het product van de twee noemers. Stap 2: Werk de haakjes uit.$24-4(x-1)=3(x-14)$$24-4x+4=3x-42$$28-4x=3x-42$Stap 3: Gebruik de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $\red{28}-4x=3x-42$ $28$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $28$ af om deze naar rechts te werken. $28-4x\red{-28}=3x-42\red{-28}$$-4x=3x-70$Stap 4: Alle waarden met $x$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$-4x=\red{3x}-70$ $3x$ is een getal met $x$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $-3x$ te doen.$-4x\red{-3x}=3x-70\red{-3x}$$-7x=-70$Stap 5:  Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $-7$.$-7x\red{:-7}=-70\red{:-7}$$x=10$ (let op $-:-=+$)Antwoord: $x=10$ Gebruik de algemene formule voor een lijn: $y =ax+b$.Lijn $k: k(x) =ax+b$$\rm Richtingscoëfficiënt = \frac{verticale verandering}{horizontale verandering}$. Gebruik bijvoorbeeld punten $(0,-1)$ en $(2,2)$ (zorg dat je roosterpunten gebruikt zodat je ze goed kunt aflezen). Dan is $a = \frac{3}{2}=1,5$.Startgetal $b= -1$ (lees af bij de $y$-as)Dus $k(x)=1,5x-1$.Lijn $l: l(x)=ax+b$Richtingscoëfficiënt $-2$ (gebruik bv. punten $(0,3)$ en $(1,1)$)$b=3$Dus $l(x)=-2x+3$ Lineaire formule: $y=ax+b$.Bereken a (=richtingscoëfficiënt): $\frac{verschil \, y-as}{verschil \, x-as}$= $\frac{19-4}{8-3} = 3$Dus $a = 3$ Bereken b (=startgetal) door een punt te nemen en dit invullen in de formule.Neem punt A; dat geeft $4 = 3 x 3 + b$Los de vergelijking op: $b = -5$Vul $a= 3$ en $b= -5$ in de formule: $m: y=3x-5$.Stel de lijnen gelijk en los op.$-2x+3 = -3x-5$$-2x = - 3x -5 - 3$$-2x + 3x = -8$$x=-8$Dus de x-coördinaat van het snijpunt is $8$. Je kunt de y-coördinaat berekenen door de x-coördinaat in één van de twee lijnformules van lijn $l$ of lijn $m$ in te vullen.  Lees uit de grafiek af dat de grafieken gelijk zijn bij $x=5$ (het snijpunt).Voor x-waardes groter dan $5$ ligt de lijn van $y=x-3$ boven die van $y=2$.Conclusie: $x>5$. Lees uit de grafiek af dat de grafieken gelijk zijn voor $x=1$.Rechts van dit punt ligt de lijn van $y=-3x$ onder die van $y=x-3$.Conclusie: $x>1$. Stap 1: Bereken het richtingsgetalIn de tabel is de tijd in stapjes van 4 jaar gegaan, we moeten de afname van de broedparen per jaar weten voor het richtingsgetal.In 4 jaar zijn er $2100-1784=316$ broedparen af gegaan.Per jaar zijn er dus $316:4=79$ broedparen minder.Het is een dalend verband dus we zetten er een min voor: richtingsgetal $=-79$Stap 2: Bepaal het startgetal.Het startgetal staat altijd onder de nul in de tabel.startgetal $=2100$Stap 3: Stel de formule op.Wat bij de onderste rij staat, zetten we altijd voor de $=$. $a=…$.Vervolgens vullen we ons startgetal in.$a=2100…$Daarna tellen we daar het richtingsgetal vermenigvuldigd met het aantal jaren bij op.$a=2100-79\times t$Antwoord: $a=2100-79t$ Dit kunnen we oplossen met een verhoudingstabel. We gaan voor ieder merk uitrekenen hoe duur de sinaasappels per stuk zijn. Sinaasje: aantal sinaasappels251prijs in €4,950,20Toelichting: zet eerst het aantal en de prijs in de tabel. Reken nu terug naar 1 stuk door de prijs te delen door 25 (want je gaat van 25 stuks terug naar één). Zo kom je op 4,95 : 25 = 0,20 per stuk.Zesper:aantal sinaasappels111prijs in €2,550,23Toelichting: zet eerst het aantal en de prijs in de tabel. Reken nu terug naar 1 stuk door de prijs te delen door 11 (want je gaat van 11 stuks terug naar één). Zo kom je op 2,55 : 11 = 0,23 per stuk.Oranja:aantal sinaasappels201prijs in €3,850,19Toelichting: zet eerst het aantal en de prijs in de tabel. Reken nu terug naar 1 stuk door de prijs te delen door 20 (want je gaat van 20 stuks terug naar één). Zo kom je op 3,85 : 20 = 0,19 per stuk.Conclusie: de sinaasappels van Oranja zijn het voordeligst (want die zijn per stuk het goedkoopst).  We vullen het ideale gewicht van Linda in op de plek van gewicht: $0,6l-40=65$De vergelijking die we op moeten lossen is $0,6l-40=50$. We gebruiken de balansmethode.Stap 1: Werk de losse getallen aan de linkerkant weg.Links staat $-40$. We werken deze weg door aan beide kanten $+40$ te doen.$0,6l-40\red{+40}=50\red{+40}$$0,6l=90$Stap 2: Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat.$0,6l\red{:0,6}=90\red{:0,6}$$l=150$Antwoord: Fien is 150 cm lang. Je mag zelf kiezen hoe je deze ongelijkheden oplost. We geven de uitwerking zowel met de balansmethode als met de grafieken. Manier 1: met de balansmethode−16+3x>19−2x-16+3x > 19-2x−16+3x>19−2xAlle xxx naar links en getallen naar rechts, en herleiden:−16+3x+2x>19-16+3x +2x > 19−16+3x+2x>195x>19+165x > 19 + 165x>19+165x>355x > 355x>35 Deel door het getal voor xxx:x>7x > 7x>7Manier 2: met de grafieken:Stel gelijk en los op: −16+3x=19−2x-16+3x = 19-2x−16+3x=19−2xAlle xxx naar links en getallen naar rechts, en herleiden:−16+3x+2x=19-16+3x +2x = 19−16+3x+2x=195x=19+165x = 19 + 165x=19+165x=355x = 355x=35 Deel door het getal voor xxx:x=7x = 7x=7Schets de grafieken: Rechts van het snijpunt ligt de lijn y=−16+3xy=-16+3xy=−16+3x boven de lijn y=19−2xy=19-2xy=19−2x, dus het antwoord is: x>7x > 7x>7. Manier 1: met de balansmethode−13<2x−4(1−4x)-13 < 2x-4(1-4x)−13<2x−4(1−4x)Haakjes uitwerken:−13<2x+16x−4-13 < 2x+16x-4−13<2x+16x−4 Herleid en zorg dat alle xxx links staan:−13< 18x−4-13 <  18x -4−13< 18x−4−18x<9-18x < 9−18x<9Deel door het getal voor de xxx. Het teken klapt om:x>−12x > -\frac{1}{2}x>−21​.Manier 2: met de grafiekenStel gelijk en los op:−13=2x−4(1−4x)-13 = 2x-4(1-4x)−13=2x−4(1−4x)Haakjes uitwerken: −13=2x+16x−4-13 = 2x+16x-4−13=2x+16x−4 Herleid en zorg dat alle xxx links staan: −13= 18x−4-13 =  18x -4−13= 18x−4−18x=9-18x = 9−18x=9Deel door het getal voor de xxx: x=−12x = -\frac{1}{2}x=−21​.Schets de lijnen: y=13y=13y=13 is een horizontale lijnWerk de haakjes van de andere lijn uit om deze goed te kunnen schetsen: 2x−4(1−4x)=2x+16x−4=18x−42x-4(1-4x) = 2x +16x - 4 = 18x-42x−4(1−4x)=2x+16x−4=18x−4Rechts van het snijpunt ligt de lijn y=18x−4y=18x-4y=18x−4 boven de lijn y=13y=13y=13, dus de oplossing is x>−12x > -\frac{1}{2}x>−21​.Manier 1: met de balansmethode5−(3+x)<3(2x+1)−6x5 - (3+x) < 3(2x+1) - 6x5−(3+x)<3(2x+1)−6xHaakjes uitwerken:5−3−x<6x+3−6x5 - 3 - x < 6x + 3 - 6x5−3−x<6x+3−6xHerleiden en xxx naar links, getallen naar rechts:2−x<32-x < 32−x<3−x<1-x < 1−x<1Deel  door het getal voor de xxx en klap teken om:x>1x > 1x>1.Manier 2: met de grafiekenStel gelijk en los op:4x+2=3+5x4x+2 = 3 +5x4x+2=3+5xxxx naar links, getallen naar rechts: 2−x=32-x = 32−x=3−x=1-x = 1−x=1Deel  door het getal voor de xxx: x=1x = 1x=1.Schets de grafieken: Links van het snijpunt ligt de lijn y=4x+2y=4x+2y=4x+2 onder de lijn y=3+5xy=3+5xy=3+5x, dus de oplossing is: x<1x < 1x<1.Manier 1: met de balansmethode12(x−2)>x−3(4+x)12(x-2) > x - 3(4+x)12(x−2)>x−3(4+x)Haakjes uitwerken en herleiden:12x−24>x−12−3x12x-24 > x - 12 -3x12x−24>x−12−3x12x−24>−2x−1212x-24 > -2x - 1212x−24>−2x−12Alle xxx naar links en getallen naar rechts:12x+2x>−12+2412x + 2x > -12 + 2412x+2x>−12+2414x>1214x > 1214x>12Nu nog delen door het getal voor de xxx:x>1214x > \frac{12}{14}x>1412​, dus x>67x>\frac{6}{7}x>76​.Manier 2: met de grafiekenStel gelijk en los op:12(x−2)=x−3(4+x)12(x-2) = x - 3(4+x)12(x−2)=x−3(4+x)Haakjes uitwerken en herleiden: 12x−24=x−12−3x12x-24 = x - 12 -3x12x−24=x−12−3x12x−24=−2x−1212x-24 = -2x - 1212x−24=−2x−12Alle xxx naar links en getallen naar rechts: 12x+2x=−12+2412x + 2x = -12 + 2412x+2x=−12+2414x=1214x = 1214x=12Nu nog delen door het getal voor de xxx:x=1214x = \frac{12}{14}x=1412​, dus x=67x=\frac{6}{7}x=76​.Schets de grafieken. Daartoe werken we eerst de haakjes uit: 12(x−2)=12x−2412(x-2) = 12x-2412(x−2)=12x−24x−3(4+x)=−2x−12x - 3(4+x) = -2x -12x−3(4+x)=−2x−12Schets wordt: Rechts van het snijpunt ligt de lijn y=12(x−2)y=12(x-2)y=12(x−2) boven de lijn y=x−3(x−4)y=x-3(x-4)y=x−3(x−4), dus de oplossing is: x>67x>\frac{6}{7}x>76​.