Moderne Wiskunde 13e ed deel B - Hoofdstuk 10 - Bijzondere lijnen in driehoeken oefentoetsen & antwoorden

Leg de 90∘90^\circ90∘ lijn van de geodriehoek op QRQRQR en de liniaal langs punt AAA. Teken langs de liniaal van de geodriehoek een lijn langs AAA.Haal de geodriehoek weg en teken een rechte hoek teken.Antwoord:  Het snijpunt van de deellijnen van de hoeken is het middelpunt van de ingeschreven cirkel.Zet de passer met de pin op het snijpunt van de deellijnen en het potlood op één van de snijpunten van de deellijnen met de zijden en teken de cirkel. De oppervlakte van een driehoek berekenen we met de formule:$oppervlakte\ driehoek=\frac{1}{2}\times zijde\times bijbehorende\ hoogte$We weten de hoogte die hoort bij zijde $PR$ (de hoogte staat altijd loodrecht op de bijbehorende zijde), de hoogte die hoort bij zijde $PR$ is 8 cm. Dit is namelijk de hoogtelijn vanuit $Q$ op zijde $PR$.$oppervlakte\ \triangle PQR=\frac{1}{2}\times 8,1\times 8=32,4\ cm^2$Antwoord: $32,4\ cm^2$We willen de lengte weten van de hoogtelijn vanuit $R$ op zijde $PQ$. Als we de oppervlakte van de driehoek zouden willen berekenen met zijde $PQ$ en de gezochte hoogte gebruikten we de formule: $oppervlakte\ \triangle PQR=\frac{1}{2}\times PQ\times hoogte$Vul in wat je weet.$oppervlakte\ \triangle PQR=32,4\ cm^2$ (zie a)$PQ=14,2\ cm$$32,4=\frac{1}{2}\times 14,2\times hoogte$Reken de keersom uit.$32,4=7,1\times hoogte$Bereken de hoogte.$hoogte=32,4:7,1=4,563…$Antwoord: De afstand van $R$ tot $PQ$ is 4,56 centimeter. Stap 1: Teken zijde ABABAB van 6 centimeter lang. Stap 2: Teken met behulp van je koershoekmeter/geodriehoek ∠A=30∘\angle A=30^\circ∠A=30∘Leg de geodriehoek met de nul op hoek AAA en de liniaal langs zijde ABABAB.Bij 30∘30^\circ30∘ tekenen we een lijntje.Teken een lijn vanuit AAA door het punt dat we hebben getekend bij 30 graden.Stap 3: Teken met behulp van je koershoekmeter/geodriehoek ∠B=115∘\angle B=115^\circ∠B=115∘Leg de geodriehoek met de nul op hoek BBB en de liniaal langs zijde ABABAB.Teken een lijntje bij een hoek van 115∘115^\circ115∘. Bedenk dat de hoek groter is dan 90∘90^\circ90∘, we hebben dus de gele gradencirkel nodig om 115∘115^\circ115∘ te vinden. Teken een lijn vanuit BBB door het punt dat we hebben getekend bij 115 graden.Stap 4: Noem het snijpunt van de twee lijnen CCC en zet de grootte van de hoeken in de hoeken.Stap 5: Teken de deellijn van hoek CCC.Zet de pin van de passer op hoek CCC en teken tussen de twee zijden een gedeelte van een cirkel die volledig binnen de driehoek valt.Teken vanuit het snijpunt van de cirkel met zijde ACACAC ook een stukje cirkel binnen de driehoek.Teken vanuit het snijpunt van de cirkel met zijde BCBCBC ook een stukje cirkel binnen de driehoek precies even groot als de cirkel op het snijpunt van de cirkel met ACACAC.De lijn vanuit hoek CCC door het snijpunt van de twee cirkels is de deellijn.Teken gelijkheidstekens in de hoeken.Antwoord:Een stomphoekige driehoek, hoek BBB is groter dan 90∘90^\circ90∘. Als één hoek in de driehoek groter is dan 90circ90^circ90circ is de driehoek stomphoekig.Antwoord: stomphoekig Stap 1: Teken het assenstelsel met de punten erin.Stap 2: Teken een lijn vanuit CCC naar het midden van ABABAB.Dit is een zwaartelijn.Stap 3: Teken een lijn vanuit BBB naar het midden van ACACAC.Het midden kun je nu niet zo aflezen, dus gebruik je je geodriehoek of passer.Stap 4: Voor de laatste zwaartelijn hoef je het midden van BCBCBC niet te zoeken, omdat de zwaartelijnen elkaar altijd snijden in één punt kun je een lijn tekenen vanuit AAA door het snijpunt van de andere twee zwaartelijnen tot BCBCBC.Stap 5: Zet de juiste tekens in de figuur.Als je op twee lijnstukken hetzelfde tekentje zet, betekent dat dat deze lijnstukken even lang zijn.Antwoord: Gebruik de passer om het midden van lijnstuk MNMNMN te vinden.Zet de pin op punt MMM en het potlood van de passer op punt NNN. Teken een cirkel.Zet nu de pin op punt NNN en het potlood van de passer op punt MMM. Teken nog een cirkel.Teken een lijn door de snijpunten van de twee cirkels, dit is je middelloodlijn. Doordat je de passer hebt gebruikt vanuit beide punten is de afstand van de snijpunten van de cirkels tot de punten MMM en NNN gelijk.Teken het rechte hoek teken en de gelijkheidstekens.Arceer het gebied in de driehoek dat dichter bij MMM dan bij NNN ligt, dit is aan de kant van MMM van de middelloodlijn. Antwoord: Werkwijze: We tekenen eerst met behulp van onze passer driehoek ABCABCABC. Vervolgens tekenen we met behulp van hoogtelijnen het hoogtepunt.  Stap 1: Teken zijde ABABAB van 4 cm lang. Stap 2: Gebruik je passer om punt CCC te vinden.CCC ligt 4 centimeter van AAA en van BBB, we tekenen dus twee cirkels met middelpunt AAA en BBB met straal 4. Zet de pin van de passer op AAA.Zet door met je geodriehoek te meten of door 4 hokjes op je papier te tellen de pootjes van de passer 4 cm uit elkaar.Teken de cirkel.Zet de pin van de passer nu op de BBB. Zet de pootjes weer 4 cm uit elkaar en teken een cirkel. Het snijpunt van de twee cirkels is punt CCC.Stap 3: Maak de driehoek af. Laat de passerlijnen staan zodat je docent ziet hoe je de cirkel hebt getekend. Stap 4: Teken met behulp van je geodriehoek de hoogtelijnen van de driehoek.Leg je geodriehoek met de 90∘90^\circ90∘ lijn op de zijde en teken vanuit de overstaande hoek een lijn. Vergeet het rechte hoek teken niet. Teken op dezelfde manier de andere twee hoogtelijnen.Stap 5: Het snijpunt van de hoogtelijnen is het hoogtepunt.Antwoord: Het hoogtepunt hierboven is rood weergegeven.De hoogtelijnen snijden de overstaande zijde middendoor, ze zijn dus zwaartelijnen. Ook snijden ze de overstaande zijde loodrecht, als ze de overstaande zijde loodrecht en middendoor snijden zijn het ook middelloodlijnen. Als de overstaande zijde middendoor wordt gesneden, neem bijvoorbeeld de hoogtelijn vanuit CCC die ABABAB middendoor snijdt, dan is de afstand van AAA tot de lijn gelijk aan de afstand van BBB tot de lijn. Doordat dit een gelijkzijdige driehoek is, geldt dit voor alle punten op zijde ACACAC en BCBCBC. De afstand van de zijden tot de hoogtelijn is steeds gelijk. Het is dus een deellijn. Met behulp van een deellijn tussen $A$ en $B$ kunnen we de moestuin delen in twee stukken. Het gedeelte vanaf de zijde bij huis $B$ tot de deellijn is het gedeelte dat het dichtst bij Floor haar erf ligt. Stap 1: Zet de pin van de passer op de hoek tussen zijde $A$ en $B$ en teken tussen de twee zijden een gedeelte van een cirkel die volledig binnen de driehoek valt. Stap 2: Zet nu de pin van de passer op het snijpunt van de cirkel met zijde $A$ en teken een cirkel. Teken precies een even grote cirkel vanuit het snijpunt van de eerste cirkel met zijde $B$. Stap 3: Door de snijpunten van de twee cirkels die je als laatste hebt getekend, teken je de deellijn.Antwoord: Het blauw gearceerde gedeelte is het gedeelte waar Floor haar aardappels kan planten. Stap 1: Teken het assenstelsel met de punten erin.Stap 2: Teken lijnstuk $AB$ en een lijn vanuit $Z$ naar het midden van $AB$.Stap 3: Teken punt $C$.We weten dat de afstand van $Z$ tot punt $C$ twee keer zo lang is als de afstand van $Z$ tot het snijpunt met $AB$. De afstand van $Z$ tot het snijpunt met het midden van $AB$ is het diagonaal van 1 hokje, dus de afstand van $Z$ tot $C$ moet de diagonaal van twee hokjes zijn.Stap 4: Maak de driehoek af en teken de andere twee zwaartelijnen.Leg je geodriehoek langs $B$ en $Z$ om de zwaartelijn vanuit $B$ op $AC$ te tekenen.Teken op dezelfde manier de zwaartelijn vanuit $A$ op $BC$.Antwoord: Stap 1: Teken △ABC\triangle ABC△ABC.Teken een assenstelsel en de punten A,BA, BA,B en CCC.Verbind de punten met elkaar.Stap 2: Teken de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek.We beginnen bij de middelloodlijn van ABABAB. Met de passer.Zet de pin op punt AAA en het potlood van de passer op punt BBB. Teken een cirkel.Zet nu de pin op punt BBB en het potlood van de passer op punt AAA. Teken nog een cirkel.Teken een lijn door de snijpunten van de twee cirkels, dit is je middelloodlijn. Doordat je de passer hebt gebruikt vanuit beide punten is de afstand van de snijpunten van de cirkels tot de punten AAA en BBB gelijk.Gum de cirkels weg en zet de gelijkheidstekens en het rechte hoek teken in je tekening.Stap 3: Teken ook de andere twee middelloodlijnen.Stap 4: Het snijpunt van de drie middelloodlijnen is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Teken een cirkel met de pin van de passer op het snijpunt van de middelloodlijnen en het potlood van de passer op één van de hoekpunten van de driehoek. Antwoord: