Kern Wiskunde A deel 2 - Hoofdstuk 4 - Systematisch tellen oefentoetsen & antwoorden

De volgorde is hier van belang, dus een permutatie.De volgorde is hier niet van belang, dus een combinatie. We maken eerst een wegendiagram.We vermenigvuldigen nu het aantal wegen tussen elk paar knooppunten.Er zijn dus  3⋅4⋅2=243\cdot 4\cdot 2=243⋅4⋅2=24 uitvoeringen om uit te kiezen. Het rooster is opgebouwd uit twee regelmatige roosters. Het is nu handig om een extra punt te gebruiken. We nemen punt X.De routes van punt P naar punt Q gaan allemaal via punt X.Het aantal kortste routes van P naar X is (64)=15\binom{6}{4}=15(46​)=15 Het aantal kortste routes van X naar Q is (74)=35\binom{7}{4}=35(47​)=35 Alle kortste routes van P naar Q gaan via X. We kunnen dus de vermenigvuldigingsregel gebruiken om het aantal kortste routes van P naar Q te berekenen.Het aantal kortste routes van P naar Q is (64)⋅(74)=15⋅35=525\binom{6}{4}\cdot\binom{7}{4}=15\cdot35=525(46​)⋅(47​)=15⋅35=525.   In totaal zijn er tien verschillende voetbalshirts. Het is dus een permutatie van tien shirts.Ze kan de shirts op 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=10!=362880010\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=10!=362880010⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=10!=3628800 manieren aan de muur hangen.De 7 shirts van Nederlandse clubs kan ze op 7!7!7! verschillende manieren plaatsen.De 3 shirts van internationale clubs kan ze op 3!3!3! verschillende manieren plaatsen.We maken gebruik van de vermenigvuldigingsregel.In totaal zijn er dan 7!⋅3!=302407!\cdot 3!=302407!⋅3!=30240 verschillende manieren.De volgorde is hier van belang. Immers, een top drie bestaat uit een eerste, tweede en derde plaats.Het is een permutatie van 3 uit 10 shirts.Er zijn 10⋅9⋅8=72010\cdot 9\cdot 8=72010⋅9⋅8=720 manierenDe volgorde is hier niet van belang.De keuze van 2 shirts van Nederlandse clubs is een combinatie van 2 uit 7. De keuze van 2 shirts van internationale clubs is een combinatie van 2 uit 3.We maken gebruik van de vermenigvuldigingsregel.In totaal zijn er dan (72)⋅(32)=21⋅3=63\binom{7}{2}\cdot\binom{3}{2}=21\cdot3=63(27​)⋅(23​)=21⋅3=63 verschillende keuzemogelijkheden.We maken gebruik van de somregel, want het gaat om 2 shirts van Nederlandse clubs OF 2 shirts van internationale clubs.De keuze van 2 shirts van Nederlandse clubs is een combinatie van 2 uit 7.De keuze van 2 shirts van internationale clubs is een combinatie van 2 uit 3.In totaal zijn er dan (72)+(32)=21+3=24\binom{7}{2}+\binom{3}{2}=21+3=24(27​)+(23​)=21+3=24 verschillende keuzemogelijkheden. De grootst mogelijke uitkomst met twee dobbelstenen is 6+6=126+6=126+6=12.De priemgetallen kleiner dan 12 zijn 2, 3, 5, 7 en 11.We maken een roosterdiagram met daarin alle mogelijke uitkomsten:We zien dat we op 15 manieren een priemgetal kunnen gooien. Het gaat om samenstellingen van twee of meer smaken. Dus samenstellingen van twee smaken, drie smaken of vier smaken. Dit is een samengestelde situatie waarbij we gebruik gaan maken van de somregel. Immers, er is sprake van twee smaken OF drie smaken OF vier smaken.Een samenstelling van twee smaken kan op $\binom{4}{2}=6$ manieren Een samenstelling van drie smaken kan op $\binom{4}{3}=4$ manieren Een samenstelling van vier smaken kan op $\binom{4}{4}=1$ manier In totaal zijn er dus $6+4+1=11$ samenstellingen mogelijk. Er moeten 8 leerlingen worden gekozen waarbij de volgorde niet van belang is. Dit is een combinatie van 8 uit 24 leerlingen.Het Emmens College kan op $\binom{24}{8}=735471$ manieren een selectie samenstellen.De volgorde is in dit geval wel van belang en de leerlingen worden gekozen zonder herhaling. We hebben dus te maken met een permutatie. Maar pas op…De volgorden van de vier leerlingen die deel gaan nemen aan de estafette is niet van belang. Dit is dan een combinatie van 4 uit de overgebleven 20 leerlingen.In totaal zijn er $24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot \binom{20}{4}=1235591280$ manierenVier jongens kiezen uit een groep van 12 is een combinatie van 4 uit 12.Vier meisjes kiezen uit een groep van 12 is ook een combinatie van 4 uit 12.In totaal zijn er  $\binom{12}{4}\cdot \binom{12}{4}=245025$ manieren. Het woord bestaat uit tien letters. Er zijn dus tien mogelijke posities.Sommige letters komen vaker dan één keer voor. We maken eerst even een overzicht:E $\to$ 3O $\to$ 2T $\to$ 2F $\to$ 1N $\to$ 1S $\to$ 1De volgorde waarin letters die vaker dan één keer voorkomen, maakt niet uit. Van deze letters berekenen we het aantal combinaties.De E’s kunnen we op $\binom{10}{3}=120$ manieren plaatsenVoor de O’s zijn er nog zeven plaatsen over. Dit kan op $\binom{7}{2}=21$ manierenVoor de T’s zijn er nog vijf plaatsen. Dit kan op $\binom{5}{2}=10$ manierenVoor de F zijn er nog 3plaatsen over, dus $\binom{3}{1}=3$Voor de N hebben we nog twee plaatsen.Voor de S is nog één plaats over.De vermenigvuldigingsregel geeft nu dat er $120\cdot21\cdot10\cdot3\cdot2\cdot1=151200$  manieren zijn.