Kern Wiskunde deel A + B - Hoofdstuk 5 - Algebra oefentoetsen & antwoorden

Zet op de plek van $k$ in de formule $-2$ en op de plek van $n$ in de formule 3.Let op de haakjes als je $k=-2$ invult in $k^2$.$m=(-2)^2+2\cdot -2\cdot 3$Reken de som uit, denk aan de rekenvolgorde.Reken eerst de macht uit.$m=4+2\cdot -2\cdot 3$Reken vervolgens de keersom uit.$m=4+-12$Tot slot optellen en aftrekken, $+$ en $-$ wordt $-$.$m=4-12=-8$Antwoord: $m=-8$ $(a+b)(c+d) = ac +ad + bc + bd$Bijvoorbeeld: $(a+4)(a-4) = a^2 +4a-4a -16 = a^2 -16$ Dan moet $a=1$ zijn. (Anders kun je bijvoorbeeld de abc-formule gebruiken) $(ab)^p = a^p \cdot b^p$$(\frac{a}{b})^p = \frac{a^n}{b^n}$$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$(a^p)^q = a^{p \cdot q}$ $-18xy + 12xy = -6 xy$$18a^2+24a^2=42a^2$$-3a\cdot-4-2a = 12a-2a=10a$$6d^6$$-9a^9$$30x^3y^2$  $6a^2-12a^3+32a^2=$$-12a^3 + 38a^2$ $6x+12y+6x+3y=$$ 12x+ 15y$ $2a(ab+8b+7a+56) = $$2a^2b + 16ab + 14a^2 + 112a$ $p^2 +3p-4p-12 + p^2 -4p +4= $$2p^2-5p-8$ $-2xy+(x+y)^2-(x^2+y^2) = $$-2xy+x^2+2xy+y^2-x^2-y^2 =$$0$$(p+10)(p-3)-5(6-2p) = $$4(p^2 - 3p + 10p - 30) - 5(6-2p) =$$4p^2 -12p + 40p - 120 - 30 + 10p = $$4p^2  -18p - 150$ Kijk of er een factor is die alle termen gemeenschappelijk hebben.Er komt in elke term een $x$ voor, dit is dus een gemeenschappelijke factor.Elke term is deelbaar door $3$, dus dit is een gemeenschappelijke factor.We kunnen schrijven: $3\cdot 5\cdot x\cdot x-3\cdot 6\cdot x\cdot y$We halen $3$ en $x$ buiten haakjes.$3x(5x-6y)$Werk de haakjes weer uit om te controleren of er weer $15x^2-18xy$, dan weet je zeker dat je het goed hebt.Antwoord: $3x(5x-6y)$Kijk of er een factor is die alle termen gemeenschappelijk hebben.Er komt in elke term een $c$ voor, dit is dus een gemeenschappelijke factor.Elke term is deelbaar door $11$, dus dit is een gemeenschappelijke factor.We kunnen schrijven: $11\cdot 2\cdot b\cdot c+11\cdot c\cdot c$We halen $11$ en $c$ buiten haakjes.$11c(2b+c)$Werk de haakjes weer uit om te controleren of er weer $22bc+11c^2$ dan weet je zeker dat je het goed hebt.Antwoord: $11c(2b+c)$ $(2^5)^2 \cdot 2^{3}$$2^{10} \cdot 2^{3}$$2^{13}$$3^6 \cdot \frac{3^8}{3^2}$$3^6 \cdot 3^{8-2}$$3^6 \cdot 3^6$$3^{12}$$\frac{2^{2} \cdot 2^5}{2^{3}} \cdot 2$Eerst de bovenkant van de breuk:$\frac{2^{2+5}}{2^{3}} \cdot 2$$\frac{2^7}{2^3} \cdot 2$Nu de breuk zelf.$2^{7-3} \cdot 2$$2^{4} \cdot 2$Gebruik dat $2 = 2^1$:$2^{4} \cdot 2^1$$2^{5}$Schrijf $25$ als macht van $5$:$5^4 \cdot 5^2 \cdot \frac{1}{5}$De breuk is een bijzonder geval van de regel $\frac{g^a}{g^b}=g^{a-b}$, want $1=5^0$, dus $\frac{1}{5}=\frac{5^0}{5^1}=5^{-1}$:$5^4 \cdot 5^2 \cdot 5^{-1}$$5^{5}$ Stap 1: Werk de eerste set haakjes uit.De −2-2−2 voor het eerste haakje betekent dat we alles tussen de twee haakjes die volgen moeten vermenigvuldigen met −2-2−2.  −6x+12−(4−x)(5x−9)-6x+12-(4-x)(5x-9)−6x+12−(4−x)(5x−9) (let op, −⋅−=+-\cdot -=+−⋅−=+ dus −2⋅−6=+12-2\cdot -6=+12−2⋅−6=+12)Stap 2: Vervolgens werken we de tweede set haakjes uit. Aangezien er nog een −-− voor de tweede set haakjes staat moeten we alles tussen deze haakjes ook nog vermenigvuldigen met −1-1−1. Daarom zetten we nieuwe haakjes om het uitgewerkte gedeelte.−6x+12−(20x−36−5x2+9x)-6x+12-(20x-36-5x^2+9x)−6x+12−(20x−36−5x2+9x)Denk eraan dat x⋅x=x2x\cdot x=x^2x⋅x=x2. Denk eraan dat −⋅−=+-\cdot -=+−⋅−=+ dus −x⋅−9=+9x-x\cdot -9=+9x−x⋅−9=+9xStap 3: De term tussen de haakjes kunnen we korter schrijven, 20x20x20x en 9x9x9x kunnen we optellen.−6x+12−(29x−36−5x2)-6x+12-(29x-36-5x^2)−6x+12−(29x−36−5x2)Stap 4: Nu werken we de laatste haakjes uit. De −-− voor het haakje betekent dat we de termen tussen de haakjes moeten vermenigvuldigen met −1-1−1.−6x+12−29x+36+5x2-6x+12-29x+36+5x^2−6x+12−29x+36+5x2Weer gebruiken we −⋅−=+-\cdot -=+−⋅−=+ dus −1⋅−36=36-1\cdot -36=36−1⋅−36=36Stap 5: Gelijksoortige termen mogen we samen nemen, dat houdt in dat zowel de letter als de macht hetzelfde zijn. −6x-6x−6x en −29x-29x−29x zijn gelijksoortig, we nemen ze samen.−35x+12+36+5x2-35x+12+36+5x^2−35x+12+36+5x2121212 en 363636 zijn gelijksoortig, we nemen ze samen.−35x+48+5x2-35x+48+5x^2−35x+48+5x2Verder zijn er geen termen die we samen kunnen nemen.Stap 6: We zetten de hoogste macht eerst, de x2x^2x2 en zetten de getallen zonder letter achteraan.5x2−35x+485x^2-35x+485x2−35x+48Stap 1: Werk de haakjes uit. 6a2−3a+2ab−b6a^2-3a+2ab-b6a2−3a+2ab−b Geen van de termen heeft dezelfde letters en machten, we kunnen dit dus niet korter schrijven.Antwoord: 6a2−3a+2ab−b6a^2-3a+2ab-b6a2−3a+2ab−b  We werken steeds de haakjes uit om toe te werken naar de algemene vorm $y=ax^2 + bx + c$:Formule 1:$y=3(x+2)^2+10$$y=3(x+2)(x+2)+10$ (of sla deze stap over en gebruik meteen dat $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$)$y=3(x^2+4x+4)+10$ (let op: de haakjes moeten blijven staan!)$y=3x^2+12x+12+10$$y=3x^2+12x+22$Formule 2:$y=\frac{1}{4}(x-1)(x+5)$$y=\frac{1}{4}(x^2-x+5x-5)$ (laat de haakjes nog staan, want alles moet nog keer $\frac{1}{4}$)$y=\frac{1}{4}(x^2+4x-5)$$y=\frac{1}{4}x^2+x-1\frac{1}{4}$Formule 3:$y=-(2-x)^2$$y=-(2-x)(2-x)$$y=-(4-4x+x^2)$$y=-x^2+4x-4$Formule 4: deze staat al in de goede vorm.Formule 5: $y=x(2x-4)$$y=2x^2-4x$. Kijk of er een factor is die alle termen gemeenschappelijk hebben.Er komt in elke term een $a$ voor, dit is dus een gemeenschappelijke factor.Elke term is deelbaar door $8$, dus dit is een gemeenschappelijke factor.We kunnen schrijven: $8\cdot a\cdot a+2\cdot 8\cdot a\cdot b$We halen $8$ en $a$ buiten haakjes.$8a(a+2b)$Werk de haakjes weer uit om te controleren of er weer $8a^2+16ab$, dan weet je zeker dat je het goed hebt.Antwoord: $8a(a+2b)$Begin bij de laatste/derde term, welk product levert 6 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert 5 op?Dus de juiste termen zijn 2 en 3.Antwoord: $(x+2)(x+3)$ (controleer eventueel door de haakjes weer uit te werken en te kijken of je weer uitkomt op de uitdrukking die in de vraag gegeven werd)Begin bij de laatste/derde term, welk product levert 9 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert 6 op?Dus de juiste termen zijn 3 en 3$(x+3)(x+3)$Begin bij de laatste/derde term, welk product levert -24 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert 2 op?Dus de juiste termen zijn -4 en 6.Antwoord: $(x-4)(x+6)$ (controleer eventueel door de haakjes weer uit te werken en te kijken of je weer uitkomt op de uitdrukking die in de vraag gegeven werd)We ontbinden in factorenBegin bij de laatste/derde term, welk product levert 7 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert -8 op?Dus de juiste termen zijn -1 en -7.Antwoord: $(x-1)(x-7)$ 2a3⋅3a4⋅4a5=24a122a^3 \cdot 3a^4 \cdot 4a^5 = 24a^{12}2a3⋅3a4⋅4a5=24a12Bedenk dat 2⋅3⋅4=242 \cdot 3 \cdot 4 = 242⋅3⋅4=24 en dat 3+4+5=123 + 4 + 5 = 123+4+5=12.x13(x6)2+x=x13x12+x=x+x=2x\frac{x^{13}}{(x^6)^2} + x = \frac{x^{13}}{x^{12}} + x = x + x = 2x(x6)2x13​+x=x12x13​+x=x+x=2x−4p10+(−p2)5=−4p10+−p10=−5p10-4p^{10} + (-p^2)^5 = -4p^{10} + - p^{10} = -5p^{10}−4p10+(−p2)5=−4p10+−p10=−5p10(3a4)3⋅(−2a5)44a3=27a12⋅16a204a3=27a12⋅4a17=128a29(3a^4)^3 \cdot \frac{(-2a^5)^4}{4a^3} = 27a^{12} \cdot \frac{16a^{20}}{4a^3} = 27a^{12} \cdot 4a^{17} = 128a^{29}(3a4)3⋅4a3(−2a5)4​=27a12⋅4a316a20​=27a12⋅4a17=108a29