Kern Wiskunde A deel 2 - Hoofdstuk 5 - Machten en exponenten oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is onjuist, want een groeifactor kan niet negatief zijn. Er is sprake van een exponentiële afname $0 \lt g \lt 1$Deze bewering is juist. Gebruik de rekenregels voor machten voor deze vragen.${{\left( {{x}^{3}} \right)}^{4}}\cdot {{x}^{5}}={{x}^{12}}\cdot {{x}^{5}}={{x}^{17}}$$\frac{{{x}^{7}}\cdot {{x}^{3}}}{{{x}^{5}}}=\frac{{{x}^{10}}}{{{x}^{5}}}={{x}^{10-5}}={{x}^{5}}$${{x}^{-2}}:{{x}^{0,5}}={{x}^{-2-0,5}}={{x}^{-2,5}}$$\frac{{{x}^{3}}}{{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{3}}}{{{\left( {{x}^{-1}} \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{-2}}}={{x}^{3-(-2)}}={{x}^{3+2}}={{x}^{5}}$ ${{b}^{-5}}=\frac{1}{{{b}^{5}}}$$2{{c}^{-3}}=2\cdot \frac{1}{{{c}^{3}}}=\frac{2}{{{c}^{3}}}$$\frac{1}{{{d}^{-2}}}={{\left( {{d}^{-2}} \right)}^{-1}}={{d}^{2}}$$\frac{1}{2}{{a}^{-4}}{{b}^{-2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{{a}^{4}}}\cdot \frac{1}{{{b}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{4}}{{b}^{2}}}$ $N=6{{g}^{2,5}}\cdot {{g}^{3}}=6{{g}^{2,5+3}}=6{{g}^{5,5}}$$N=\frac{3{{g}^{4}}\cdot {{g}^{5}}}{{{({{g}^{2}})}^{3}}}=\frac{3{{g}^{4+5}}}{{{g}^{2\cdot 3}}}=\frac{3{{g}^{9}}}{{{g}^{6}}}=3{{g}^{9-6}}=3{{g}^{3}}$$N=\frac{12{{g}^{5,1}}\cdot {{g}^{2}}}{4{{g}^{-0,9}}}=\frac{12{{g}^{5,1+2}}}{4{{g}^{-0,9}}}=\frac{12{{g}^{7,1}}}{4{{g}^{-0,9}}}=3{{g}^{7,1-(-0,9)}}=3{{g}^{7,1+0,9}}=3{{g}^{8}}$$N=\frac{{{(-{{g}^{-0,3}})}^{3}}}{2{{g}^{1,2}}\cdot {{g}^{0,8}}}=\frac{-{{g}^{-0,9}}}{2{{g}^{1,2+0,8}}}=\frac{-{{g}^{-0,9}}}{2{{g}^{2}}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{{{g}^{-0,9}}}{{{g}^{2}}}=-\frac{1}{2}{{g}^{-0,9-2}}=-\frac{1}{2}{{g}^{-2,9}}$ $N=3\cdot \sqrt{\frac{405B}{5}}=3\cdot \sqrt{\frac{405}{5}\cdot B}=3\cdot \sqrt{\frac{405}{5}}\cdot \sqrt{B}=3\cdot \sqrt{81}\cdot \sqrt{B}=3\cdot 9\cdot \sqrt{B}=27\sqrt{B}$$A=7\cdot \sqrt{\frac{50}{C}}=\sqrt{49}\cdot \sqrt{\frac{50}{C}}=\sqrt{49\cdot \frac{50}{C}}=\sqrt{\frac{2450}{C}}$$B = 5\cdot \sqrt{\frac{72}{D}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{72}{D}} = \sqrt{\frac{5^2 \cdot 72}{D}} B = \sqrt{\frac{1800}{D}}$ a) We moeten laten zien dat de oppervlakte per dag met (ongeveer) dezelfde factor wordt vermenigvuldigd.$\frac{6,6}{4,1}=1,60\cdots \,\,;\,\,\frac{10,5}{6,6}=1,59\cdots \,\,;\,\,\frac{16,8}{10,5}=1,6\,\,;\,\,\frac{26,9}{16,8}=1,60\cdots \,\,;\,\,\frac{43,0}{26,9}=1,59\cdots $De factor is elke keer ongeveer $\times 1,6$, dus bij benadering groeit de oppervlakte van de schimmels exponentieel.b) De formule is van de vorm $A=b\cdot {{g}^{t}}$De beginhoeveelheid is $4,1$, dus $b=4,1$.De groeifactor is $1,6$, dus $g=1,6$.De formule is $A=4,1\cdot {{1,6}^{t}}$ Van $t=31$ naar $t=116$ neemt $N$ toe van $172$ naar $1403$. De groeifactor per $116-31=85$ tijdseenheden is ${{g}_{85}}=\frac{1403}{172}$De groeifactor per één tijdseenheid is dan $g={{\left( \frac{1403}{172} \right)}^{\frac{1}{85}}}=1,0250\ldots $We ronden nog niet af, want we moeten nog verder rekenen met het tussenantwoord.We hebben nu $N=b\cdot 1,0250{{\ldots }^{t}}$. Voor het berekenen van de $b$ hebben we een punt op de grafiek, dus een $t$ met bijbehorende $N$, nodig. We kunnen er twee aflezen uit de figuur. Het maakt niet uit welke we kiezen, want beide punten liggen op de grafiek. We kiezen de eerste: $N=172$ voor $t=31$. $t=31$ en $N=172$ invullen in $N=b\cdot 1,0250{{\ldots }^{t}}$ geeft:$172=b\cdot 1,0250{{\ldots }^{31}}$Dus $b=\frac{172}{1,0250{{\ldots }^{31}}}=79,999\ldots $De formule is $N=80\cdot {{1,025}^{t}}$ a) In 2000 waren er 15,9 miljoen inwoners.In 2022 waren er 17,6 miljoen inwoners.De groeifactor per 22 jaar is dan:${{g}_{22\text{ jaar}}}=\frac{17,6}{15,9}$Dit geeft een groeifactor per jaar van:${{g}_{1\text{ jaar}}}={{\left( \frac{17,6}{15,9} \right)}^{\frac{1}{22}}}=1,00462\ldots $Dit is een groei van $\left( 1,00462\ldots -1 \right)\cdot 100\%\approx 0,5\%$ per jaar.b) Verdubbelen, dus we willen weten wanneer ${{1,005}^{t}}=2$.We gebruiken de grafische rekenmachine om deze vergelijking op te lossen.GR: Invoer:  ${{Y}_{1}}={{1,005}^{X}}$ en ${{Y}_{2}}=2$Optie: Calc $\to $  intersect geeft $X=150,12\cdots $Een verdubbeling van de bevolking duurt 151 jaar. a) $A$ is in honderden meters. Een afstand van $250$ meter geeft dus $A=2,5$ Invullen van $A=2,5$ geeft:$G=94\cdot {{\left( 0,829 \right)}^{2,5+2}}\approx 40$ dBb) $G=30$ geeft de vergelijking $30=94\cdot {{0,829}^{A+2}}$We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer:   ${{Y}_{1}}=94\cdot {{0,829}^{X+2}}$ ${{Y}_{2}}=30$Optie: Calc $\to $  intersect geeft $X=4,090\cdots $Uitkomst: De maximale afstand is dus $409$ meter.c) $G=94\cdot {{0,829}^{A+2}}$$G=94\cdot {{0,829}^{A}}\cdot {{0,829}^{2}}$$G=94\cdot {{0,829}^{2}}\cdot {{0,829}^{A}}$$G=94\cdot 0,687241\cdot {{0,829}^{A}}$$G\approx 64,601\cdot {{0,829}^{A}}$d) Halveren, dus ${{0,83}^{A}}=0,5$We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer:   ${{Y}_{1}}={{0,83}^{X}}$ ${{Y}_{2}}=0,5$Optie: Calc $\to $  intersect geeft $X=3,720\cdots $Uitkomst: De afstand moet $372$ meter toenemen.