Kern Wiskunde B deel 2 - Hoofdstuk 4 - De afgeleide functie oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is onjuist. $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ noemen we het differentiequotiënt. Het differentiaalquotiënt noteren we als $\frac{dy}{dx}$Deze bewering is juist. Als een grafiek daalt, is de helling negatief.Deze bewering is onjuist. Met behulp van krimpende intervallen krijg je een (nauwkeurige) schatting, maar is geen exacte berekening. Afnemende daling op ⟨←,0⟩\left\langle \leftarrow ,0 \right\rangle ⟨←,0⟩.Toenemende stijging op ⟨0,2⟩\left\langle 0,2 \right\rangle ⟨0,2⟩.Afnemende stijging op ⟨2,4⟩\left\langle 2,4 \right\rangle ⟨2,4⟩.Toenemende daling op ⟨4,→⟩\left\langle 4,\to \right\rangle ⟨4,→⟩.De gemiddelde verandering kunnen we berekenen met behulp van het differentiequotiënt. Bij x=0x=0x=0 hoort y=1y=1y=1.Bij x=4x=4x=4 hoort y=5y=5y=5.ΔyΔx=5−14−0=44=1\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-1}{4-0}=\frac{4}{4}=1ΔxΔy​=4−05−1​=44​=1 $f(x)=-4{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+7x+11$ geeft${f}'(x)=-12{{x}^{2}}-4x+7$$g(t)=2{{t}^{5}}-3({{t}^{3}}+4)=2{{t}^{5}}-3{{t}^{3}}-12$ geeft${g}'(t)=10{{t}^{4}}-9{{t}^{2}}$$j(p)=(2{{p}^{3}}+4)(2{{p}^{3}}+4)=4{{p}^{6}}+16{{p}^{3}}+16$ geeft${j}'(p)=24{{p}^{5}}+48{{p}^{2}}$ t=0t=0t=0 is 7:00 uur, want dat is de eerste meting.12:00 uur, is dan dus t=5t=5t=5 .Van t=0t=0t=0 naar t=5t=5t=5 is de temperatuur 1+3+1,5−0,5−1=4∘C1+3+1,5-0,5-1=4{}^{\circ }C1+3+1,5−0,5−1=4∘C gestegen. De temperatuur die is gemeten om 7:00 uur bij de eerste meting is 18−4=14∘C18-4={{14}^{{}^\circ }}C18−4=14∘CWe maken eerst een tabel waarbij we gebruik maken van het gegeven dat de temperatuur om 12:00 uur 18∘C{}^{\circ }C∘C was. Dus t=5t=5t=5 geeft C=18C=18C=18. Vervolgens gebruiken we de toe- en afnames die we uit het toenamediagram kunnen halen.                De punten zetten we in een assenstelsel en vervolgens verbinden we de punten.Elke grafiek die door de tien punten gaat, is een grafiek die bij het toenamediagram past. Een voorbeeld van een grafiek zie je hieronder. De gemiddelde snelheid berekenen we met behulp van de gemiddelde verandering ΔhΔt\frac{\Delta h}{\Delta t}ΔtΔh​ voor t=0t=0t=0 en t=3t=3t=3t=0t=0t=0 geeft h=60h=60h=60 en t=3t=3t=3 geeft h=15,855h=15,855h=15,855. ΔhΔt=15,855−603−0=−44,1453=−14,715\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{15,855-60}{3-0}=\frac{-44,145}{3}=-14,715ΔtΔh​=3−015,855−60​=3−44,145​=−14,715De snelheid is ongeveer 14,714,714,7 m/s.We tekenen met een geodriehoek een raaklijn aan het punt met ttt-coördinaat 2.De raaklijn gaat door de punten (1,  60)\left( 1,\,\,60 \right)(1,60) en (3,  21)\left( 3,\,\,21 \right)(3,21).De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is de snelheid van het voorwerp.rc=ΔhΔt=20,1−603−1=−39,92=−19,95rc=\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{20,1-60}{3-1}=\frac{-39,9}{2}=-19,95rc=ΔtΔh​=3−120,1−60​=2−39,9​=−19,95De snelheid is ongeveer 19,9519,9519,95 m/s.Het voorwerp raakt de grond na 3,5 seconden.We berekenen de snelheid op het interval [3,5 ; 3,5001]\left[ 3,5\,;\,3,5001 \right][3,5;3,5001].ΔhΔt=60−4,905⋅(3,5)2−(60−4,905⋅(3,5001)2)3,5−3,5001=34,33549\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{60-4,905\cdot {{\left( 3,5 \right)}^{2}}-\left( 60-4,905\cdot {{\left( 3,5001 \right)}^{2}} \right)}{3,5-3,5001}=34,33549ΔtΔh​=3,5−3,500160−4,905⋅(3,5)2−(60−4,905⋅(3,5001)2)​=34,33549 m/s.De snelheid is ongeveer 14,33549⋅3,6≈123,614,33549\cdot 3,6\approx 123,614,33549⋅3,6≈123,6 km/h. We gaan de GR gebruiken:Invoer: Y1=29X2−229X+2119{{Y}_{1}}=\tfrac{2}{9}{{X}^{2}}-2\tfrac{2}{9}X+21\tfrac{1}{9}Y1​=92​X2−292​X+2191​ Optie: dy/dxdy/dxdy/dx geeft [dydx]x=6=0,44…{{\left[ \frac{dy}{dx} \right]}_{x=6}}=0,44\ldots [dxdy​]x=6​=0,44…[dydx]x=6=0,44…>0{{\left[ \frac{dy}{dx} \right]}_{x=6}}=0,44\ldots >0[dxdy​]x=6​=0,44…>0, dus de temperatuur neemt toe.Middernacht is 3 uur na 21:00 uur, dus t=3t=3t=3.We gaan de GR gebruiken:Invoer: Y1=29X2−229X+2119{{Y}_{1}}=\tfrac{2}{9}{{X}^{2}}-2\tfrac{2}{9}X+21\tfrac{1}{9}Y1​=92​X2−292​X+2191​ Optie: dy/dxdy/dxdy/dx geeft [dydx]x=3=−0,88…{{\left[ \frac{dy}{dx} \right]}_{x=3}}=-0,88\ldots [dxdy​]x=3​=−0,88…De temperatuur neemt met ongeveer 0,89∘C/uur  {{0,89}^{\circ }}{C}/{\text{uur}}\;0,89∘C/uur af.T′(t)=2⋅29t−229=49t−229T'\left( t \right)=2\cdot \tfrac{2}{9}t-2\tfrac{2}{9}=\tfrac{4}{9}t-2\tfrac{2}{9}T′(t)=2⋅92​t−292​=94​t−292​De minimale temperatuur is een extreme waarde. Deze kunnen we vinden door T′(t)=0T'\left( t \right)=0T′(t)=0 op te lossen.T′(t)=0T'\left( t \right)=0T′(t)=049t−229=0\tfrac{4}{9}t-2\tfrac{2}{9}=094​t−292​=049t=229\tfrac{4}{9}t=2\tfrac{2}{9}94​t=292​4t=204t=204t=20t=5t=5t=5We plotten de grafiek van TTTWe zien dat er inderdaad een minimum is bij t=5t=5t=5.t=5t=5t=5 invullen in de originele formule geeft:T(5)=29⋅52−229⋅5+2119≈14,44T\left( 5 \right)=\tfrac{2}{9}\cdot {{5}^{2}}-2\tfrac{2}{9}\cdot 5+21\tfrac{1}{9}\approx 14,44T(5)=92​⋅52−292​⋅5+2191​≈14,44De minimale temperatuur is 14,44∘C{{14,44}^{\circ }}C14,44∘C Stel $k:\,\,\,y=ax+b$$f\left( x \right)=\tfrac{1}{8}{{x}^{2}}-\tfrac{1}{4}x+2$ geeft ${f}'\left( x \right)=\tfrac{1}{4}x-\tfrac{1}{4}$$a={f}'\left( -2 \right)=\tfrac{1}{4}\cdot -2-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{3}{4}$ Dus $k:\,\,\,y=-\tfrac{3}{4}x+b$${{y}_{A}}=f\left( {{x}_{A}} \right)=f\left( -2 \right)=\tfrac{1}{8}{{\left( -2 \right)}^{2}}-\tfrac{1}{4}\cdot -2+2=3$, dus $A\left( -2,3 \right)$.$A\left( -2,3 \right)$ invullen in $y=-\tfrac{3}{4}x+b$ geeft:$3=-\tfrac{3}{4}\cdot -2+b$$3=\tfrac{3}{2}+b$$b=-1\tfrac{1}{2}$Dus $k:\,\,\,y=-\tfrac{3}{4}x-1\tfrac{1}{2}$$l$ staat loodrecht op $k$, dus $r{{c}_{l}}\cdot r{{c}_{k}}=-1$$r{{c}_{l}}\cdot -\tfrac{3}{4}=-1$ $r{{c}_{l}}=\tfrac{4}{3}$De helling in punt $B$ is $\tfrac{4}{3}$.$g\left( x \right)=-{{x}^{2}}$ geeft ${g}'\left( x \right)=-2x$$-2x=\tfrac{4}{3}$$x=-\tfrac{2}{3}$${{x}_{B}}=-\tfrac{2}{3}$${{y}_{B}}=g\left( {{x}_{B}} \right)=g\left( -\tfrac{2}{3} \right)=-{{\left( -\tfrac{2}{3} \right)}^{2}}=-\tfrac{4}{9}$De coördinaten van punt $B$ zijn $\left( -\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{9} \right)$.