Getal en Ruimte 13e ed deel 1 - Hoofdstuk 5 - Vaardigheden en vergelijkingen oefentoetsen & antwoorden

We kunnen de teller en noemer delen door $k+1$$\frac{k}{8}$We kunnen $k$ achter de breuk zetten omdat $k$ in de teller staat. $\frac{1}{8}k$Antwoord: $\frac{1}{8}k$ Werk de dubbele haakjes uit, let op dat alles nog vermenigvuldigd moet worden met $-3$, daarom zetten we de uitkomst van de dubbele haakjes tussen nieuwe haakjes.$-3(x+4)(12-7x)$$-3(12x-7x^2+48-28x)$$-3(-16x-7x^2+48)$ (gelijksoortige termen tussen de haakjes samen nemen)Vermenigvuldig alles tussen de haakjes met $-3$.$48x+21x^2-144$Zet de termen met de hoogste macht vooraan.$21x^2+48x-144$Antwoord: $21x^2+48x-144$Schrijf eerst het kwadraat als dubbele haakjes. $-(-p+8)(-p+8)$  Werk de dubbele haakjes uit, let op dat alles nog vermenigvuldigd moet worden met $-1$, daarom zetten we de uitkomst van de dubbele haakjes tussen nieuwe haakjes.Werk de haakjes uit.$-(-p+8)(-p+8)$  $-(p^2-8p-8p+64)$$-(p^2-16p+64)$ (je mag ook het merkwaardig product gebruiken en in één keer naar deze stap gaan)Vermenigvuldig alles tussen de haakjes met $-1$$-p^2+16p-64$Antwoord: $-p^2+16p-64$ Kijk naar de tweede term. Deel deze door twee en vul hem in. De tweede term is -6, $-6:2=-3$$(x-3)^2…$Trek eraf wat je te veel hebt gerekend. We hebben $(-3)^2=9$ te veel gerekend. $(x-3)^2-9…$Schrijf de rest van de uitdrukking erachter.$(x-3)^2-9+25$Schrijf de uitdrukking korter. $(x-3)^2+16$Antwoord: $(x-3)^2+16$Kijk naar de tweede term. Deel deze door twee en vul hem in. De tweede term is $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}:2=\frac{1}{8}$$(x+\frac{1}{8})^2…$Trek eraf wat je te veel hebt gerekend. We hebben $(\frac{1}{8})^2=\frac{1}{64}$ te veel gerekend. $(x+\frac{1}{8})^2-\frac{1}{64}…$Schrijf de rest van de uitdrukking erachter.$(x+\frac{1}{8})^2-\frac{1}{64}-\frac{1}{2}$Schrijf de uitdrukking korter. $(x+\frac{1}{8})^2-\frac{23}{64}$Antwoord: $(x+\frac{1}{8})^2-\frac{23}{64}$ We gebruiken kruislingsmenigvuldigen.Denk aan de haakjes.$(3x+2)(x+1)=3x(x-2)$$3x^2+3x+2x+2=3x^2-6x$$3x^2+5x+2=3x^2-6x$Herleid op nul.$11x+2=0$Los de vergelijking op.$11x=-2$$x=-\frac{2}{11}$Antwoord: $x=-\frac{2}{11}$Herschrijf de vergelijking zodat aan beide kanten van de $=$ een breuk staat. $\frac{2x+3}{x-1}=4$ (beide kanten $+3$)$\frac{2x+3}{x-1}=\frac{4}{1}$ (schrijf de rechterkant als breuk) Kruislings vermenigvuldigen.$2x+3=4(x-1)$$2x+3=4x-4$Los de vergelijking op. $-2x=-7$$x=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2}$Antwoord: $x=3\frac{1}{2}$ Schrijf dubbele haken.$(2\sqrt{3}-5\sqrt{5})(2\sqrt{3}-5\sqrt{5})$Gebruik $\sqrt{A}\cdot \sqrt{B}=\sqrt{A\cdot B}$. $4\sqrt{9}-10\sqrt{15}-10\sqrt{15}+25\sqrt{25}$$4\sqrt{9}-20\sqrt{15}+25\sqrt{25}$ (als je gezien had dat dit een merkwaardig product is mocht je ook gelijk naar deze stap)Schrijf de uitdrukking zo kort mogelijk.Reken de wortels die je uit kunt rekenen uit.$4\cdot 3-20\sqrt{15}+25\cdot 5$Reken de keersommen uit. $12-20\sqrt{15}+125$$137-20\sqrt{15}$Antwoord: $137-20\sqrt{15}$Herschrijf $\sqrt{288}$ en $\sqrt{8}$Omdat $288=2\cdot 144$ en $8=4\cdot 2$ kunnen we schrijven:$3\sqrt{144}\cdot \sqrt{2}-5\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}$ Reken $\sqrt{144}$ en $\sqrt{4}$ uit.$3\cdot 12 \cdot \sqrt{2}-5\cdot 2\cdot \sqrt{2}$ $36\sqrt{2}-10\sqrt{2}$Schrijf de uitdrukking zo kort mogelijk. $26\sqrt{2}$Antwoord: $26\sqrt{2}$Herschrijf de breuk in de wortel.Gebruik $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{81}}-\frac{9\sqrt{40}}{3\sqrt{2}}$ Voor de rechterkant van de uitdrukking gebruiken we de regel juist andersom. $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{81}}-\frac{9}{3}\sqrt{\frac{40}{2}}$ $\frac{\sqrt{5}}{9}-3\sqrt{20}$$\frac{1}{9}\sqrt{5}-3\sqrt{20}$Herschrijf $-3\sqrt{20}$$4\cdot 5=20$ dus we kunnen schrijven:$\frac{1}{9}\sqrt{5}-3\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}$Reken de wortel $\sqrt{4}$ uit. $\frac{1}{9}\sqrt{5}-3\cdot 2\cdot \sqrt{5}$$\frac{1}{9}\sqrt{5}-6\sqrt{5}$$-5\frac{8}{9}\sqrt{5}$Antwoord: $-5\frac{8}{9}\sqrt{5}$ Schrijf het kwadraat als dubbele haakjes.$-3(2a+9)(2a+9)-(3a-7)(-2+a)$ Werk beide dubbele haakjes uit.Schrijf nieuwe haakjes omdat er nog een getal voor de haakjes staat, dit getal moet ook nog vermenigvuldigd worden met wat tussen de haakjes staat. $-3(4a^2+18a+18a+81)-(-6a+3a^2+14-7a)$ Neem gelijksoortige termen tussen de haakjes samen.$-3(4a^2+36a+81)-(3a^2+14-13a)$ Werk nu ook de nieuwe haakjes uit.$-12a^2-108a-243-3a^2-14+13a$Neem gelijksoortige termen samen.$-15a^2-95a-257$Antwoord: $-15a^2-95a-257$Schrijf de macht uit met haakjes.$(5-x)(5-x)(5-x)$Werk de eerste haakjes uit. Schrijf nieuwe haakjes omdat de uitkomst ook nog vermenigvuldigd moet worden met de laatste $(5-x)$.$(25-5x-5x+x^2)(5-x)$$(25-10x+x^2)(5-x)$ (je mag ook gelijk naar deze stap met een merkwaardig product)Werk weer de haakjes uit.$125-25x-50x+10x^2+5x^2-x^3$Neem gelijksoortige termen samen.$125-75x+15x^2-x^3$Zet de hoogste macht vooraan.$-x^3+15x^2-75x+125$Antwoord: $-x^3+15x^2-75x+125$Werk de haakjes uit.$(a+b+7)(3a+b)$$3a^2+ab+3ab+b^2+21a+7b$Neem gelijksoortige termen samen. $3a^2+4ab+b^2+21a+7b$Antwoord: $3a^2+4ab+b^2+21a+7b$ Vermenigvuldig eerst de hele vergelijking met 2 zodat er geen breuk meer voor $x^2$ staat. $x^2-10x-11=0$Kijk naar de tweede term. Deel deze door twee en vul hem in. De tweede term is $-10$, $-10:2=-5$$(x-5)^2…$Trek eraf wat je te veel hebt gerekend. We hebben $(-5)^2=25$ te veel gerekend. $(x-5)^2-25…$Schrijf de rest van de uitdrukking erachter.$(x-5)^2-25-11=0$$(x-5)^2-36=0$Breng $-36$ naar rechts. $(x-5)^2=36$Gebruik de wortel om het kwadraat weg te werken.$x-5=\sqrt{36} \vee x-5=-\sqrt{36}$$x-5=6 \vee x-5=-6$Bereken $x$.Tel aan beide kanten $5$ op.$x=11 \vee x=-1$Antwoord: $x=11 \vee x=-1$ Ontbind de teller en noemer in factoren.Ìn de teller kunnen we 4 buiten haakjes halen.$\frac{4(a-3)}{2a^2-4a-6}$ Het zou handig zijn als we in de noemer ook de factor $a-3$ tussen de haakjes krijgen.De hele noemer is deelbaar door 2, dus we kunnen 2 buiten haakjes halen in de noemer. $\frac{4(a-3)}{2(a^2-2a-3)}$ Wat binnen de haakjes staat in de noemer kunnen we nog ontbinden in factoren. $\frac{4(a-3)}{2(a-3)(a+1)}$Kijk of er een factor is die je boven en onder weg kunt delen.De factor $a-3$ wordt zowel met de teller als de noemer vermenigvuldigd. Deze kunnen we dus wegdelen.$\frac{4}{2(a+1)}$We kunnen boven en onder nog delen door 2.$\frac{2}{(a+1)}$Antwoord: $\frac{2}{(a+1)}$Om breuken op te tellen of af te trekken moeten de breuken gelijknamig zijn.Maak van de linker uitdrukking een breuk.$\frac{8x+4}{1}-\frac{2x+1}{x+6}$Maak de breuken gelijknamig. Vermenigvuldig de linkerteller en noemer met $x+6$$\frac{(8x+4)(x+6)}{1(x+6)}-\frac{2x+1}{x+6}$$\frac{8x^2+48x+4x+24}{x+6}-\frac{2x+1}{x+6}$$\frac{8x^2+52x+24}{x+6}-\frac{2x+1}{x+6}$Trek de breuken van elkaar af.$\frac{8x^2+52x+24-(2x+1)}{x+6}$Werk de haakjes in de teller uit.$\frac{8x^2+52x+24-2x-1}{x+6}$Neem gelijksoortige termen samen.$\frac{8x^2+50x+23}{x+6}$Antwoord: $\frac{8x^2+50x+23}{x+6}$Gebruik de regel: Delen door de breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde.Keer de tweede breuk om en maak van delen door keer.$\frac{2q^2}{q-3}\cdot \frac{5}{8+q}$ Gebruik de regel voor het vermenigvuldigen van breuken: $\frac{teller\cdot teller}{noemer\cdot noemer}$$\frac{2q^2\cdot 5}{(q-3)(8+q)}$ De haakjes in de noemer mag je laten staan.$\frac{10q^2}{(q-3)(8+q)}$ Antwoord: $\frac{10q^2}{(q-3)(8+q)}$ We hebben hier een breuk in een breuk. We werken de breuk in de breuk weg door te vermenigvuldigen met de noemer van de breuk.Vermenigvuldig de teller en de noemer met $5c$$\frac{18\cdot 5c}{\frac{3}{5c}\cdot 5c}$ $\frac{90c}{3}$Vereenvoudig de breuk.We kunnen de teller en de noemer delen door 3. $\frac{30c}{1}$Antwoord: $30c$ Dit is een omgekeerd evenredig verband, hoe meer vrienden er meegaan, hoe minder ieder persoon hoeft te betalen. Het bedrag dat één persoon betaalt, hangt dus af van het aantal vrienden. De formule is dus van de vorm $y=\frac{a}{x}$. In dit geval is dit $y=\frac{1200}{x}$ met $y$ de kosten per persoon en $x$ het aantal vrienden dat meegaat. Antwoord: $y=\frac{1200}{x}$Probeer een aantal waarden voor $x$ uit. Als we $x=8$ invullen komt er 150 uit. $x=8$ geeft $y=\frac{1200}{8}=150$. Antwoord: Er gaan 8 vrienden mee.  Bereken de lengte van $BC$ in driehoek $ABC$.We gebruiken de stelling van Pythagoras. $\angle B=90^\circ$ dus $AB^2+BC^2=AC^2$$(\sqrt{6})^2+BC^2=(2\sqrt{2})^2$Als we een wortel kwadrateren valt de wortel weg en blijft het getal onder de wortel over. $6+BC^3=4\cdot 2$$6+BC^2=8$$BC^2=8-6$$BC^2=2$$BC=\sqrt{2}$Bereken de omtrek van de driehoek.$omtrek\ \triangle ABC=AB+BC+AC$$omtrek\ \triangle ABC=\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\sqrt{2}$$omtrek\ \triangle ABC=\sqrt{6}+3\sqrt{2}$Antwoord: $omtrek\ \triangle ABC=\sqrt{6}+3\sqrt{2}$ Isoleer de wortel. De wortel moet alleen aan één kant van de $=$ staan.$\sqrt{3x+7}=5$  (beide kanten $+3$)Kwadrateer om de wortel weg te werken.$3x+7=5^2$  $3x+7=25$Los de vergelijking op.$3x=18$ (beide kanten $-7$)$x=6$ (beide kanten delen door 3)Antwoord: $x=6$De wortel isoleren.De wortel moet alleen aan één kant van de $=$ staan.$2\sqrt{x}=14$ (beide kanten $+5$)$\sqrt{x}=7$ (beide kanten delen door $2$)Kwadrateren.Om de wortel weg te werken kwadrateren we beide kanten van de $=$.$x=7^2$$x=49$Antwoord: $x=49$